数学文化期末考试重点

数学文化期末考试重点

（仅供参考）

★切记：数学老师喜欢美的事物，so~字迹工整很重要！

题型：选择、填空题、计算题、简答题、论述题（不超过300字，阐述主要观点）

★课本知识：

1、万物皆数说：毕达哥拉斯“数字统治着宇宙”

2、符号说：伽利略、希尔伯特；数学是一个符号化的世界

3、哲学说：亚里士多德、欧几里得

4、科学说：冯·诺依曼；学科的相对独立性

5、逻辑说：怀特黑德、罗素、费雷尔；形式逻辑与辩证逻辑；演绎与归纳推理

6、集合说：康托尔；集合论；全部数学都能够从公理集合论推导出来 集合说是现代数学的基础。如有序对、关系、等价关系、线序、良序、函数、自然数等等。

7、结构说：张景中 三种结构：代数结构、序结构、拓扑结构。数学是研究相互结构的关联，这种关联反映在变量关系上，如正变化和逆变化、加速变化、收敛变化、周期变化、阶梯变化等。张奠宙

8、模型说：怀特黑德、雷尼 数学理论常常是某种具体问题的抽象模型，体现了思维对现实的反应。 加法做合并或移入的模型，减法做拿走比较或逆运算的移出模型；微积分是物理运动的模型；概率论是偶然与必然的模型；欧氏几何是现实空间的模型；非欧几何是超维空间的模型。

9、工具说：扎德、开尔文、康德、怀特黑德 数学成就了一切科学：欧氏几何的作用，绘画；经济数学、数量经济学、工程数学、生物数学医学；环境污染防治，数值天气预报

10、直觉说：布劳威尔 直觉是数学家在进行深入研究时候的一种感受，虽感觉常常“不合”逻辑，但在开创性的研究中，“感觉”更加重要。仿生学、“红移”、复数的发现。

11、精神说：M ·克莱因 精神说认为数学是一种精神，特别是理性精神，能够使人类的思维得以运用到最完美的程度。指人的品格：专业的陶冶；理性优雅。指对于专业的追求：严谨、刻苦，有的人终生献身于数学。古希腊的很多优美文学、哲学、建筑学都得益于数学精神。

12、审美说：亚里士多德、冯·诺依曼、罗素、庞加莱

从论证的严密性体会数学的严肃美 例：几何、代数命题的证明

从表达的简洁性体会数学的简约美 例：牛顿定律、质能互变定律

从表达的对称性体会数学的和谐美 例：椭圆、双曲线、抛物线方程等

奇异美 例：奇点理论

13、活动说：彼赛尔 职业、兴趣 数学起源于人类的各种各样的实践活动。 是一种人文意识、社会意识。

14、艺术说：哈代、A ·波莱尔 要能鉴赏数学，欣赏数学，能对一个很特殊的思维世界里的种种概念在精神上的雅与美有一种独特的感受力。

15、另外还有：技术说、语言说、游戏说

综上所述：数学是研究现实世界中数与形之间各种模型的一门结构性科学。

数学概念中的一些”原始概念”，是一种初始设定，是一种不需要证明的内容。比如点、线、面，我们只须指出它的所指意义就行了。

数学文化的“三元结构”指的是用如下的“三元结构”的价值体系来确定出一个比较完全的数学文化的体系结构。所谓数学文化的自在价值，是使数学成为一门学科的那部分实实在在的东西，这部分内容是用概念去界定的，是诸多概念的集合。

三原结构：自在价值（概念）、工具价值（方法）、应用价值（模型）

数学文化的”三元结构“图

（1）数学与文学。如用数学思维编写诗歌、文学作品，表现一部好作品中井然有序的结构，准确简洁的叙述；运用统计学研究《红楼梦》作者；对《红楼梦》进行统计分析和风格分析；运用频谱分析判断作品的作者。

（2）数学与史学。把数学方法引入到史学研究中产生了一门新学科——史衡学，是史学研究中的加工、整理更加科学化、准确化，排除较多人为主观因素。如1986年在上海陆家嘴发现的元朝玉褂中含有一个魔方，这个魔方虽是4阶，却远远超过西安安王府的6阶魔方，改变过去世界上只认为印度才有这种”完全魔方“的说法。

