2015年-高考试卷及答案解析-数学-文科-福建(精校版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建文）

一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1. 若(1+i )+(2-3i )=a +bi （a , b ∈R , i 是虚数单位），则a , b 的值分别等于（ ） A.3，-2 B.3，2 C.3，-3 D.-1，4 2. 若集合M ={x -2≤x

A. y B. y =e x C. y =cos x D. y =e x -e -x 4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ） A.2 B.7 C.8 D.128 5. 若直线

x y

+=1(a >0, b >0)过点(1,1)，则a +b 的最小值等于（ ） a b

A.2 B.3 C.4 D.5

5

，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） 12

121255A. B. - C. D. - 551212

r r r r r r r

7. 设a =(1,2), b =(1,1), c =a +kb . 若b ⊥c ，则实数k 的值等于（ ）

6. 若sin α=-

3553A. - B. - C. D.

2233

8. 如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点

⎧x +1, x ≥0

⎪

C 与点D 在函数f (x )=⎨1的图象上. 若在矩形ABCD 内随

-x +1, x

机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）

1131A. B. C. D. 6428

9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）

A. 8+

B. 11+

C. 14+D. 15

⎧x +y ≥0,

⎪

10. 变量x , y 满足约束条件⎨x -2y +2≥0, 若z =2x -y 的最大值为2，则实数m 等于（ ）

⎪mx -y ≤0. ⎩

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

x 2y 2

11. 已知椭圆E :2+2=1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线

a b

l :3x -4y =0 交椭圆E 于A , B 两点. 若AF +BF =4，点M 到直线l 的距离不小于

4

，则5

椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）

⎛⎡3⎫3⎤⎛3⎤⎡3⎫A. 0⎥ B. 0⎥ C. ⎢ D. ⎢, 1⎪ ，1⎪⎪ 2⎥⎝4⎦⎣4⎭⎢⎣2⎭⎝⎦⎛π⎫

12. “对任意x ∈ 0, ⎪, k sin x cos x ＜x ”是“k

⎝2⎭

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。 13. 某校高一年级有900名学生，其中女生400名. 按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数是_____.

o o

14. 若V

ABC 中，AC A =45, C =75，则BC =_____.

x -a

15. 若函数f (x ) =2

(a ∈R )满足f (1+x )=f (1-x )，且f (x )在[m , +∞) 上单调递增，则实

数m 的最小值等于_____.

16. 若a , b 是函数f (x )=x 2-px +q (p >0, q >0)的两个不同的零点，且a , b , -

2这三个数可适当

排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于_____.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

等差数列{a n }中，a 2=4, a 4+a 7=15. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设b n =2a n -2+n ，求b 1+b 2+b 3+L b 10的值.

18. （本小题满分12分）

全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．

（I ）现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；

（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．

19. （本小题满分12分）

已知点F 为抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点，点A (2, m )在抛物线

E 上，且AF =3．

（I ）求抛物线E 的方程；

（Ⅱ）已知点G (-1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．

20. （本小题满分12分）

如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A , B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且

PO =OB =1．

（I ）若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； （Ⅱ）求三棱锥P -ABC 体积的最大值；

（Ⅲ）若BC E 在线段PB 上，求CE +OE 的最小值．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22. （本小题满分12分）

x x x

已知函数f (

x )=cos +10cos 2．

222

（I ）求函数f (x )的最小正周期； （Ⅱ）将函数f (x )的图象向右平移

π

个单位长度，再向下平移a (a >

0)个单位长度后得到6

函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2． （ⅰ）求函数g (x )的解析式；

（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0．

23. （本小题满分14分） 已知函数f (x )

(x -1)=ln x -

2

2

．

（I ）求函数f (x )的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当x >1时，f (x )

（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1, x 0)时，恒有f (x )>k (x -1).

2015年普通高等学校招生全国统一考试答案（福建文）

1. 答案：A

解析：(1+i )+(2-3i )3-2i =a +bi 由复数相等的定义可知：a =3, b =-2，故选A. 2. 答案：D

解析：由集合交集的定义可知M I N ={0,1}故选D. 3. 答案：D

解析：A,B 项中的函数为非奇非偶函数；C 项中的函数为偶函数；D 项中的函数为奇函数，

故选D.

