归纳法解题

解题方法及提分突破训练：归纳法专题

不完全归纳法是指从一个或几个(但不是全部)特殊情况作一般性的结论的归纳推理。这种归纳法是用一定数量数值为基础,进行分析探究,从中找出规律,并将此规律推广应用到一般情况下的计算和证明．在初中数学教材中，经常会用这种方法进行定义、公式、法则、定理的推导．学生在学习中,若能正确运用不完全归纳法,可提高分析、解决问题能力，发现、探索问题的能力。

一 真题链接

1．(2010中考变式题)如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→„的方式)从A开始数连续的正整数1,2,3,4，„，当数到12时，对应的字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第2n＋1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是________．(用含n的代数式表示)

2．(2011·北京)在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数ai，j规定如下：当i≥j时，ai，j＝1；当i

3. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）

第1个图形

第 2 个图形 第3个图形

第 18题

第 4 个图形

4. （2011湖南常德，8，3分）先找规律，再填数：

[**************]+-1=,+-=,+-=,+-=,[***********]

............ 111则+-_______=.[1**********]1⨯2012

5. （2011广东东莞，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答

.

（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数； （2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n

行共有 个数； （3）求第n行各数之和．

二 名词释义

归纳猜想型问题也是探索规律型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．归纳法主要运用于以下方面： 一 在推导法则、定理中的运用

1．利用不完全归纳法推导分式乘方的运算法则 根据乘方的意义和分式乘法法则，可得：

a3aaaa3a2aaa2a7aaaaaaaa7

==①()= ②()== ③()=„„

bbbbb3bbbb2bbbbbbbbb7an

由此可推出，当n为正整数时，()=

b

aaa·　⋯⋯b b b

n个

a

b

n个a aa·　⋯⋯　·aan

=n(b≠0) =

bb·　⋯⋯　·bb

n个b

即分式乘方要把分子、分母分別乘方

２．利用不完全归纳法推导凸多边形内角和定律

将教材的推导过程整理成下表： 多边 从一个顶点出发的对角形边图 形 线把多边形分割成的三数 角形个数

多边形边的内角和

4 5 6

4-2=2

5-2=3

6-2=4

（4-2）×180

（5-2）×180

(6-2)×180

00

„ n

„ „ n-2

„

（n-2）×180

,分析概括,总结归纳出多边形内角和定理:n边形内角和等于180×(n-2).

说明：本定理的推导，还可以在多边形内（或一边上）取任一点，分别连接多边形的顶点，也可仿照上述方法，得到同样的结论，可让学有余力的学生在课外去探讨。 二.在解题中的应用

1 . 从计算结果中探究规律

例 计算:⑴⑵-22=33 ⑶-222=333 ⑷-请根据上述规律写出下式的结果:

11111......11-2222....22=______________.

2n个1

n个2

分析：①从⑴至⑵式的左边可以看出：被开方数中被减数1的个数是减数2的二倍，其结果中3的个数是减数2的个数。

......11-2222....22=33解：11111⋯　3

2n个1

n个2

n个3

说明：解此类题目关键是正确分析归纳出题中的结果数字与算式中数字之间的特殊关

系，再从特殊推广到一般. 2.从图形的特征中探究规律

例1 下列各三角形图案是由若干个五角星组成的，每条边（包括两个顶点）有n（n>1）五角星,每个图案中五角星的总数为s.按此规律推断:s与n的关系.

★ ★ ★

★ ★ ★ ★ ★ ★

★ ★ ★ ★ ★ ★ „„ ★ ★ ★ ★ n=2，s=3 n=3 s=6 n=4，s=9 图(1) 图(2) 图(3

分析方法一:由于每条边上的五角星数包括了两个顶点,若每边按n个计算,则重算了三角形三个顶点上的三个。故有s=3n-3.

分析方法二：由图可知，每个图案上的五角星总数，随着各边上五角星的增多而增多，且前面一个图案中五角星总数总比其后面一个图案中五角星总数少3，因此可猜想：s=κn+b，根据图（1）、图（2）中的条件就能求出k，b的值，再验证是否满足图（3）的条件。