（3）数学与哲学。同宗同源

（4）数学与经济。比如：交换；数学的极大极小定理成就了“对策论”；“一般均衡理论”；控制理论和递度法。运用数学建立经济模型；运用数学方法组织、调度、控制生产过程，从数据处理中获取经济信息等。

（5）数学与语言。如把演绎方法引人语言学，建立代数语言学；借助计算机，对语言进行整理，编纂辞书；计算机风格学被成功应用于”作者考证“的研究中。朱斯突破关于语言符号“连续性”的传统观念，引入“离散性”。

（6）数学与高科技。蒸汽机与微积分、定积分与面积计算、微分方程与水土保持；高科技的发展赖于对数学基础的支持与运用。如在石油勘探中，美国人在数据处理中运用Wiener 滤波，在一条河流直下的930km 处，探明一个储量超过10亿桶的大油田；在飞机制造中运用有限元分析结构强度和稳定性；最优法使飞机既省油又提高速度；用概率论解释色盲分布的平稳性等。

（1）抽象思维。是数学思维中最根本、最基础的内容之一，是数学文化中哲学观的灵魂，所谓抽象，就是把同类事件中最关键、最根本的本质性的东西提取出来，并加以归纳，使其具有更大的推广性和普适性。抽象思维必须是在一个抽象概念中涵盖那个概念所涉及的所有物理现象的本质内容。

例如，七桥问题的解决与运用；又如老师为了更好地使学生理解概念帮掌握概念，往往会采取用具体的例证帮助学生形成概念，从而使学生学会从具体到抽象的思维过程。比如在集合概念的教学中，抓住集合中元素的确定性，互异性和无序性等内涵，举出定量的实例(包括对象定数、式、图形，人或其他任何事物) 让学生对一定数量现象分析比较，抓住事物的属性，归纳出抽象集合概念，使学生容易把握集合概念的内涵，容易形成集合概念。在学习空集概念时，一定要用实例帮助学生建立空集的定义。例如举例A=｛X=｜X2 +1=0,X∈R ｝,B=｛X ｜X2 =0,X∈R ｝并予以比较，学生就比较容易接受，再加深对空集概念的理解。此外，等学到交集运算时，再选择有关例子与习题，进一步充实学生对空集概念的理解。

抽象思维中的“七桥问题”：欧拉将两岸及两岛想象为四个点，把七桥想象为七条线，七桥图变成了一个简单的连接四个点的七条线的点线图，七桥问题就成为能否一笔画成此点线图的问题。除始、终点外，过中间点的线条数是偶数，是一笔画成的一个必要条件，若是奇数，画不成。最本质--组合拓扑的性质。

（2）逻辑思维。逻辑思维是人们在认识过程中借助概念、判断、推理等思维反映现实的过程，具有抽象概括、间接反映、借助语言等特征。逻辑思维作为数学的重要基础始终占据着数学哲学最重要的位置。数学文化中的逻辑思维具有典型的形式化特征，这种形式化的特征是以一种特殊语言符号的形式出现的，逻辑思维对于推动数学学科的发展具有重要作用。

✦逻辑思维的作用：

A 、逻辑思维可以用来检验、证明数学真理。这种检验和证明，主要是借助演绎与归纳的方法鉴别真伪，通过演绎把数学真理从一般推到个别，推到特殊。通过归纳把个别在推广到一般。

B 、逻辑思维可以使数学文化系统化、体系化、科学化。

C 、逻辑思维对数学的发展起着重要的作用。比如数学史上出现的非欧几何、非结合代数、非线性非奇异矩阵等，都是在一种反叛中形成的新的学科点，新的方向。

逻辑思维最大的特点就是在已知条件下获得新的推论。

非欧几何、非结合代数。。。

（3）形象思维。

✦数学中的形象思维有四个层次：

第一个层次为几何思维。这是最直接的形象思维。几何图形的点、线、面、空间非常直观、形象。 第二个层次是类几何思维，也就是借助几何空间进行的较为间接的形象思维。比如非欧空间、高维空间、泛函空间、爱因斯坦的相对论等。

