几例导数应用题的难点突破
第24卷第2期
2004年5月
承德民族师专学报
JournalofChengdeTeachersCollegeforNationanties
V01.24No.2
May.2004
几例导数应用题的难点突破
邱桂红
(河北大学硕研班,
河北
保定07lOOO)
摘要:从分析变量间的关系入手,紧紧抓住导数概念的本质含义,凸现出谁关于谁的变化率.使问题得到正确解决。关键词:变化率;增量;难点中图分类号:0172.1
文献标识码:A
文章编号:l005—1554(2004)02一0011—02
导数是从实际问题中抽象出来的数学概念,它在科学技术中具有广泛的应用。而解应用题一直是学员的难点,突破这一难点的方法,就是抓住导数这一概念在科学技术中的本质含义——变化率,建立
适当的变化率模型。
一、速度模型
=蠡≈o.071(m/min)
所以,当水深6m时,水位的上升速度约为o.
071m/min。
2.化学反应速度模型
例2,质量为mo的物质,在化学分解中经过时
间t后,所剩的质量m与时间t的关系为m=
1.运动速度模型
例1,若水以2m3/min的速度灌人高为10m,底面半径为5m的圆锥形水槽中(图1),问当水深6n1
时,水位的上升速度是多少?
m。e乩’(k>o是常数),求物质的分解速度。
分析
质量是时间t的函数,求物质的分解速
度,应考察时间t内质量的增量。即质量n1一m(t)关
分析灌入水的时间t的变化,引起水位y的变化,从而引起槽中水的体积的变化,因此,水位的
于时间t的变化率,就是时刻t的物质分解速度,即
dm
百。
鳃
上升速度应为y—y(t)。关于时间t的变化,即譬,注
已知m=m。e“‘两边分别对t求导得
水速度应为v(t)。关于时间t的变化率,即箬。于
是,由题意可知,本题是已知了当y一6时,警=2,
案一~moke岫
所以,物质的分解速度为一m。ke“1。二、边际分析
求亲。
解设在时问为t时,水槽中水的体积为y。则
边际概念是经济学中的重要概念,通常指经济变化的变化率,所以,利用导数研究变量的边际变化方法,即边际分析方法,是经济理论的一个重要方
法。
V=号丌x2y,又有争一高,于是V一壶丌y3
上式两边分别对t求导得
dv
】
例3,设某厂每月生产的产品固定成本为1000元,生产x个单位产品的可变成本为o.01x2+10x元,如果每单位产品的售价为30元,试求边际成本、边际收入及边际利润为零时的产量,并给出适当的经济解释。
分析
。dv
面一百丌y“萧
将y一6m,紧一2m3/min
代入得
dydt
4
dv
4×27(×36
图l
在经济学中,边际成本定义为产量增加
兀y2dt
一个单位时总成本的增量,即总成本c(x)关于产量
x的变化率赛;边际收入定义为多销售一个单位产
收稿日期:2003—12一15
作者简介:邱桂红(1965一).女.河北省秦皇岛人.承德民族师专数学系副教授。
品时总收入的增量,即边际收入为总收入R(x)关于
产品销售量x的变化率簧。
一】J-一
邱桂红/著
几例导数应用题的难点突破
解总成本=可变成本+固定成本依题意
1000
总成本函数C(x)一o.01x2+10x+
总收入函数R(x)一30x
E
边际成本为蓑一o.02x+10
边际收人为案一30
边际利润一边际收入一边际成本
圈2
解已知u。一E(1一e一击)两边对t求导
p(X)一慧一篓_20_o.02x
令P(x)一。得x一1000即当月产量为1000个单位时,边际利润为零。
这说明,当月产量为1000个单位时,再多生产一个单位产品不会增加利润,因此,最高月限产
1000个单位,否则,生产越多,亏损越多。
得警一是e一忐
所以,电容器的充电速度为薏e一。
例5,在电容器两端加正弦交流电压u。一U。sin
((t,t+甲),求电流i。
分析电流的大小取决于时间t内电量Q的
三、导数在电路计算中的应用
例4,如图2,在对电容器充电的过程中,电容器充电的电压为u。=E(1一e一赤),求电容器的充电速度。
分析显然,电容器充电的电压是时间t的函
增量,即电量Q关于时间t的变化率祭,而在含有
电容的电路中,电容器上电压u。与电量Q的关系为
Q-Cu。。于是i一警=c警。
解导得
已知u。一U。sin((t,t十‘;P)
两边分别对t求
数,时间t的改变引起电压改变,时刻t的充电速度应为时间t内电容器充电的电压增量,即电压关于
警一(t,u。c。s(ct,t+午)所以i—c崇一c(1Iu。c。s(∞t+I;P)。
时间t的变化率警。
SomeExamples0f
a
BreakthroughtotheDifficultDeriVatiVePrOblems
QIUGui—hong
(TheC1assfor
MasterDegree,HebeiUniversity,Baoding.071002.Hebei)
theconnotationofderivativeconcept
Abstract:
Fromtheanalysisoftherelationsanlongvariables,
rate
hasbeenrevcaled.Thechange
Key
andhasbeenraisedandsolVed.
