2010年江苏省高考数学试卷

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1、（2010•江苏）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a +4}，A∩B={3}，则实数a=． 2、（2010•江苏）设复数z 满足z （2﹣3i ）=6+4i（其中i 为虚数单位），则z 的模为． 3、（2010•江苏）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是

4、（2010•江苏）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 根在棉花纤维的长度小于20mm ．

2

﹣x x

5、（2010•江苏）设函数f （x ）=x（e +ae）（x ∈R ）是偶函数，则实数a= _________ 6、（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线

上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右

焦点的距离是 _________ 7、（2010•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是

8、（2010•江苏）函数y=x（x ＞0）的图象在点（a k ，a k ）处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1，k 为正整数，a 1=16，则a 1+a3+a5=

22

9、（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x +y=4上有且仅有四个点到直线12x ﹣5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是 _________ ． 10、（2010•江苏）定义在区间

上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x

2

2

轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为 _________ ． 11、（2010•江苏）已知函数

，则满足不等式（f 1﹣x ）＞f （2x ）的x 的范围是 _________ ．

2

12、（2010•江苏）设实数x ，y 满足3≤xy≤8，4≤

2

≤9，则的最大值是．

13、（2010•江苏）在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，，则=．

14、（2010•江苏）将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

，则S 的最小值是 _________ ．

二、解答题（共9小题，满分110分） 15、（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣1，﹣2）、B （2，3）、C （﹣2，﹣1）． （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；

16、（2010•江苏）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=90°． （1）求证：PC ⊥BC ；

（2）求点A 到平面PBC 的距离．

17、（2010•江苏）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．

（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H 的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α﹣β最大？

18、（2010•江苏）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆

的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过

点T （t ，m ）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0．

22

（1）设动点P 满足PF ﹣PB =4，求点P 的轨迹； （2）设

，求点T 的坐标；

（3）设t=9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．

19、（2010•江苏）设各项均为正数的数列{an }的前n 项和为S n ，已知2a 2=a1+a3，数列

是公差为d 的等差数

列．

（1）求数列{an }的通项公式（用n ，d 表示）；

（2）设c 为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m +Sn ＞cS k 都成立．求证：c

的最大值为．

20、（2010•江苏）设f （x ）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x ）．如果存在实数a 和函数h （x ），其中h （x ）对任意的x ∈（1，+∞）都有h （x ）＞0，使得f′（x ）=h（x ）（x ﹣ax+1），则称函数f （x ）具有性质P （a ），设函数f （x ）=

，其中b 为实数．

2

（1）求证：函数f （x ）具有性质P （b ）； （2）求函数f （x ）的单调区间．

21、（2010•江苏）本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ：AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA=DC，求证：AB=2BC． B ：在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，0），B （﹣2，0），C （﹣2，1）．设k 为非零实数，矩阵M=N=

，

，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，

求k 的值．

C ：在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a 的值． D ：设a 、b 是非负实数，求证：

．

22、（2010•江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立． （1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． 23、（2010•江苏）已知△ABC 的三边长都是有理数． （1）求证cosA 是有理数；

（2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数．

答案与评分标准

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1、（2010•江苏）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a +4}，A∩B={3}，则实数a= 考点：交集及其运算。 专题：计算题。

分析：根据交集的概念，知道元素3在集合B 中，进而求a 即可． 解答：解：∵A∩B={3}

2

∴3∈B ，又∵a +4≠3 ∴a+2=3 即 a=1 故答案为1

点评：本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型． 2、（2010•江苏）设复数z 满足z （2﹣3i ）=6+4i（其中i 为虚数单位），则z 的模为 考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模。 专题：计算题。

分析：直接对复数方程两边求模，利用|2﹣3i|=|3+2i|，求出z 的模． 解答：解：z （2﹣3i ）=2（3+2i）， |z||（2﹣3i ）|=2|（3+2i）|， |2﹣3i|=|3+2i|，z 的模为2． 故答案为：2

点评：本题考查复数运算、模的性质，是基础题． 3、（2010•江苏）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是

