专题--整式与分式

本讲教育信息】一、教学内容：

专题——整式与分式

二、教学目标：

1. 了解分解因式的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式．

2. 熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算．

3. 会解分式方程和分式方程应用题．

4. 体会数学知识之间的整体联系．

三、知识要点分析：

1. 分解因式

分解因式的常用方法：提公因式法、运用公式法．

2. 分式的运算

（1）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．

（2）分式乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．

（3）分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．

3. 分解因式和整式乘法运算是互逆的，分解因式和整式乘法运算是分式运算的重要依据．

4. 解分式方程的一般步骤：

（1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程．

（2）解这个整式方程．

（3）验根，即把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根．需要注意的是，这种代入最简公分母验根的方法虽然简便，但是必须要保证解方程的各步运算准确无误，否则这种简便的验根方法不能起到有效的作用．因此，我们还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，看等式左边是否等于右边．

【典型例题】

知识点1：分解因式

例1. 分解因式：

（1）x3－2x2＋x；（2）x2（x－y）＋y2（y－x）．

题意分析：本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式．

思路分析：（1）题是三项式，先提取公因式，再考虑用完全平方公式解题．（2）题先提取公因式，再考虑用平方差公式解题．

解：（1）x3－2x2＋x

＝x（x2－2x＋1）

＝x（x－1）2；

（2）x2（x－y）＋y2（y－x）．

＝（x－y）x2－（x－y）y2

＝（x－y）（x2－y2）

＝（x－y）（x＋y）（x－y）

＝（x－y）2（x＋y）．

解题后的思考：解决分解因式的问题时，首先考虑因式是否有公因式，如果有，先提取公因式；如果没有公因式且因式是两项式，则考虑能否用平方差公式分解因式；因式是三项式时应考虑用完全平方公式解题．最后，直到每一个因式都不能再分解为止．

例2．在边长为a cm的正方形木板上开出边长为b cm（b＜）的四个方形小孔，如图所示．

（1）试用a、b表示出剩余部分的面积；

（2）若a＝14.5，b＝2.75，则剩余部分的面积是多少？

题意分析：本题意在考查整式和分解因式的综合应用．

思路分析：剩余面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积．

解：（1）剩余部分的面积＝（a2－4b2）cm2．

（2）当a＝14.5，b＝2.75时，

（a2－4b2）＝（a＋2b）（a－2b）

＝（14.5＋5.5）（14.5－5.5）

＝20×9

＝180（cm2）．

答：剩余部分的面积是180cm2．

解题后的思考：观察所列算式，先分解因式，再代入求值较简便．

小结：分解因式是整式的一种重要的恒等变形，它和整式乘法运算，尤其是多项式乘法运算有着密切的联系．分解因式是分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础．

等关系的方法是相同的，所不同的是分式方程的数量关系大多是以分式的形式出现的．

小结：检验是解分式方程必不可少的步骤．注意，解分式方程的检验与解一元一次方程的检验是不同的，解一元一次方程验根的目的只是检验解答的过程有无错误，而解分式方程验根的目的是在解答无误的前提下看是否有增根，检验的办法是把结果代入原方程的各分母，看是否为零，也可直接代入最简公分母，看是否为零．

总结：本讲内容联系较密切，整式乘法→分解因式→分式运算→分式方程，层层递进，逐级加深．应重点掌握分解因式的方法和分式运算法则，并在此基础上进一步提高分析解决综合问题和应用问题的能力．

【预习导学案】

（暑假专题——图形的相似）

一、预习前知

1. 如何判断两个三角形相似，相似三角形有什么性质？

2. 什么是相似图形，什么是位似图形？

二、预习导学

1. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（   ）

A. 4.8米            B. 6.4米               C. 9.6米               D. 10米

2. 如图，在RtΔABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D，BC＝3，AB＝5，其中的一对相似三角形是__________和__________；它们的面积比为_________．

【模拟试题】（答题时间：50分钟）

一、选择题

*4. 用简便方法计算下列各题．

（1）10002－2000×993＋9932；

（2）1.992－2.992．

**5. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，则不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．

天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．

（Ⅰ）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．

（要求：填上适当的代数式，完成表格）

速度（千米／时）

所用时间（时）

所走的路程（千米）

骑自行车

x

10

乘汽车

10

（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．