解析：由程序框图可知，当x =1时，y =8，故选C. 5. 答案：C

解析：因为直线

x y 11

+=1(a >0, b >0)过点(1, )1，所以+=1，所以a b a b

a b ⎛11⎫

a +b =(

a +b )⋅ +⎪=2++≥2+4，当且仅当a =b =2时取“=”. 故选C.

a b b a ⎝⎭

6. 答案：D 解析：∵sin α=-

513

α为第四象限角，

，

∴cos α=

7. 答案：A

12sin α5, 则tan α==-. 故选D. 13cos α12

r r r r r 3

解析：c =a +kb =(1+k ,2+k )，由b ⊥c ，得，即1+k +2+k =0，解得k =-. 故选A.

2

8. 答案：B

解析：易知点C (1,2)，点D (-2,2)，所以矩形ABCD 的面积为6, 阴影部分面积为

3

，故所2

1

求概率为. 故选B.

4

9. 答案：B

解析：由三视图可知该几何体是直四棱柱，底面梯形的周长为4+

，侧面积为8+上、下底面面积均为10. 答案：C

解析：当m

当m =2时，目标函数z =2x -y 的最大值为0. 故选C.

11. 答案：A

解析：直线l :3x -4y =0过原点，从而A,B 两点关于原点对称，于是AF +BF =2a =4，

所以a =2，不妨令M (0, b )，则由点M (0, b )到直线l 的距离不小于

3

.

故表面积为11+. 故选B. 2

4

，得

5

故选A.

4c 2a 2-b 232

0

1e ∈. ≥，即b ≥1，所以e =2=，又，所以≤

5a a 24

k ⎛π⎫

解析：设f (x )=k ⋅sin x ⋅cos x =⋅sin2x ，g (x )=x ，对任意x ∈ 0, ⎪，k sin x cos x

2⎝2⎭

价于f (x )

13. 答案：25

解析：男生人数为900-400=500. 设应抽取男生x 人，则由男生25人. 14.

解析：B =180o -45o -75o =60o . 由正弦定理得15. 答案：1

解析：由f (1+x )=f (1-x )可知f (x )的图像关于直线x =1对称，所以a =1，结合图像知函数f (x )=2x -1在[1,+∞) 上单调递增，故实数m 的最小值为为1. 16. 答案：9

解析：依题意有a , b 是方程x 2-px +q =0的两根，则a +b =p ，ab =q 由p >0, q >0可知a >0, b >0. 由题意可知ab =(-2)=4=q , a -2=2b 或b -2=2a . 将a -2=2b 代入ab =4可

2

45x

得x =25. 即应抽取=

900500

AC BC

，可得BC = =

sin B sin A

解得a =4, b =1，此时a +b =5，将b -2=2a 代入ab =4可解得a =1, b =4，此时a +b =5，则p =5，故p +q =9

17. 解析：（I ）设等差数列{a n }的公差为d 。

⎧⎪a 1+d =4

由已知得⎨

a +3d +a +6d =15)(1)⎪⎩(1⎧a =3

解得⎨1

d =1⎩

所以a n =a 1+(n -1)d =n +2 （II ）由（I ）可得b n =2n +n

所以b 1+b 2+b 3+……+b 10=(2+1) =(22+2) =(23+3) +……+(210+10)

=(2+22+23+……+210) +(1+2+3+L L +10)

2(1-210) (1+10) ⨯10

= +

1-22 =(211-2) +55 =211+53=2101

18. 解析：（I ）融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4,5） 内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2，从融合指数在[4,5）和[7，8]内的“省级卫视新闻台” 中随机抽取2家所有基本事件是：{A 1, A 2}, {A 1, A 3}, {A 2, A 3}, {A 1, B 1}, {A 1, B 2}, {A 2, B 1}, {A 2, B 2},

{A 3, B 1}, {A 3, B 2}, {B 1, B 2}，共10个。其中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是 {A 1, A 2}, {A 1, A 3}, {A 2, A 3}, {A 1, B 1}, {A 1, B 2}, {A 2, B 1}, {A 2, B 2}, {A 3, B 1}, {A 3, B 2}, 共9个.