考点：古典概型及其概率计算公式。 专题：计算题。

分析：算出基本事件的总个数n=C4=6，再 算出事件A 中包含的基本事件的个数m=C3=3，算出事件A 的概率，即P （A ）=即可．

解答：解：考查古典概型知识．

∵总个数n=C4=6，

1

∵事件A 中包含的基本事件的个数m=C3=3 ∴

2

2

1

2

故填：．

点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数n ； （2）算出事件A 中包含的基本事件的个数m ； （3）算出事件A 的概率，即P （A ）=．

4、（2010•江苏）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 30 根在棉花纤维的长度小于20mm ．

考点：频率分布直方图。 专题：计算题。

分析：由图分析可得：易得棉花纤维的长度小于20mm 段的频率，根据频率与频数的关系可得频数． 解答：解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm 段的频率为0.001+0.001+0.004， 则频数为100×（0.001+0.001+0.004）×5=30． 故填：30．

点评：本题考查频率分布直方图的知识．考查读图的能力，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题． 5、（2010•江苏）设函数f （x ）=x（e +ae）（x ∈R ）是偶函数，则实数a= ﹣1 考点：函数奇偶性的性质。

分析：由函数是偶函数，直接用特殊值求解即可 解答：解：g （x ）=e+ae为奇函数 由g （0）=0，得a=﹣1． 故答案是﹣1

点评：考查函数的奇偶性的应用及填空题的解法． 6、（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线焦点的距离是 4 考点：双曲线的定义。 专题：计算题。

分析：d 为点M 到右准线x=1的距离，根据题意可求得d ，进而先根据双曲线的第二定义可知案可得． 解答：解：

=e=2，

=e，求得MF ．答

上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右

x

﹣x

x ﹣x

d 为点M 到右准线x=1的距离，则d=2， ∴MF=4． 故答案为4

点评：本题主要考查双曲线的定义．属基础题． 7、（2010•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是

考点：设计程序框图解决实际问题。 专题：操作型。

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求满足条件

2n

S=1+2+2+…+2≥33的最小的S 值，并输出． 解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：

2n

该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+2+…+2≥33的最小的S 值

234

∵S=1+2+2+2+2=31＜33，不满足条件．

2345

S=1+2+2+2+2+2=63≥33，满足条件 故输出的S 值为：63． 故答案为：63

点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程

型③解模．

8、（2010•江苏）函数y=x（x ＞0）的图象在点（a k ，a k ）处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1，k 为正整数，a 1=16，则a 1+a3+a5=考点：抛物线的简单性质。 专题：计算题。

22

分析：先求出函数y=x在点（a k ，a k ）处的切线方程，然后令y=0代入求出x 的值，再结合a 1的值得到数列的通项公式，再得到a 1+a3+a5的值．

22

解答：解：在点（a k ，a k ）处的切线方程为：y ﹣a k =2ak （x ﹣a k ）， 当y=0时，解得所以

，

．

2

2

故答案为：21．

点评：考查函数的切线方程、数列的通项．

22

9、（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x +y=4上有且仅有四个点到直线12x ﹣5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是 （﹣13，13） ． 考点：直线与圆的位置关系。

分析：求出圆心，求出半径，圆心到直线的距离小于半径和1的差即可． 解答：解：圆半径为2，

圆心（0，0）到直线12x ﹣5y+c=0的距离小于1，

，c 的取值范围是（﹣13，13）．

点评：考查圆与直线的位置关系．（圆心到直线的距离小于半径和1的差，此时4个，等于3个，大于这个差小于

半径和1的和是2个．）是有难度的基础题． 10、（2010•江苏）定义在区间

上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x

．

轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为

考点：余弦函数的图象；正切函数的图象。 专题：计算题。

分析：先将求P 1P 2的长转化为求sinx 的值，再由x 满足6cosx=5tanx可求出sinx 的值，从而得到答案． 解答：解：线段P 1P 2的长即为sinx 的值，

