轴对称变换 要点全析
轴对称变换·要点全析
1.变换
在《现代汉语词典》中,变换的意思是:事物的一种形式或内容换成另一种,如变换位置、变换手法.
在前面学习全等三角形时,学习和介绍了全等变换.所谓全等变换,即把一个图形经过平移、翻折、旋转后,得到另一个图形的过程.在这个过程中,原来图形的形状、大小都没有改变,只是位置、方向发生了改变.
如图14-2-1中,(1)图是△ABC 平移后得到△DEF ,(2)图是△ABC 翻折后得到△DBC ,(3)图是△ABC 旋转一个角(即∠BAD )后,得到△ADE ,(4)图是△ABC 先平移(BE ),后翻折,得到△DEF ,以上这几种图形变化的过程都是全等变换.变换前后,两图形全等.
2.轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.
例如:图14-2-2中,△DEF 与△ABC 成轴对称,同样得到△ABC 的一系列对称图形
△GHK 、△PQR 、△LMN 等,并且△ABC ≌△DEF ≌△GHK ≌△PRQ ≌△LMN .以上这些图形的变化过程就是轴对称变换.
3.轴对称变换的性质
(1)变换前后的两个图形的形状、大小完全一样.
(2)新图形的每一个点,都是原图形上每一个点关于某直线的对称点.
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
【说明】如图14-2-2中,以△ABC 与△DEF 关于直线l 对称为例说明如下: ①△ABC 与△DEF 全等,只是图形的位置与方向发生变化,而形状、大小没变.
②点A 、B 、C 分别与点D 、E 、F 关于直线l 对称.
③线段AD 、CF 被直线l 垂直平分.
(4)①当对称轴平行时,变换一次,方向改变;变换两次,与原图形方向相同.依此类推,当变换奇数次时,方向改变,当变换偶数次时,方向不变.如图14-2-3.
②当对称不平行时,方向改变的幅度随对称轴的倾斜程度而变化.如图14-2-4.
4.轴对称变换的应用
利用轴对称变换可以设计出精美的图案,在许多美术作品和工艺制品中,经常看到轴对称变换的例子.如图14-2-5中的设计图:
再如图14-2-6中的剪纸图:
5.如何作一个图形关于某直线的对称图形
由轴对称图形的性质可知,对称点的连线被对称轴垂直平分.因此,先把一个几何图形看成由一些点组成,只要作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些对应点,就可得到原图形关于对称轴的对称图形.
对于一些由特殊直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可得到原图形关于对称轴的对称图形.
例如:如图14-2-7中,已知△ABC 和直线l .作出△ABC 关于直线l 的对称图形.
分析:在(1)图中,△ABC 的三个顶点已确定,只要作出三个顶点关于直线l 的对称点,连接这三个对称点,就得△ABC 关于直线l 对称图形. 作法:(1)图中,
(1)过点A 作直线l 的垂线,垂足为G ,在垂直线上截取GA ′=GA .则点A ′,就是点A 关于直线l 的对称点(因AA ′被直线l 垂直平分).
(2)同样道理和方法,分别作出点B 、C 关于直线l 的对称点B ′、C ′.
(3)连接A ′B ′、B ′C ′、C ′A ′,得到△A ′B ′C ′即为所求.
在(2)图中,作法同(1)图的作法,图形如(2)图所示.再如一些几何图形的对称图形的画法,如图14-2-8所示.
6.应用轴对称,寻找最佳方案问题
例如:如图14-2-9,在金水河的同一侧有两个村庄A 、B .要从河边同一点修两条水渠到A 、B 两村浇灌蔬菜,问抽水站应修在金水河MN 何处使两条水渠最短?
分析:先将具体问题抽象成数学模型.河流为直线MN ,在直线MN 的同一侧有A 、B 两点.在直线MN 上找一点P ,使P 点到A 、B 两点的距离之和为最小.这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决.
解:如图14-2-9所示,作B 点关于直线MN 的对称点B ′,连接AB ′与MN 相交于点P ,则P 点即为所求.事实上,如果不是P 点而是P ′点时,则连接AP ′、P ′B 和P ′B ′.
由轴对称性可知,P ′B =P ′B ′,PB =PB ′,所以P ′到A 、B 的距离之和AP ′+
P ′B =AP ′+P ′B ′.
而P 到A 、B 的距离之和AP +PB =AP +PB ′=AB ′,
在△AB ′P ′中,三角形两边之和大于第三边,即AP ′+P ′B ′>AB ′.所以P 点即为所求的点.
【说明】(1)此题为典型的最佳方案选择问题,问题的核心是如何节省材料,反映在数学上就是寻找最小值问题.
(2)与此类型相似,前几节学过的利用角平分线、线段垂直平分线的性质解决等距问题,也是按此方法处理的.
(3)解决这类问题时,先把具体问题抽象成数学模型,再用数学中学过的有关法则、定理等去解决.
(4)在本例中,充分利用了轴对称的性质.
7.轴对称的坐标表示方法
点(x ,y )关于x 轴对称点的坐标为(x ,-y );点(x ,y )关于y 轴对称点的坐标为(-x ,y ).