第三个层次是数学思维，亦即对各种数量关系的形象化的感觉，它是一种直观上的想象。这种数学思维类似于古诗中的”飞流直下三千尺，疑是银河落九天”等。

第四个层次是数学观念的直觉，它类似于第个三层次，但更强调对数学观念性质、相互联系以及重新组合过程的形象化感觉。

数学文化的形象思维，在其过程中主要借助数学想象，这种想象包括视觉想象、听觉想象和触觉想象。射影几何中著名的帕斯卡“神秘的六线形”定理就是一个典型的形象思维的过程。

充分利用典型，引进联想，产生想象，诱发灵感和直觉，是构思新假设、新理论和新设想不可缺少的重要思维形式。是从现象到本质，从感性到理性的一种认识过程。象形法、直述法，“白发三千丈”等等

（4）直觉思维。是指对一个问题未经初步分析，仅依据内因的感知迅速地对问题答案作出判断、猜想、设想，或者在对疑难百思不得其解之中，突然最问题有“灵感和顿悟”，甚至对未来事物的结果有“预感”等直觉思维。直觉思维是一种心理现象，也是数学研究的一种重要方法。许多重大的发现都是基于直觉。欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌大厦；哈密顿在散步的路上迸发了构造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法；凯库勒发现苯分子环状结构更是一个直觉思维的成功典范。（阿基米德--洗澡---阿基米德原理；牛顿—苹果落地—万有引力）

✦直觉思维的特点：

A 、是非逻辑的，不是靠推理和演绎获得的。

B 、是突发性，亦即未预料性。

C 、极富感情色彩的。

✦数学直觉的一般原则：

A 、简单性原则

B 、统一性原则

C 、对称性原则

D 、奇异性原则

✦体会： 数学被人们形容为“思维的体操”。数学离不开思维，数学所有的结论都是思维的结果。思维包含逻辑思维、形象思维、空间思维、直觉思维等方面。许多数学家综合运用这些思维方式和研究方法，在数学领域不断创新，解决数学危机，同时，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据。

1、宏观与微观。

对认识世界来说，哲学往往是着眼于大范围的宏观武器，是望眼镜，它可以无限制的任思维自由飞翔。数学属于哲学范畴，但如果从对世界的理解与解决问题，从方法上讲，数学学科属于精密科学，属于一种精密性的学问。数学源于实践，不像哲学那么宏观抽象。

数学学科细致入微，非常容易进入到一些成熟学科中，并从中获得足够丰富的营养基，以拓宽自己的

思路，发挥自己的作用。如果说哲学是望远镜的话，那么数学对于这些学科来说就是显微镜。数学一旦成功进入到一门学科中，它就无可争辩的获得了对该学科的支配权。

哲学在很大程度上是注重形而上的，数学不仅注重形而上也关心形而下，这种形而下是以社会实践为对象，以求解为目的，然后在基础上演绎、归纳、抽象，形成所谓的形而上。 另外，相对数学本身而言，以函数为例，初中和高中的函数概念有变量说和对应说之分，其实是宏观描述和微观刻画的区别。初中的变量说，实际上是宏观观察，主要考察它的变化趋势和性态。高中的对应则是微观的分析。

2、抽象与具体

抽象：对概念而言，概念是从实践和具体中抽象出来的，抽象的结果具有一种普遍性，欧几里得的“公设”、“公理”都具有这样的意义，再如点、线；

具体：解决问题是具体的，推演过程是具体的。数学源于时间，又发展于抽象，数学的定义、定理、公设，是基于社会实践的，但却又是高度抽象的。

数学源于实践，但又发展于抽象。数学的定义、定理、公设，是基于社会实践的，但却又高度抽象的。如“点”是什么？“线”是什么？这样的问题看似抽象，但如果老师在黑板上点一个“点”，画一根“线”，那么“点”与“线”有是很具体的。

数学的本质就在于它的严密性、精确性和抽象性。数学中的抽象一般是对概念而言的，概念是从时间和具体中抽象出来的，一旦这种抽象完成，其抽象的结果就具有一种普遍性。欧几里得的“公设”、“公里”都具有这样的意义。