且其中的x 满足6cosx=5tanx，解得sinx=．线段P 1P 2的长为 故答案为．

点评：考查三角函数的图象、数形结合思想． 11、（2010•江苏）已知函数

，则满足不等式f （1﹣x ）＞f （2x ）的x 的范围是 （﹣1，

2

﹣1） ．

考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法。

2

分析：由题意f （x ）在[0，+∞）上是增函数，而x ＜0时，f （x ）=1，故满足不等式f （1﹣x ）＞f （2x ）的x 需满足

，解出x 即可．

解答：解：由题意，可得

点评：本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力． 12、（2010•江苏）设实数x ，y 满足3≤xy≤8，4≤考点：基本不等式在最值问题中的应用。 专题：计算题；转化思想。

分析：首先分析题目由实数x ，y 满足条件3≤xy≤8，4≤

2

2

≤9，则的最大值是．

≤9．求的最大值的问题．根据不等式的等价转换思想

可得到：

，，代入求解最大值即可得到答案．

解答：解：因为实数x ，y 满足3≤xy≤8，4≤

2

≤9，

则有：，，

又，

即的最大值是27．

故答案为27．

点评：此题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想，等价转换思想在考试中应用不是很广泛，但是对于特殊题目能使解答更简便，也需要注意．

13、（2010•江苏）在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，

，则

=．

考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理。

分析：已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有对称性，可以选用特殊的角或边来求解结果，当a=b时满足题意，根据可以成立的这个条件写出cosC 的值，根据这个结果，令A=B，做出tanA 和tanB 的值，得到结果． 解答：解：已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性． 当A=B或a=b时满足题意， ∵∴∴∴

，

，

，

，

∴=4．

故答案为：4．

14、（2010•江苏）将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

，则S 的最小值是

．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值。 专题：综合题。

分析：先设剪成的小正三角形的边长为x 表示出S 的解析式，然后求S 的最小值，

方法一：对函数S 进行求导，令导函数等于0求出x 的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值； 方法二：令3﹣x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值． 解答：解：设剪成的小正三角形的边长为x ，则：

（方法一）利用导数求函数最小值．，

=

，

当故当

时，S′（x ）＜0，递减；当

时，S 的最小值是

．

时，S′（x ）＞0，递增；

（方法二）利用函数的方法求最小值． 令

，

则：

故当时，S 的最小值是．

点评：考查函数中的建模应用，等价转化思想．一题多解． 二、解答题（共9小题，满分110分） 15、（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣1，﹣2）、B （2，3）、C （﹣2，﹣1）． （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t 满足（

）•

=0，求t 的值．

考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用。 专题：计算题。

分析：（1）（方法一）由题设知，则

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则： 由E 是AC ，BD 的中点，易得D （1，4） 从而得：BC=、AD=； （2）由题设知：由（从而得：

）•．

=（﹣2，﹣1），

=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，

．

或者由，，得：

解答：解：（1）（方法一）由题设

知

所以

，

则

故所求的两条对角线的长分别为、．

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则： E 为B 、C 的中点，E （0，1）

又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=； （2）由题设知：由（

）•

=（﹣2，﹣1），

=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，

．

．

从而5t=﹣11，所以

或者：，，

点评：本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查向量的坐标运算和基本的求解能力． 16、（2010•江苏）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=90°． （1）求证：PC ⊥BC ；

（2）求点A 到平面PBC 的距离．

考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系。 专题：计算题；证明题。

（2），有两种方法可以求点A 到平面PBC 的距离：

方法一，注意到第一问证明的结论，取AB 的中点E ，容易证明DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等，而A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC ⊥平面PCD ，交线是PC ，所以只求D 到PC 的距离即可，在等腰直角三角形PDC 中易求；

方法二，等体积法：连接AC ，则三棱锥P ﹣ACB 与三棱锥A ﹣PBC 体积相等，而三棱锥P ﹣ACB 体积易求，三棱锥A ﹣PBC 的地面PBC 的面积易求，其高即为点A 到平面PBC 的距离，设为h ，则利用体积相等即求． 解答：解：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD=90°，得CD ⊥BC ， 又PD∩DC=D，PD 、DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ．

（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF=

（方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°． 从而AB=2，BC=1，得△ABC 的面积S △ABC =1． 由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P ﹣ABC 的体积因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD=DC=1，所以