解：设s=κn+b，

把n=2，s=3；n=3，s=6分别代入上式，得

⎧2k+b=3

⎨

⎩3k+b=6

解得⎨

⎧b=-3

k=3⎩

∴s=3n-3

经检验：n=4，s=9也满足s=3n-3 所求s与n的关系为s=3n-3

例2 如图，∆ABC中，A1、A2、A3、„„An是边AC上不同的n个点，首先连接BA1，图中有3个不同的三角形，再连接BA2图中共有6个不同的三角形

（1）连接到An时，请用n的代数式表示图中共有三角形的个数。 （ 2）若出现45个三角形，则共需连接多少个点？

分析：通过观察图知，当AC上有1个点A1时，连接点B，所得三角形的个数为（2+1）个；当AC上有2个点A1、A2时，分别连接点B，所得三角形的个数为（3+2+1）个，当AC上有3个点A1、A2、A3时，分别连接点B，所得三角形的个数为（ 4+3+2+1）个；„„ 由此可以推测出：当AC上有n个点A1，A2、A3„„An时，分别连接点B，所得三角形的个数为[（n+1）+n+（n-1）+ „„+3+2+1 ]个

解：（1）当连接到An 时，所得三角形总个数为： （n+1） +n+（n-1）+（n-2）+„„+4+3+2+1 =[（n+1）+1]+（n+2）+（n-1+3）+„„]

B

=[(n+2)+(n+2)+⋯+(n+2)] (n+1)(n+2)

2

(n+1)(n+2)

（2）由题意，得=45

2

=

原方程化为：n+3n-88=0

即（n+11）（n-8）=0

∴ n=8或n=-11 （负值不合题意，舍去） 答：当出现45个三角形时，共连接8个点。

说明：从例1、例2可以看出,解此类题目常常是先考虑特殊情况,由特殊情况下的结果,推导出一般情况下的结果,它是从特殊到一般的归纳推理,因此必须要求学生对所得出的结论要做出合理性的验证.学生往往会因所选取的数值不具有全面的代表性,使得结论产生错误.如下面的例子就说明了这一点.如：

∵52=5

2

n+1

个(n+2)2

A A1 A2 A3 An

0.872=0.87 02=0 „„ ∴a2=a

这里学生忽略了a

在初中数学的学习过程中，学生能够合理地运用数学不完全归纳法，能使所解决的问题变得简捷，并能够有效地提高探索发现问题的能力。为此，教师应鼓励学生从多层次多角度去分析、思考，敢于大胆进行猜想，并通过观察、判断、归纳等一系列探索活动得出正确的结果。

三 典题示例

例1.如图，是用积木摆放的一组图案，观察图形并探索：第五个图案中共有 块积木，第n个图案中共有 块积木。

解析：第一个图案有1块积木，第二个图案形有1+3＝4＝2的平方，第三个图案有1+3+5＝9＝3的平方，„„故第5个图案中积木有1+3+5+7+9＝25＝5的平方个块，第n个图案中积木有n的平方个块。

综观规律性中考试题，考察了学生收集数据，分析数据，处理信息的能力，考生在回答此类试题时，要体现“从特殊到一般，从抽象到具体”的思想，要从简单的情形出发，认真比较，发现规律，分析联想，归纳猜想，推出结论，一举成功。

例2．右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A2，A3，…。若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。则第10圈的长为 。

已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,……。依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是 。

解析：我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1，第2圈的长为2+3+4+4+2，第三圈的长为3+5+6+6+3，第四圈的长为4+7+8+8+4，„„归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+10＝79。 例3. “已知下列等式：

① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62； ④ 13＋23＋33＋43＝102 ；

„„ „„

由此规律知，第⑤个等式是

．”

解析：这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化。所以，需要进行比较的因素也比较多。就左边而言，从上到下进行比较，发现加数个数依次增加一个。所以，第⑤个等式应该有5个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自然数排列。所以，第⑤个等式的左边是1＋2＋3＋4＋5。再来看等式的右边，指数没有变化，变化的是底数。等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数。比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等。所以，第⑤个等式右边的底数是（1+2+3+4+5），和为15。

“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的

2

3

3

3

3

3

量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

四 强化巩固

1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，„„，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（ ）

A.28 B.56 C.60 D. 124

2.（2010山东东营）观察下表，可以发现: 第_________个图形中的“△”的个数是“○”的

个数的5倍．

3. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．

4. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）

第1个图形

第 2 个图形 第3个图形

第 18

题

第 4 个图形

5. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：

2

① 1 × 3 - 2= 3 - 4 = -1

② 2 × 4 - 3= 8 - 9 = -1

2

③ 3 × 5 - 4= 15 - 16 = -1 ④ „„

（1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来；

（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 6．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答

.