words:changerate;increment;difficulty
一12—
几例导数应用题的难点突破
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
邱桂红
河北大学,硕研班,河北,保定,071000
承德民族师专学报
JOURNAL OF CHENGDE TEACHERS' COLLEGE FOR NATIONALITIES2004,24(2)0次
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对非对称效应的实证结果发现:IQR与IZR序列对不同方向的冲击所做出的反应均存在非对称性,并且非对称性会因为考察样本的不同而不同。对于全样本市盈率,当受到利空消息冲击时,后期市场波动性更大,当受到利好消息冲击时,后期市场波动性小,即全样本市场市盈率对利空消息的反应相对利好消息更加敏感;对于正样本市盈率:当受到利好消息冲击时,市场反应力度更大,当受利空消失冲击时,市场反应力度小,即正样本市场对利好消息反应更加敏感。
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实证结果认为:A股市盈率时间序列存在分形持续特征,时序数据具有记忆功能,过去信息影响现在,现在信息影响将来;市盈率时序的四种平均非周期循环长度分别为170、240、310、400个交易日,赫斯特指数分别为0.5888、0.5758、0.5644、0.5544;时间平均非周期循环长度超过400个交易日时,市盈率时序发生逆变,系统暂时进入非稳定状态,表现为无稳定均值的回复波动。
论文结尾为结论与展望。总结了全文研究结论,针对性提出了相应投资策略建议与政策建议,对后续研究进行了初步设想。
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7.期刊论文 任韬. 李夏青. Ren Tao. Li Xiaqing 基于PSCAD的牵引供电系统建模与短路电流仿真 -北京石油化工学院学报2010,18(1)
在地铁牵引供电系统馈线保护方式中,电流变化率及电流增量保护是地铁供电系统中常用的保护方式.然而从地铁故障录波得到的众多故障波形看,故障电流常存在幅值很高的冲击电流而后振荡衰减的特点.电流变化率及电流增量保护方式假设的故障电流按指数规律变化的特点与实际情况有出入.笔者基于PSCAD对供电系统进行建模,分析了整流器对短路电流中暂态电流冲击的影响,考虑到实际电器短路瞬间漏抗增大,对PSCAD中的实际电器做了一定的改进,最后得到的仿真波形与实际短路电流波形十分吻合.对基于电流变化量原理的保护研究以及误动作的排除及其相关问题的研究具有十分重要的意义.
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本文首先简述了当前结构损伤识别领域的研究状况和发展趋势,论述了支持向量机方法的基本原理与算法,并阐明了本文研究的课题背景和主要研究内容。本文立足于损伤模式识别与在线参数识别两方面问题,阐述了传统方法的缺陷,对其加以改进,提高识别精度、识别效率及其鲁棒性。
模式识别是一种简单常用的离线损伤识别方法,但动力指纹采用恰当与否对识别结果有很大的影响。结构固有频率是最易提取且测量误差较小的动力指纹,但传统方法对结构固有频率不敏感,损伤程度不易识别;而其他动力指纹虽然具有较好的灵敏度,但实际测量误差大等原因限制了其应用。而支持向量机方法解决了传统模式识别方法对频率变化不敏感的缺陷,采用结构损伤前后的固有频率变化率为动力指纹,不仅能对损伤进行准确定位,而且能识别结构损伤的程度。
在模式识别方法中,采用的核函数适当与否直接关系到动力指纹与损伤之间的影射关系,从而影响到识别效果。本文结合小波函数与高斯核函数提出了小波核函数,数值模拟的结果表明,采用小波核函数识别结构损伤有更好的识别效果,尤其是在多损伤情况下,识别精度显著优于其他常用的核函数。
小波核函数支持向量机模式识别方法简单方便,而且对测量误差较小的频率变化率有较高的灵敏度,弥补了传统方法的局限性。对十层剪切型框架结构的数值模拟结果表明,该方法具有良好的识别精度,尤其是对单损伤情况下,不仅能准确定位,而且对损伤的程度有很高的识别精度。用单损伤训练的支持向量机同时也适用于多损伤情况,在多损伤情况下,能准确定位损伤的位置,损伤程度的识别结果稍有误差,但仍能得到令人满意的结果,而且有很好的抗噪声能力。
在线识别技术能直接识别出结构的动力参数,更加符合实际工程的需求。最小二乘支持向量机(LS-SVM)是对传统在线参数识别方法的改进,通过使用等式约束和二次损失函数将标准SVM方法的二次规划问题求解转化成为线性方程组的求解,从而提高了支持向量机的训练速度。但是LS-SVM方法丧失了标准SVM方法的稀疏性,而且,当一个新数据输入时,需要重新求解整个线性方程组。LS-SVM方法仍然存在识别精度不高,识别效率低,鲁棒性差的缺陷,因此,本文在LS-SVM方法的基础上,提出了改进方法。
