等比数列基础知识点+练习
数列专题(三):等比数列
知识点 等比数列的基本概念和等差数列的区别与联系
1. 等比数列 等差数列
a a
定义: n +1=q 或n =q a n +1-a n =d 或a n -a n -1=d
a n a n -1
公比: q 公差: d
⎧递增数列 :a 1>0, q ≥1⎧递增数列:d ≥0
单调性: ⎨a 0, 0
⎧①等差中项:若a , A , b 呈是等差数列
⎧①等比中项:若a , A , b 成等比数列 ⎪⎪a +b ⎪2
性质: ⎨ 则 A =ab ⎨ 则 A =
2⎪②若m +n =p +q , 则a ⋅a =a ⋅a ⎪ m n p q ⎩⎪⎩②若m +n =p +q , 则a m +a n =a p +a q
⎧⎧①定义法:a n -a n -1=d n ≥2, 且n ∈N *或a n +1-a n =d ⇔数列{a n }为等差数列⎪⎪ ⎪⎪*(1)等差数列的判定:⎨②等差中项法:2a n =a n -1+a n +1(n≥2, 且n ∈N ) ⇔数列{a n }为等差数列 ⎪⎪
③通项公式法:a n =kn +b (k, b 为常数) ⇔数列{a n }为等差数列⎪⎪ ⎨⎩2.
⎪a n a n +1⎧*
①=q n ≥2, 且n ∈N 或=q ⇔数列{a n }为等比数列⎪⎪ ⎪(2)等比数列的判定:a a n -1n ⎨
⎪⎪②等比中项法:a 2=a ⋅a (n ≥2, 且n ∈N *) ⇔数列{a }为等比数列
n n -1n +1n ⎩⎩
**
注意:①a -a =d (d为常数,n ∈N ) 对任意的n ∈N 恒成立,不能几项成立就说{a n }为等差数列。n +1n
②a n +1=q (q 为常数,n ∈N *) 对任意的n ∈N *恒成立,不能几项成立就说a 为等比数列。 {n }
a n
⎧⎧①若是两个数呈等差数列,则可设为a -d , a +d ;
⎪⎪ 1等差数列的假设()⎨②若是三个数呈等差数列,则可设为a -d , a , a +d ; ⎪ ⎪③若是四个数呈等差数列,则可设为a -3d , a -d , a +d , a +3d . ⎪
⎩⎪
⎪⎧a ⎪①若是两个数呈等比数列,则可设为, aq ; ⎪3. 类比⎨q ⎪⎪
⎪(2)等比数列的假设⎪②若是三个数呈等比数列,则可设为a , a , aq ;
⎨⎪q ⎪⎪
⎪a a ⎪③若是四个数呈等比数列,则可设为, , aq , aq 3. ⎪3⎪q q ⎩⎩
()
()
考点一 等比数列的通项公式:利用方程的思想求出等比数列的首项a 1和公比q ⇔a n =a 1q n -1
例1 (1()2013⋅北京高考)等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =_________
24
⎧⎧a 1=2⎪a 1q +a 1q =20 ①方程①⨯q ⎧⎪a 1q +a 1q =20q
解:−−−−→⇒⎨2⎨2⎨44
a q +a q =40 ②a q +a q =40⎪⎪⎩q =2⎩11⎩11
3
( 2()2014⋅江苏高考)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 2=1,a 8=a 6+2a 4, 则 a 6=________
解析:①运用解方程的思想,求首项a 1和公比q
②若求出首项a 1和公比q 很麻烦,数字很大或很难处理时,有时需要整体代换
2
⎧q =2⎪
解:a 8=a 6+2a 4⇒a 1q 7=a 1q 5+2a 1q 3⇒q 4=q 2+2⇒q 4-q 2-2=0⇒⎨2⇒a 6=a 2q 4=4
⎪⎩q =-1(舍)
强化练习:
1 已知等比数列{a n }的公比为正数,且a 2⋅a 6=9a 4,a 2=1, 则 a 1=( )11
A. 3 B. -3 C. - D.
332 已知等比数列{a n }中,且a 6+a 2=34,a 6-a 2=30, 则 a 4=( ) A. 8 B. 16 C. ±8 D. ±16
2
3 已知等比数列{a n }中,满足a 1=2,a 3a 5=4a 6,则 a 3=( )