2

（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数； （2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；

（3）求第n行各数之和．

7.有一组数：

13579

,,,

25101726

，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n（n

为正整数）个数为 ．

8.如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律、若前n行点数和为930，则n=（ ）

A．29

B．30

C．31

D．32

9.（2010•恩施州）如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于 ．

10．一种长方形餐桌的四周可以坐6人用餐（带阴影的小长方形表示1个人的位置）．现把n

张这样的餐桌按如图方式拼接起来．

（1）问四周可以坐多少人用餐？（用n的代数式表示）

（2）若有28人用餐，至少需要多少张这样的餐桌

11.(2012中考预测题)观察下列算式：31＝3,32＝9,33＝27,34＝81,35＝243,36＝729,37＝2 187,38＝6 561，„通过观察，用你所发现的规律确定第10题32 012的个位数字是( ) A．3 B．9 C．7 D．1

12．（2011年北京四中33模）如下图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，„„以此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为a1n(n≥3)，则a6= ，当a+ +1=98时，3an303

则n= 。

五 参考答案

真题链接答案：

1.【解析】当数到12时，对应的字母是B.根据已知条件将字母进行排列，发现字母C出现的次数是奇数时，此时数到的数恰好是这个奇数的3倍．∵201,2n＋1都是奇数，∴数到的数分别是3×201＝603,3(2n＋1)＝6n＋3. 【答案】B 603 6n＋3

2.【解析】∵1＜3，∴a1,3＝0.表中i≥j的数共有15个，∴表中25个数中有15个1.根据规定：无论i＝1,2,3,4或5，都有a1,1·ai,1＋a1,2·ai,2＋a1,3·ai,3＋a1,4·ai,4＋a1,5·ai,5＝1＋0＋0＋0＋0＝1. 【答案】0 15 1

3.【答案】n(n+1)+4或n2

+n+4 4.【答案】

11006

5.【解】（1）64，8，15；

（2）(n-1)2+1，n2

，2n-1；

（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；

类似的，第n行各数之和等于(2n-1)(n2

-n+1)=2n3

-3n2

+3n-1.

巩固强化答案： 1.【答案】C

2. 分析：本题将规律探索题与方程思想结合在一起，是一道能力题，有的学生可能无法探寻“△”与“○”出现的规律，或者不知道通过列方程解答问题．

解答：解：观察图形可发现第1、2、3、„、n个图形：“△”的个数规律为1、4、9、„、

n2；“○”的个数规律是4、8、12、„、4n.由题意可得n=4n⨯5， 解之得n1=20，n2=0（不合题意，舍去）． 3.【答案】n(n+2)

4.【答案】n(n+1)+4或n+n+4 5.【答案】解：⑴4⨯6-52=24-25=-1；

⑵答案不唯一.如n(n+2)-(n+1)=-1；

⑶n(n+2)-(n+1) =n2+2n-n2+2n+1

=n2+2n-n2-2n-1

=-1.

2

2

2

2

()

6.【解】（1）64，8，15； （2）(n-1)2+1，n，2n-1；

（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于(2n-1)(n2-n+1)=2n-3n+3n-1.

7.分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可． 解答：解：

3

2

2

12⨯1-1

=2； 21+132⨯2-1=2； 52+152⨯3-1=2； 103+172⨯4-1=2； 174+192⨯5-1=；…； 2652+1

∴第n（n为正整数）个数为

2n-1

． n2+1

8.分析：有图个可以看出以后每行的点数增加2，前n行点数和也就是前n个偶数的和。 解答：解：设前n行的点数和为s． 则s=2+4+6+…+2n=

(2n+2)n

=n（n+1）． 2

若s=930，则n（n+1）=930． ∴（n+31）（n﹣30）=0． ∴n=﹣31或30．故选B．

9. 分析：分析可知规律，每增加一层就增加六个点．

解答：解：第一层上的点数为1；

第二层上的点数为6=1×6；

第三层上的点数为6+6=2×6；

第四层上的点数为6+6+6=3×6；

…；

第n层上的点数为（n﹣1）×6．

所以n层六边形点阵的总点数为

1+1×6+2×6+3×6+…+（n﹣1）×6

=1+6[1+2+3+4+…+（n﹣1）]=1+6[（1+2+3+…+n﹣1）+（n﹣1+n﹣2+…+3+2+1）]÷2 =1+6×

=1+3n（n﹣1）=331．

n（n﹣1）=110；

（n﹣11）（n+10）=0

n=11或﹣10．

故n=11．

10.解:①4n+2, ②4n+2≥28,n≥6.5, n=7

12.答案：42；100

11.【解析】观察算式，可发现每4个数字的个位数字循环一次，因为 2012÷4＝503，故32 012的个位数字是1.

【答案】D

11