首先是基于增量式LS-SVM回归方法提出了增量式加权特征向量LS-SVM回归方法,通过对特征向量的加权,区分各样本在识别中的贡献大小,从而提高了识别精度。但增量式算法将所有数据都纳入识别样本集,计算效率低,为了实现在线识别,需要更高的硬件要求。于是提出了等样本集LS-SVM递归算法,通过局部增加算法与修剪算法,及时更新样本,在加入新样本的同时,剔除过时样本,避免了多次的矩阵求逆运算,大大提高了计算效率,使在线识别成为可能。
在等样本集LS-SVM递归算法基础上,提出了自适应误差加权方法与自适应特征向量指数加权方法,根据回归估计的误差大小赋予样本权重,更进一步提高了识别精度与鲁棒性。对不同的结构损伤模式、受不同噪声干扰的情况进行在线识别,结果表明加权后的等样本集LS-SVM回归方法有更高的识别精度和识别效率,并具有很好的抗噪性能,尤其是自适应特征向量指数加权方法。
将前面的研究成果应用于实际工程。对一振动台试验模型的结构进行损伤识别,识别结果与试验现象基本吻合。 最后对全文的主要工作和研究成果进行了总结,并指出有待进一步改进和研究的方向。
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USB测量系统是我国航天测控网的主体设备,其距离变化率测元(R)由于目前条件限制,未能对电波折射误差进行修正,因而影响了它的测量精度.本文根据USB系统R的测量原理以及数据获取和处理的方法,在现有气象探测条件下,提供一种关于R的电波折射简化修正方法,这样可以修正电波折射的部分误差,从而改进(R)的测量精度,也为航天器的定轨精度提高提供条件.
10.学位论文 王云 结构钢大变形损伤本构关系研究 2005
所谓本构关系是指描述变形体的应力与应变或应力率与应变率之间的关系,为泛指变形体变形的物理方程,也是描述变形体特性的方程。本构关系是力学与工程问题之间一个非常重要的结合点,也是考虑材料损伤时的切入点。采用材料恰当的本构关系是建立各类工程问题力学模型的基础。损伤是指在外荷载和环境的作用下,由于细观结构的缺陷(如微裂纹、微孔洞等)引起的材料或结构的劣化过程。从宏观上看,损伤可认为是材料内部微细结构状态的一种不可逆的、耗能的演变过程。因此在客观描述材料本构关系时,不可忽略损伤对材料的劣化影响。
结构用钢材是一种各向同性材料,且具有优良的延性。在小变形的情况下,结构钢本构理论发展已比较成熟[1],常采用的本构模型有:理想弹塑性模型和强化模型等;然而在大变形的情况下,变形规律不再符合小变形时的假设,不可忽略构型的变化(包括刚性转动和变形)。一些作者为了得到大变形情况下的弹塑性本构关系,常采用一种简单的方法,即在本构方程中,用变形率的弹性部分de替代弹性应变变化率·εe,用Cauchy应力的Jaumann导数替代应力变化率·σ,从而把小变形弹塑性本构方程做形式上的推广。在考虑损伤的时候,也是在小变形假设基础上,由能量等效原理得到损伤材料的应变余能,利用正交法则得到损伤本构模型后再作形式上的推广得到大变形的情况。这是一种简单的方法,遵守了本构理论的客观性原理,不足之处是缺乏理论上的依据。常温或较高温度下,结构钢在塑性大变形中常出现弹塑性损伤,目前国内针对这种情况多采用上述方法构建的损伤本构模型进行损伤弹塑性分析。一些研究人员曾利用热力学第二定律和正交法则构建了小变形弹塑性各向异性损伤本构模型,在有限变形大应变情况下,本构方程中采用Cauchy应力的Jaumann应力增量,再由Kirchhoff应力增量与Cauchy应力增量的转换关系,将其变换成Lagrange参数描述下的大变形弹塑性各向异性损伤本构关系[2]。
本文针对钢结构中经常出现的塑性大变形情况,直接由Rice-Hill[3]大变形弹塑性本构模型入手,将应力场、应变场与损伤场耦合求解,在即时构型中构建用于弹塑性分析的结构钢大变形考虑各向异性弹塑性损伤本构模型。文中利用Nanson公式分别将参考构型中Lagrange描述下的第二类P-K应力张量T和Green应变张量匹进行坐标转换,即转换为即时构型中Euler描述的Cauchy应力张量σ和Almansi应变张量ε,由此完成参考构型和即时构型中的大变形弹塑性本构模型的转换。本文采用塑性耦合损伤的方法来考虑损伤的劣化影响,主要是在构建耗散势函数ψ中,同时考虑了塑性耗散势ψn及损伤耗散势ψ(),并将二者线性耦合。其中,本文取塑性耗散势ψn为参考构型中的混合强化屈服条件,利用张量的协变运算将其转化为即时构型中屈服条件。此外本文采用二阶损伤张量,在Lemaitre应变等价原理中推导各向同性材料的各向异性损伤的损伤能量释放率,从而根据半经验半理论公式得到损伤耗散势。
本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_cdmzszxb200402007.aspx
授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:e18b64f4-208c-4d61-b234-9dce009f3aad
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