3、证明与非证明。

数学是研究结构的。这种研究有个条件，比如对某一结构关系，通常情况下，如果他受什么条件制约的话，则必须有什么性质，加入具备什么条件的话，则必然有什么结果。例如：两个三角形三条边对应成比例，则这两个三角形相似。对应成比例是条件，相似是结论。数学从不先肯定“是什么”，它总是先看前提，然后才得出结论。

证明重要性、可靠性、科学性。思想实验是数学证明最古老的模式。哥德巴赫猜想。哲学命题很难证实，不能证伪。

4、有限与无限。

对无限的问题，一直有两种概念，一是“潜无限”，意思是把无限只看做一种过程，一种永无止境的生成过程；二是“实无限”与“潜无限”相反，它认为无限是一种已经生成了的或者说现实存在的东西。说到底，就是把实无限看作是有限的现实。

从数学意义上讲，有限和无限是对立的统一，它们既是对立的，有区别的，又是相互联系的。它们有着辩证的关系并在一定条件下相互转化的。无限由有限构成、无限不能脱离有限而独立存在 。有限是对自身的超越，包含着无限 ，体现着无限。举一个数学中的例子吧，整数集是一个无限集合，人们无法得到一个完成了的整数集。但每个整数又都是有限的。我们可以得到任意的整数。任意给出一个数学的对象，我们立即就能判定它是否属于整数集，这样看问题，整数集又是一个完成了的集合，是一个有限的概念。因此整数集本身就是一个无限和有限的对立统一。

从有限到无限是认识世界的广度和深度的变化，是处理问题的方法的变化。为解决无限问题，由欧氏几何产生了非欧几何；从常量到变量，产生了微积分；集合论的产生完善了数学大厦的基础。 潜无限：瞬时速度、圆与直线的对应。

5、先天知识与后天经验

所谓先天知识，就是不需要经过实践检验的东西；而所谓后天经验，从最广泛的意义上讲，经验是指一种认知态度，从专门意义上讲，它是由两个相互联系又有区别的哲学意义组成的。一是理念的意义，必定与事物已有的经验和可能经验有关；二是哲学的认识论、信念，归根到底是由经验来验证。

数学的概念源于经验，存在决定意识，客观事物作用于人的感官，使人产生相应的概念。比如关于数学对象的点、线、面、数这些概念与它们所代表的事物，谁先谁后？事实上是客观事物的数量关系和空间形式在人的头脑中抽象为数学概念，而后人们又用这些概念创造出数学对象。

数学概念大多源于经验，不过一旦被抽象出来之后，就往往以自己的方式去发展，以致超过经验科学，

但它不能说是一门完全的经验科学，它从根本上讲是一种理性科学，它主要是思维方式的创造。数学如果长期远离实践或者经验，将容易走向它的反面。远离经验来源，一直处于“抽象的”近亲交配之中，一门数学学科将会有退化的危险。所以数学不能离开实践，不能离开经验，不能只寄托于抽象，否则将失去生命活力。今天，数学与经济，与新媒体、与社会，都会从中获得不竭的学科源泉。

概念形成后，未必依赖于经验。例：椭圆、椭圆性条件、椭圆型方程、“正交”。数学建模：一方面，数学向形式化、美学化、艺术化方向发展，另一方面，数学离不开科学技术和生产实际的问题。

6、必然性与偶然性

数学的伟大使命就是在混沌中发现有序。概率论就是一门研究事情发生可能性的学问，其目的在与从偶然中探求必然的规律，它是机遇的模型，这种模型面对的是自然界的必然现象和随机现象。

7、量变与质变

例：连续与“飞矢不动”之间的矛盾 近代学科介绍：分叉与混沌. 曲线y=1/2x^2与y=0在x=0处分叉。再如在数轴上，设定从正数到负数的变化过程的变量为X ，可看做是对常温下的水进行冷冻的过程。若水从20℃向0℃逐渐靠近，当X 穿越这个表示0℃的点时，X 即为负数。

