二元函数极值存在定理证法的改进
二元函数极值存在定理证法的改进
摘要:二元函数极值存在定理的证明是多元函数的导数在研究函
数上的具体应用,而变量的多元性使证明变得比较复杂,笔者在教
学过程中总结出了两种比较简单的证明方法,供师生在教学和学习
过程中参考。
关键词: 二元函数极值;证明;方法;简化
定理,若函数f(x,y) 在点p(a,b) 的邻域 g内所有二阶偏导数连
续,且p(a,b) 是函数f(x,y) 的稳定点。设
a=fx2(a,b),b=fxy(a,b),g=fy2(a,b),δ=b2-aci 当 δ0(或c >0
时函数 f(x,y) 在点p(a,b) 取极小值,而当a 0时,函数 f(x,y)
在点 p(a,b)不取极值。
证法一 要确定f(x,y) 在点p(a,b) 有无极值,就是要考查
f(x,y) -f(a,b) 在邻域g 内的符号,按照泰勒公式展开到第二
项为止,由于p(a,b) 是函数f(x,y) 的稳定点,故第一项消失,
我们得到 f(x,y) -f(a,b)
=1[a(x-a2)+2b(x-a)(y-b)+(y-b)2]+ο(ρ)2 而且余项是比ρ=δ
x2-δy2 更高阶的无穷小,所以 f(x,y) -f(a,b) 的符号与
d=a(x-a2)+2b(x-a)(y-b)+(y-b)2的符号相同,设 x-a=h,y-b=k,
则 d=ah2+2bhk+ck2.
i. 若δ=b2-ac0 时(h 看作变量) 无论k 取何值,二次函数
d=ah2+2bhk+ck2 有最小值d 最小值 =k2(ac-b2)a ≥0,即 f(x,y)
-f(a,b) ≥0,故 f(x,y)在点p(a,b) 的邻域 g内取极小值。
同理c >0时 , f(x,y) 在点p(a,b) 取极小值。
(2)当a 0 ,则函数 f(x,y)在点 f(a,b) 不取极值。
(1)当a 、c 不同时为零,当 a>0时( h 看作变量) 无论k 取何值,
二次函数 d=ah2+2bhk+ck2有最小值 d=k2(ac-b2)a ≤0,当k ≠0
时, d最小值 0 即d 在点p(a,b) 的邻域g 内变号,也就是f(x,y)
-f(a,b)在点 p(a,b) 的邻域 g内变号,故 f(x,y)在点 p(a,b)不
取极值,同理c >0时f(x,y) 在点p(a,b) 不取极值。
(2)当 a>0 时(h 看作变量) 无论k 取何值,二次函数
d=ah2+2bhk+ck2有最大值d=k2(ac-b2)a≥0,当k ≠0 时, d最小
值 0 ,故 d在点p(a,b) 的邻域内变号,也就是f(x,y) -f(a,b)
在点p(a,b) 的邻域g 内变号,故 f(x,y) 在点p(a,b) 不取极值。
同理 c>0时,f(x,y) 在点 p(a,b) 不取极值。
(3)当a=0,c=0 时,d=2bhk ( b为常数不妨设 b>0)而k 0时,d
0, h>0时, d>0; d在点p(a,b) 的邻域内变号,也就是说 f(x,y)
在点p(a,b) 不取极值。
证法二 因为 f(x,y) -f(a,b) 与d=ah2+2bhk+ck2 的符号相
同,现在只考查 d的符号。
i. 当 δ=b2-ac0(或c >0)时d >0,故f(x,y) 在点p(a,b) 取
极小值
(2)当a >0(或c >0)时d 0.
(1)若a ≠0 ,取h ≠0 ,k=0 ,有d=ah2 ,d 与a 同号;取h=bak(k
≠0) 有d=b2-aca ,d 与a 异号,故 d在点p(a,b) 的邻域g 内
变号,所以 f(x,y)在点 p(a,b)不取极值。
(2)若a=0 ,c ≠0则b ≠0 ,取 k≠0 ,h=0 ,有d=ck2 即d
与c 同号;取 h=cbk(k≠0) 有 d=-ck2>0 ,即d 与c 异号,故f(x,y)
在点 p(a,b)不取极值。
(3)若当a=0 ,c=0则 d=2bhk,取 h>0 k0)则 c0 k>0 ,则d>0,
故 d在点 p(a,b) 的邻域内变号,所以 f(x,y)不取极值。
参考文献:
[1]东北师大数学系等,数学分析,高等教育出版社出版。
[2]刘东琏,数学分析(第二版),高等教育出版社。