由PC ⊥BC ，BC=1，得△PBC 的面积由V A ﹣PBC =VP ﹣ABC ，

，得．

． ，

．

，故点A 到平面PBC 的距离等于

．

故点A 到平面PBC 的距离等于．

点评：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力． 17、（2010•江苏）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．

（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H 的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α﹣β最大？

考点：解三角形的实际应用。 专题：综合题。

分析：（1）在Rt △ABE 中可得AD=到H ．

，在Rt △ADE 中可得AB=，BD=，再根据AD ﹣AB=DB即可得

（2）先用d 分别表示出tanα和tanβ，再根据两角和公式，求得tan （α﹣β）=，再根据均值不等式

可知当d=解答：解：（1）AD ﹣AB=DB，故得得：H=

==tanβ⇒AD=

﹣=

=

=55时，tan （α﹣β）有最大值即α﹣β有最大值，得到答案．

，BD=

．

，同理：AB=

， =124．

因此，算出的电视塔的高度H 是124m ． （2）由题设知d=AB，得tanα=，tanβ=

=

=

，

tan （α﹣β）=

===

d+故当d=55

≥2，（当且仅当d===55时，取等号）

时，tan （α﹣β）最大．

，则0＜α﹣β＜

，所以当d=55

时，α﹣β最大．

因为0＜β＜α＜

故所求的d 是55m ．

点评：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用．当涉及最值问题时，可考虑用不等式的性质来解决．

18、（2010•江苏）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆

的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过

点T （t ，m ）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0．

22

（1）设动点P 满足PF ﹣PB =4，求点P 的轨迹； （2）设

，求点T 的坐标；

（3）设t=9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．

考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题。 专题：计算题。

22

分析：（1）设点P （x ，y ），由两点距离公式将PF ﹣PB =4，变成坐标表示式，整理即得点P 的轨迹方程． （2）将

分别代入椭圆方程，解出点M 与点N 的坐标由两点式写出直线AM 与直线BN 的方程联立解

出交点T 的坐标．（3）方法一求出直线方程的参数表达式，然后求出其与x 的交点的坐标，得到其横坐标为一个常数，从而说明直线过x 轴上的定点．

方法二根据特殊情况即直线与x 轴垂直时的情况求出定点，然后证明不垂直于x 轴时两线DM 与DN 斜率相等，说明直线MN 过该定点． 解答：解：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （﹣3，0）． 由PF ﹣PB =4，得（x ﹣2）+y﹣[（x ﹣3）+y]=4，化简得故所求点P 的轨迹为直线 （2）将

分别代入椭圆方程，以及y 1＞0，y 2＜0，

） ，即

，

．

2

2

2

2

2

2

．

得M （2，）、N （，直线MTA 方程为：

直线NTB 方程为：，即．

联立方程组，解得：，

所以点T 的坐标为

（3）点T 的坐标为（9，m ） 直线MTA 方程为：直线NTB 方程为：

．

，即，即

， ．

分别与椭圆

联立方程组，同时考虑到x 1≠﹣3，x 2≠3，

解得：

（方法一）当x 1≠x2时，

、．

直线MN 方程为：

令y=0，解得：x=1．此时必过点D （1，0）；

当x 1=x2时，直线MN 方程为：x=1，与x 轴交点为D （1，0）． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）． （方法二）若x 1=x2，则由

及m ＞0，得

，

此时直线MN 的方程为x=1，过点D （1，0）．

若x 1≠x2，则

，直线MD 的斜率，

直线ND 的斜率

，得k MD =kND ，所以直线MN 过D 点．

因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）．

点评：本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力

19、（2010•江苏）设各项均为正数的数列{an }的前n 项和为S n ，已知2a 2=a1+a3，数列

是公差为d 的等差数

列．

（1）求数列{an }的通项公式（用n ，d 表示）；

（2）设c 为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m +Sn ＞cS k 都成立．求证：c

的最大值为．

考点：等差数列的性质；归纳推理。 分析：（1）根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于a 1、d 的方程，求出a 1，进而推出s n ，再利用a n 与s n 的关系求出a n ．