1、作为社会资源的功能：

其一，与人民生活的关联性，比如为解决人口危机问题，需运用数学找到一个好的人口政策和生育模型。还有资源的开采和利用问题，环境治理。社会生活需要数学，生活质量、存钱取息，天气预报、统计等等

其二，数学推广、开发的意义，比如关于数的推广、关于空间的数学表示。

2、作为符号的功能（语言）

作为交流的语言，便于表达，从古到今，数学符号的使用：象形，英文缩写，抽象，数学运算符号。数学用符号表示数量关系和空间形式。

数学文化的符号意义：

其一，建立了一个公共话语空间，使得在一种可交流的情况下共同讨论问题。

其二，字母可以使人在变换文字表达式时便于操作，从而把任何陈述都变为许多等价的形式，而这种变形能力，使代数超出了方便的速记水平。

其三，符号可是数学语言更加简洁、明了、严格、准确。其四，符号可以带来新的创造。

3、作为模型的功能。投铅球模型、人口模型：马尔萨斯定律便于人口统计、蛛网模型

1、数学文化与信息传播。

2、数学文化与和谐社会。

3、数学文化与效益最大化。优选法、线性规划、非线性规划、最优控制

4、数学文化与科技转化。

5、数学文化与可持续发展。

举例：全部数学概念，从最初等的、原始的自然数、整数，最基本的点、线、面等图形，以及在此基础之上形成的有理数、无理数、复数、函数、微积分等一系列高度抽象的概念，都来源于非常实在的、具体的现实“原型”。如“点”是什么？“线”是什么？这样的问题看似抽象，但如果老师在黑板上点一个“点”，画一根“线”，那么“点”与“线”有是很具体的。

2、演绎与归纳

演绎法是由一般到特殊的推理，它有三段论的表现形式，由一般的判断，特殊判断，结论三部分组成。归纳与演绎不同，归纳是这样一种推理：其中所得到的结论超越了经验材料所提供的东西的一种经验猜想。看起来归纳与演绎很有区别的，事实归纳与演绎是相依而存、互为发展、对立统一的。恩格斯在《自然辩证法》中说：“我们用世界上的一切归纳法都永远不能把归纳过程弄清楚，只有对这个过程的分析才能做到这一点——归纳与演绎，正如分析与综合一样是必然相互联系着的，不应当牺牲一个而把另一个捧上天，

应当把每一个用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。” 例如:直角三角形内角和是180度；锐角三角形内角和是180度；钝角三角形内角和是180度；直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形；所以，一切三角形内角和都是180度。 这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180度这些个别性知识，推出了" 一切三角形内角和都是180度" 这样的一般性结论，就属于归纳推理。

演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理。例子：一个三角形，或者是锐角三角形，或者是钝角三角形，或者是直角三角形。这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以，它是个钝角三角形。

3、发现与证明

规律的发现常以猜测为前提，提出一个假说，证明是对提出的假说进行确认，没有发现就无需证明。

发现实际上就是定律的发现和理论地提出问题，最主要是通过假说，猜想。猜想是提出新思想，一个猜想可以带出或生出一个新的学科方向。比如，对欧氏第五公设的证明产生了非欧几何理论，四色猜想对开辟数学研究新途径有重要意义。在数学史上有很多有名猜想，人们熟悉的费马猜想，曾是一个悬赏10万马克的定理，实际上，它是源于几千年前的勾股定理。德国数学家曾宣称：当n 大于2时，不存在一个整数n 次幂是另外两个整数n 次幂之和。数学家韦尔斯花了34年心血来解这道难题，并获得沃尔夫奖。许许多多数学猜想是由简单到复杂无休无止地产生出来。一个猜想解决了，又猜想出来了，数学家们总有解决不完的猜想。许多重要猜想，总能吸引众多数学家为此皓首穷经。在证明各个猜想的过程中，数学们会取得一系列重要理论成果。

分析是由未知去推导已知，在假定的前提下导出结论，而这一结论恰恰是已给出的条件或已知的命题。综合是由已知命题开始，通过演绎、归纳能一连串来导出未有的命题，或解决所要给出的问题的解。