如图14-2-10中,点P (2,3)关于x 轴的对称点为P 2(2,-3),关于y
轴的对称点为P 1,(-2,3);点P 2关于y 轴的对称点为P 3(-2,-3);而点P 3(-2,-3)与点P 1(-2,3)关于x 轴对称.
因此,我们得到规律:
关于x 轴对称的两个点的坐标,横坐标不变,纵坐标变成它的相反数;关于y 轴对称的两个点,纵坐标不变,横坐标变成它的相反数.反过来,也成立. 例如:判断下列各点的位置关系:
A (2,-5) B (2,5) C (-2,-5) D (-2,5) 解:由坐标特点知,A 与B 关于x 轴对称,A 与C 关于y 轴对称,B 与D 关于y 轴对称.
8.点P (x ,y )关于直线x =a 的对称点坐标
如图14-2-11中,点P (1,4)关于直线x =2的对称点为P 1(3,4);关于
直线x =-1的对称点为P 2(-3,4).
由此可以看出,点P 、P 1、P 2的纵坐标都没变,都是4,而P 1、P 2的横坐标发
生了变化,变化的规律是:P 1点的横坐标比A 点横坐标2多了一个AP 1(即AP )的长,而AP 的长为2-1=1,∴ P 1横坐标为2+(2-1)=3.
同样道理,P 2点的横坐标是比B 点横坐标-1多了一个BP 2(即BP )的长,
而BP 的长为|-1-1|=2,∴ P 2横坐标为-1+(-1-1)=-3.
因此,得出规律:点P (x ,y )关于直线x =m 的对称点P 1的横坐标为m +
(m -x )=2m -x ,纵坐标不变,即点P 1、坐标为(2m -x ,y ).
同样,点P (x ,y )关于直线y =m 的对称点P 2的纵坐标为m +(m -y )=
2m -y ,横坐标不变,即点P 2坐标为(x ,2m -y ).
由此可以直接写出点P (3,2)关于直线x =5的对称点坐标为P 1(2×5-3,
2),即P 1(7,2),关于y =3的对称点P 2的坐标为P 2(3,4)
例如:写出下列点关于直线x =4和直线y =5的对称点的坐标.
A (2,3) B (4,5) C (-3,1) D (-2,-1) 解:由上面的式子可知,点关于直线x =4的对称点和关于直线y =5的对称
关于y 轴(x =0)对称的点的坐标中,y 坐标不变,x 坐标为其相反数.
9.轴对称在生产实际中的应用
应用点的对称性质能解决生产实践中遇到的寻求最佳点的问题,看下面两个例子.
例 1:如图14-2-12,EFGH 是一个长方形的台球桌面,有黑、白两球分别位于A 、B 位置上.试问:怎样撞击黑球A ,使黑球先撞击台边EF ,反弹后再击中白球B ?试画出黑球A 的运动路线.
画法:(1)作点A 关于EF 的对称点A ′.
(2)连接A ′B 交EF 于点M .
点M 就是黑球A 撞击边框EF 的位置,黑球A 的运动路线为AMB .
根据物理知识,黑球A 的入射角∠AMC 只有与黑球A 撞击边框EF 反弹后的反射角∠BMC 相等,黑球A 才能击中白球B .
证明:过点M 作垂线CD .
∵ EF 是线段A ′A 的中垂线,
∴ MA =MA ′,∴ ∠AMF =∠A ′MF .
又∵ ∠FMC =∠FMD =90°(已知),
∴ ∠AMC +∠AMF =90°,∠A ′MD +∠A ′MF =90°.
∴ ∠AMC =∠A ′MD (等角的余角相等).
又∵ ∠A ′MD =∠BMC (对顶角相等).
∴ ∠AMC =∠BMC (等量代换).
例 2:如图14-2-13,甲、乙、丙三人做接力游戏.开始时,甲站在∠AOB 内的P 点,乙站在OA 上,丙站在OB 上.游戏规则:甲将接力棒传给乙,乙将接力棒传给丙,最后丙跑到终点P 处.如果甲、乙、丙三个人速度相同,试找出乙、丙站在何处,他们比赛所用的时间最短.
画法:(1)作点P 关于OA 的对称点P 1.
(2)作点P 关于OB 的对称点P 2.
(3)连接P 1P 2交OA 于点M ,交OB 于点N .
则点M 是乙所站的位置,点N 是丙所站的位置.
证明:若在OA 上取一点M ′,连接M ′P 1,M ′P .
∵ P 和P 1关于OA 对称,
∴ M ′P 1=M ′P ,同理在OB 上取一点N ′,则N ′P =N ′P 2.
若乙站在M ′位置,丙站在N ′位置,接力棒传递路线为:PM ′+M ′N ′+N ′P .
∵ P 1M ′=PM ′,N ′P 2=N ′P ,
∴ PM ′+M ′N ′+N ′P =P 1′+M ′N ′+N ′P 2.
∵ 两点间直线段最短,
∴ P 1M ′+M ′N ′+N ′P 2>P 1P 2=P 1M +MN +NP 2=PM +MN +NP .
因此,乙站在M 点,丙站在N 点,甲、乙、丙三人传递接力棒的距离最短.