（2）利用（1）的结论，对S m +Sn ＞cS k 进行化简，转化为基本不等式问题求解；或求出c 的最大值的范围，利用夹逼法求出a 的值．

解答：解：（1）由题意知：d ＞0，∴2a 2=a1+a3，

∴3a 2=S3，即3（S 2﹣S 1）=S3， ∴化简，得：

当n≥2时，a n =Sn ﹣S n ﹣1=nd ﹣（n ﹣1）d =（2n ﹣1）d ，适合n=1情形．

2

故所求a n =（2n ﹣1）d

（2）（方法一）S m +Sn ＞cS k ⇒m d +nd ＞c•kd ⇒m +n＞c•k，

22

22

22

2

2

2

22

22

2

=+（n ﹣1）d=+（n ﹣1）d ，

，

，

恒成立．

又m+n=3k且m≠n，，

故，即c 的最大值为．

及

，得d ＞0，S n =nd ．

22

（方法二）由

于是，对满足题设的m ，n ，k ，m≠n，有所以c 的最大值

另一方面，任取实

数

．

．设k 为偶数，

令

．

，则m ，n ，k 符合条件，

且．

于是，只要9k +4＜2ak ，即当所以满足条件的

，从而

．

22

时，．

因此c 的最大值为．

点评：本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力． 20、（2010•江苏）设f （x ）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x ）．如果存在实数a 和函数h （x ），

2

其中h （x ）对任意的x ∈（1，+∞）都有h （x ）＞0，使得f′（x ）=h（x ）（x ﹣ax+1），则称函数f （x ）具有性质P （a ），设函数f （x ）=

，其中b 为实数．

（1）求证：函数f （x ）具有性质P （b ）； （2）求函数f （x ）的单调区间． 考点：利用导数研究函数的单调性。 专题：计算题；证明题。

2

分析：（1）先求出函数f （x ）的导函数f′（x ），然后将其配凑成f′（x ）=h（x ）（x ﹣bx+1）这种形式，再说明h （x ）对任意的x ∈（1，+∞）都有h （x ）＞0，即可证明函数f （x ）具有性质P （b ）； （2）根据第一问令φ（x ）=x﹣bx+1，讨论对称轴与2的大小，当b≤2时，对于x ＞1，φ（x ）＞0，所以f′（x ）＞0，可得f （x ）在区间（1，+∞）上单调性，当b ＞2时，φ（x ）图象开口向上，对称轴

，可求出方程φ（x ）

2

=0的两根，判定两根的范围，从而确定φ（x ）的符号，得到f′（x ）的符号，最终求出单调区间． 解答：解：（1）f′（x ）=

∵x ＞1时，恒成立，

∴函数f （x ）具有性质P （b ）；

222

（2）当b≤2时，对于x ＞1，φ（x ）=x﹣bx+1≥x﹣2x+1=（x ﹣1）＞0 所以f′（x ）＞0，故此时f （x ）在区间（1，+∞）上递增； 当b ＞2时，φ（x ）图象开口向上，对称轴

，

方程φ（x ）=0的两根为：，而

当时，φ（x ）＜0，f′（x ）＜0，

故此时f （x ）在区间上递减；

同理得：f （x ）在区间上递增．

综上所述，当b≤2时，f （x ）在区间（1，+∞）上递增； 当b ＞2时，f （x ）在

上递减；f （x ）在

上递增．

点评：本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力． 21、（2010•江苏）本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ：AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA=DC，求证：AB=2BC． B ：在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，0），B （﹣2，0），C （﹣2，1）．设k 为非零实数，矩阵M=N=

，

，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，

求k 的值．

C ：在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a 的值． D ：设a 、b 是非负实数，求证：

．

考点：参数方程化成普通方程；基本不等式；直线和圆的方程的应用。 专题：计算题；证明题；综合题。

分析：A 、连接OD ，则OD ⊥DC ，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO ，再证明OB=BC=OD=OA，即可求解． B 、由题设得

，根据矩阵的运算法则进行求解．

C 、在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算a 值．

D 、利用不等式的性质进行放缩证明，

后再进行讨论求证． 解答：解：A ：（方法一）证明：连接OD ，则：OD ⊥DC ， 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO ， ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO ， 所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC．