善于结合运用这些数学方法可以更好的来解决数学问题和体会数学的内涵。

当确定了问题可解后，就要进一步对问题的本质进行分析，加深对问题的认识。例如，从数据流和数

据结构出发，逐步细化所有的软件功能，找出软件系统各元素之间的联系、接口特性和设计上的约束，分析它们是否满足功能要求。通过分析，最后综合形成系统的雏形求解方案。得到的方案可能会暴露出原有需求中的问题，再修改需求，如此反复地进行，使之更加符合实际需要。

从中国古代的五行学说到亚里士多德的三段论，由猜测分析进入具体分析。

1、类比法。

类比的基础是数学对象形式结构的相似或接近，通过对两个以上的类似对象的比较，去获得新思路和新发现。由已知事实或已知定义、定理出发，通过类比引出新的想法和结论。

例如：在代数恒等式方面的问题的应用，有不少的代数恒等式，它的严格证明需要用到数学归纳法。例1、数列的第n 项，可以用公式a n =a 1+(n -1) d (*) 表示，这里a 1是它的首项，d 是公差．证明：当n =1时，a 1=a 1，(*)式成立

假设当n =k 时，(*)式成立，那么当n =k +1时，有：a k +1=a k +d =a 1+(k -1) d +d =a 1+[(k +1) -1]d

∴ 当n =k +1时，(*)式也成立

由此可知，对于所有的自然数n ，(*)式均成立．

3、化归法

其过程是首先把要解决的问题都化归为数学问题，然后把任何数学问题化归为代数问题，再把任何代数问题归结为方程式的求解。不先与问题正面交锋，而从侧面，借助转换、变形，将其变成一个已知问题或已明确的方法和思路。 化归法是一种分析问题解决问题的基本思想方法．在数学中通常的作法是：将一个非基本的问题通过分解、变形、代换„，或平移、旋转、伸缩„等多种方式，将它化归为一个熟悉的基本的问题，从而求出解答．如学完一元一次方程、因式分解等知识后，学习一元二次方程我们就是通过因式分解等方法，将它化归为一元一次方程来解的．后来我们学到特殊的一元高次方程时，又是化归为一元一次和一元二次方程来解的．对一元不等式也有类似的作法．又如在平面几何中我们在学习了三角形的内角和、面积计算等有关定理后，对n 边形的内角和、面积的计算，也是通过分解、拼合为若干个三角形来加以解决的．再如在解析几何中，当我们学完了最基本、最简单的圆锥曲线知识以后，对一般圆锥曲线的研究，我们也是通过坐标轴平移或旋转，化归为基本的圆锥曲线(在新坐标系中)

来实现的．其它如几何问题化归为代数问题，立体几何问题化归为平面几何问题，任意角的三角函数问题化归为锐角三角函数问题来表示的例子就更多了．

4、约定法：科学家用各种科学定律来约定

一种求解非线性方程的数值方法, 将求解方程组转化为构造一个无限序列, 其极限就是方程的解, 在有限

步内是得不到精确解的。

6、论证法。

论证是一个检验确认的过程和方法，其基础和前提是提出问题。通过论证确认结论正确与否。最常见的论证方法有归纳法和反证法。

对于一些数学难题，人们常常设法先证明它的一种减弱命题，然后一步一步地向它逐渐逼近。

美是形式的和谐，雅致、对称、平衡，井然有序、统一协调。在数学定理的评价中，审美标准既重于逻辑的标准，也重于实用的标准。

莫里斯·克莱因在《西方文化中的数学》里所指出的大气磅礴与精巧美好：“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生产；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”

美是推动人们前进的力量，审美是人们普遍的追求。美是先进生产力。数学美，包括真、善、美。不

仅如此，数学美是一种大美、大善、大真。数学美，是像马克思讲的“一切社会关系的总和”，这种大美、大真，是超越时空的，体现了人与物的交流性。

从深层的哲学意义上讲，从数学美的价值追求上讲，数学审美说到底是一种方法美、境界美，是一种理性精神。恰恰是这种精神，是的人类思想得以运用到至善至美的程度。正是这种精神，从一定程度上影响了人类的物质、道德和社会生活，并试图回答有关人类自身提出的一些问题。正是这种精神，使得人们尽可能去理解、了解、控制自然，掌握客观世界的规律。正是这种精神，是人们有可能去探求和确立已经获得知识的最深刻、最完美的学科内涵。