所以所求的概率P =

9。 10

2873+5.5⨯+6.5⨯+7.5⨯ 20202020

（II ）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5⨯

=6.05.

19. 解析：（I ）由

抛物线的定义得AF =2+

因为AF =3, 即2+解得p =2，

所以抛物线E 的方程为y =4x ．

（II ）因为点A (2, m )在抛物线E :y 2=4x 上，

所以m =±A ． 由A ，F (1，0)可得直线AF 的方程为y =x -1)．

2

p

． 2

p

=3， 2

((⎧⎪y =x -1)由⎨，得2x 2-5x +2=0，2⎪⎩y =4x

解得x =2或x =

又G (-1,0)， 所以

K GA =

1⎛1，从而B , ． 2⎝2， K GB ==

-(

-1)2

所以K GA +K GB =0，从而∠AGF =∠BGF ，这表明点F 到直线GA , GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 20. 解析：（I ）在∆AOC 中，因为OA =OC ，D 为AC 的中点，

所以AC ⊥OD ．

又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以PO ⊥AC ． 因为DO I PO =O ， 所以AC ⊥平面PDO ．

（II ）因为点C 在圆O 上，

所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1． 又AB =2，所以∆ABC 面积的最大值为1． 又因为三棱锥P -ABC 的高1，

1

故三棱锥P -ABC 体积的最大值为．

3（III ）在V POB 中，PO =OB =1, ∠POB =90o ,

所以

PB

．

同理PC =，所以PB =PC =CB ．

在三棱锥P -ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC 'P ，使之与平面

ABP 共面，如图所示．

当O , E , C '共线时，CE +OE 取得最小值． 又因为OP =OB ，C 'P =C 'B ， 所以OC '垂直平分PB ， 即E 为PB 中点．

从而OC '=OE +EC '=

， 亦即CE +

OE ． x x x

21. 解析：（I ）因为f (

x )=cos +

10cos 2

222

=x +5cos x +5

π⎫⎛

=10sin x +⎪+5

6⎭⎝

所以函数f (x )的最小正周期T =2π． （II ）（i ）将f (x )的图象向右平移

π

个单位长度后得到y =10sin x +5的图象，再向下平6

移a (a >0)个单位长度后得到g (x )=10sin x +5-a 的图象． 又已知函数g (x )的最大值为2，所以10+5-a =2，解得a =13． 所以g (x )=10sin x -8．

（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0，就是要证明存在

无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0-8>0，即sinx 0>由

4π4

4

．

5

由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0, π-α0)时，均有sin x >

4． 5

因为y =sin x 的周期为2π，所以当x ∈(2k π+α0,2k π+π-α0)(k ∈Z )时，均有

sin x >

4． 5

因为对任意的整数k ，(2k π+π-α0)-(2k π+α0)=π-2α0>

π

3

>1，

所以对任意的正整数k ，都存在正整数x k ∈(2k π+α0,2k π+π-α0)，使得

sin x k >

4

．亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 5

1-x 2+x +122. 解析：（I ）f '(x )=-x +1=, x ∈(0, +∞)． x x

⎧x >0由f '(x )>0得⎨2解得00⎩

⎛故f (x

)的单调递增区间是 ．

⎝⎭

（II ）令F (x )=f (x )-(x -1), x ∈(0, +∞)，

1-x 2

则有F '(x )=． x

当x ∈(1, +∞)时，F '(x )

所以F (x )在[1,+∞) 上单调递减， 故当x >1时，F (x )1时，f (x )1满足题意．

当k >1时，对于x >1，有f (x )1满足题意．

当k

-x 2+(1-k )x +11则有G '(x )=-x +1-k =． x x

由G '(x )=0得，-x 2+(1-k )x +1=0． 解得

x 1=

x 2>1． 当x ∈(1, x 2)时，G '(x )>0，故G (x )在[1,x 2) 内单调递增． 从而当x ∈(1, x 2)时，G (x )>G (1)=0，即f (x )