11 A. B. 1 C. 2 D.
24
4 已知等比数列{a n }中,且a 1+a 2=324,a 3+a 4=36, 则a 5+a 6=________5 已知等比数列{a n }中,且a 5+a 6=27,a 7+a 8=81, 则a 3+a 4=________
⎧ ⎪①等比中项:a ,G, b 成等比数列,则G =ab ;
考点二 等比数列的性质⎨ ⎪⎩②若m +n =p +q , 则a m a n =a p ⋅a q
例2 (2014⋅天津高考)设{a n }是首项为a 1, 公差为-1 的等差数列,S n 为其前n 项和,若
S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1=( )
11 A 2 B -2 C D -22
解析:利用等比中项的性质。
S ,S ,S 成等比数列⇒S 2=S ⋅S ∴(2a +d )2=a (4a +6d ), 代入d =-1解得a =-1 1242141111
2
例 3 (2014⋅广东高考)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4, log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=____________则
⎧ln e =1
A ⎪
解析:考察知识点①lg A +lg B =lg AB ; ②lg A -lg B =lg ; ③lgA B =B lg A ; ④⎨lg10=1,
B ⎪log 1=0
⎩a
②若m +n =p +q , 则a m a n =a p ⋅a q log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=log 2a 1a 2a 3a 4a 5, 又a 1a 5=a 2a 4=a 3a 3=4∴ log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=log 2a 1a 2a 3a 4a 5=log 24⋅2⋅4=log 232=5
2
强化练习:
1(() 2014⋅全国高考II )等差数列{a n }公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( )
n (n +1)n (n -1) A. n (n +1) B. n (n -1) C. D. 22
6x +6,... 的第四项等于( )(2() 2013⋅江西高考)等比数列x ,3x +3,
A. -24 B. 0 C. 12 D. 24
(3() 2014⋅安徽高考)数列{a n }是等差数列,若a 1+1, a 3+3, a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q =___
(4()2014⋅山东高考)等差数列{a n }中,已知公差d =2, 若a 2是a 1与a 4的等比中项,则a n =___________
(5() 2014⋅山东高考)等差数列{a n }的公差d =2, 前n 项和为S n , 且S 1,S 2,S 4成等比数列,则a n =_____
(6() 2014⋅重庆高考)对任意等比数列{a n },下列说法一定正确的是( ) A. a 1, a 3, a 9成等比数列 B. a 2, a 3, a 6成等比数列 C. a 2, a 4, a 8成等比数列 D. a 3, a 6, a 9成等比数列
(7)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 9=2,则log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5+log 2a 6+log 2a 7=_______
(8)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 2a 7=10,则lg a 1+lg a 3+lg a 4+lg a 5+lg a 6+lg a 8=__________
(9)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 2a 7=10,则lg a 1+lg a 3+lg a 4+lg a 5+lg a 6+lg a 8=__________ (10() 2014⋅广东高考)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则
ln a 1+ln a 2+... +ln a 20=_____________
(11() 2014⋅全国高考)等比数列{a n }中,已知a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
三 等比数列的判定考点 a n a n +1⎧*
①=q n ≥2, 且n ∈N 或=q ⇔数列{a n }为等比数列⎪ a a 等比数列的判定:n -1n ⎨
⎪②等比中项法:a 2=a ⋅a (n≥2, 且n ∈N *) ⇔数列{a }为等比数列
n n -1n +1n ⎩
注意:在说明一个数列是等比数列的同时,必须交代首项和公比分别是什么。
*
例4 (1)已知数列{a n }中,a n =2a n -1n ≥2, 且n ∈N , 且a 1=1, 则通项公式a n =__________
(2)已知各项为正数的数列{a n }中,a n +1-1=3(a n -1), 且a 1=3, 则通项公式a n =__________ 解析:(1)可用定义法直接判定数列{a n }为等比数列;
(2)以新数列的视界看待{a n -1},数列{a n -1}是以a 1-1=2为首项,公比为3的等比数列。
a
解:2为公比的等比数列, 即a =a q n -1=2n -1( 1) a =2a ⇒n =2 ∴数列{a }是以a =1为首项,
()
()
n n -1
a n -1
n 1n 1
强化练习:
a n +1-1
=3. 即{a n -1}是以a 1-1=2为首项,公比为3的等比数列
a n -1
∴a -1=2⋅3n -1⇒a =2⋅3n -1+1 n n
例5 已知数列{a n }的前n 项和为S n , 且a n +S n =n
(1 )设c n =a n -1,求证:{c n }是等比数列 (2)求数列{a n }的通项公式.
c 解析:思路由S n -S n -1=a n ⇒c n ⇒n =q ⇒{c n }是等比数列⇒{a n }的通项公式c n -1
(1)证明:解: S 1=a 1 ①-②得a n -a n -1+a n =1 1
∴a 1+a 1=1⇒a 1= ∴2a n =a n -1+1⇒2(a n -1)=a n -1-1 2 a -11 a n +S n =n ................ ① ∴n = a n -1-12 11 ∴a +S =n -1........ ② ∴c 是以a -1=-为首项,公比为的等比数列 {}n -1n -1n 1 22
n -1n n 1⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
(2) c n =-2⋅ 2⎪=- 2⎪ ,又c n =a n -1⇒ c n +1=a n ∴a n =- 2⎪+1
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(2) a n +1-1=3(a n -1)⇒
(1)已知数列{a n }中,a n =
1
a n -1(n ≥2, 且n ∈N *), 且a 1=2, 则通项公式a n =__________2
2
, 则通项公式a n =________________3
(2)已知数列{a n }中,a n +1=3a n (n ∈N *), 且a 1=
(3)已知各项为正数的数列{a n }中,a n +1+1=2(a n +1), 且a 1=3, 则通项公式a n =__________(4)已知各项为正数的数列{a n }中,a n +1-
12⎛1⎫
= a n -⎪, 且a 1=1, 则通项公式a n =__________23⎝2⎭
21
a n +, 则数列{a n }的通项公式a n =________________33
(6)已知数列{a n }的前n 项和为S n , 且S n =4a n -3(n ∈N +),
(5)(2013⋅全国卷I )若数列{a n }的前n 项和S n =
(I )证明:数列{a n }是等比数列. (II )求{a n }的通项公式.
(7)(2014⋅全国高考)已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=3a n +1(n ∈N +),
1⎫⎧
(I )证明:数列⎨a n +⎬是等比数列. (II )求{a n }的通项公式.
2⎭⎩