然

（方法二）证明：连接OD 、BD ．

因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB=90°，AB=2OB． 因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO=90°． 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA ， 于是△ADB ≌△CDO ，从而AB=CO． 即2OB=OB+BC，得OB=BC． 故AB=2BC．

B 满分（10分）．由题设得由

，可知A 1（0，0）、B 1（0，﹣2）、C 1（k ，﹣2）．

计算得△ABC 面积的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k|，则由题设知：|k|=2×1=2． 所以k 的值为2或﹣2．

C 解：ρ=2ρcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x +y=2x，（x ﹣1）+y=1， 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0， 又圆与直线相切，所以解得：a=2，或a=﹣8． D （

，

2

2

2

2

2

方法一）证明

：

=

=

因为实数a 、b≥0

，

所以上式≥0．即有（

方

法

二

）

证

明

：

由

．

a

、

b

是

非

负

实

数

，

作

差

得

=

当a≥b时，当a ＜b 时，所以

，从而，从而

．

，得，得

； ；

点评：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力，及图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力还考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．另外此题也考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题． 22、（2010•江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立． （1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式。 专题：计算题；应用题。 分析：（1）根据题意做出变量的可能取值是10，5，2，﹣3，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率和分布列．

（2）设出生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4﹣n 件，根据生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元，列出关于n 的不等式，解不等式，根据这个数字属于整数，得到结果，根据独立重复试验写出概率． 解答：解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，﹣3，且 P （X=10）=0.8×0.9=0.72，P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08，P （X=﹣3）=0.2×0.1=0.02． ∴X 的分布列为：

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4﹣n 件． 由题设知4n ﹣（4﹣n ）≥10， 解得

，

又n ∈N ，得n=3，或n=4．

334

所求概率为P=C4×0.8×0.2+0.8=0.8192

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查独立重复试验的概率公式，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目可以作为高考题的解答题目出现． 23、（2010•江苏）已知△ABC 的三边长都是有理数． （1）求证cosA 是有理数；

（2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数． 考点：余弦定理的应用；数学归纳法。 专题：计算题；证明题。

分析：（1）设出三边为a ，b ，c ，根据三者为有理数可推断出b +c﹣a 是有理数，b +c﹣a 是有理数，进而根据

有理数集对于除法的具有封闭性推断出

也为有理数，根据余弦定理可知

=cosA，进而可

2

2

2

2

2

2

知cosA 是有理数．

（2）先看当n=1时，根据（1）中的结论可知cosA 是有理数，当n=2时，根据余弦的二倍角推断出cos2A 也是有理数，再假设n≤k（k≥2）时，结论成立，进而可知coskA 、cos （k ﹣1）A 均是有理数，用余弦的两角和公式分别求

得cos （k+1）A ，根据cosA ，coskA ，cos （k ﹣1）A 均是有理数推断出cosA ，coskA ，cos （k ﹣1）A ，即n=k+1时成立．最后综合原式得证．

解答：解：（1）证明：设三边长分别为a ，b ，c ，

2

2

2

，

∵a ，b ，c 是有理数，b +c﹣a 是有理数，分母2bc 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， ∴

必为有理数，

∴cosA 是有理数．

（2）①当n=1时，显然cosA 是有理数；

当n=2时，∵cos2A=2cos2

A ﹣1，因为cosA 是有理数，∴cos2A 也是有理数； ②假设当n≤k（k≥2）时，结论成立，即coskA 、cos （k ﹣1）A 均是有理数． 当n=k+1时，cos （k+1）A=coskAcosA

，

解得：cos （k+1）A=2coskAcosA﹣cos （k ﹣1）A

∵cosA ，coskA ，cos （k ﹣1）A 均是有理数，∴2coskAcosA ﹣cos （k ﹣1）A 是有理数， ∴cosA ，coskA ，cos （k ﹣1）A 均是有理数． 即当n=k+1时，结论成立．

综上所述，对于任意正整数n ，cosnA 是有理数.

sinkAsinA

﹣，

，