数学的和谐美一般体现在以下方面：一是作为一门学科的高度一致性、协调性，也就是高度的统一性。二是通过函数关系反映出来的部分定理的对称性和曲线的对称性。统一性与对称性，构成和谐美最主要的内容。

1、统一美：所谓统一美，是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致。这种美是逻辑的统一性、一致性，是抽象与现实的一致性。在数学中有好多数学统一性的例子。例如，如，像算术-几何平均值不等式、柯西不等式、三角形不等式等等看似差别很大, 但是都有深刻的联系，从本质上将都可统一在一个概括性更强、结论更具普遍意义的不等式——琴生不等式中。引入负数，有了相反数的概念之后，有理数的加法和减法得到统一，它们可以统一为代数和的形式。有了倒数的概念，除以一个不等于零的数等于乘上它的倒数，于是乘法与除法得到了统一。例如平面几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理均可统一到圆幂定理之中。在体积计算中有所谓的“万能计算公式”，它能统一地应用于棱（圆）柱、棱（圆）锥及棱（圆）台的体积计算 统一美反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性, 它能给人一种整体和谐的美感。数学对象的统一性通常表现为数学概念、规律、方法的统一, 数学理论的统一, 数学和其它科学的统一。

2、协调美：著名的美学规律“黄金分割”把一条线段分成长短两节，使短节和长节的比恰好等于长节与全长的比。实践表明这一比例是最美妙的比例。美神维纳斯的美，关键一点是她的身材比例恰好符合黄金分割律。韵律美 美是恰到好处，黄金分割法0.618 埃及的金字塔，古希腊的巴特农神殿等

3、对称美：数学中的对称美反映的是自然界的和谐性，在几何形体中，最典型的就是轴对称图形。图形对称 圆形，球形 函数图形对称：抛物线、双曲线。概念和公式的对称。

1、形“奇”：黑洞、神奇的数字宝塔

2、意义“奇”。克莱因瓶与麦比乌斯

3、数字“奇”。如成语中的数字：“1”万物之始，希望之光。（一心一意、一帆风顺）；“2”双喜临门、梅开二度；古代诗词中的数字“飞流直下三千尺”。

数学的创新特点主要是两个方面：一是原创性（发明和发现）；二是继承性（亦即创造性地去完善）——钱伟长：变分法。另外还有其个人化倾向，这种个人化的倾向集中体现在个人兴趣和直觉上。

原创性是指数学文化在其形成过程中的一些最基本的原理和内容，这些内容不是由其他学科延伸发展而来的，而是由人们在生产实践中直接发明或发现的。

我们讲的数学的原创性特色，是就它的思想源而言的。比如众所周知的欧式几何的公设、定义、定理，都具有典型的原创性，关于点、线（直线）、面、圆等概念，就充分反映这种原创性。

从根本上说来，数学文化的原创性，集中体现了两个特点：一是发现，二是发明。发现从观察入手，作为客观事物，它本来就在那个地方了，人们只是去”找到“它。而发明则是对人们已经知晓的东西给予解释和说明，或者用已经知晓的道理从事一种制造，加工成某种产品。

1、数学与爱因斯坦的相对论（爱因斯坦的相对论有赖于数学中的欧式几何 ）

2、数学与麦克斯韦方程组

3、数学与量子力学

4、数学成就了牛顿

1、扩张法。其主要内容是从已知的概念和定理出发，在原有的基础上建立起一些新的或者更为特殊和更为广泛的概念与定理。比如，例：数的概念的扩张（自然数-整数-有理数-实数-复数-超复数）；函数概念的扩张（1. 解析函数，代数函数，超越函数2. 欧拉、傅里叶的贡献3. 柯西函数的定义4. 黎曼、狄利克雷的函数定义5. 取消自变量变换的限制6. 维布伦及伦内的函数定义7. 集合函数）；积分的概念（连续函数的积分-不连续的函数积分-如今丰富的积分概念和积分内容。

2、发现法

3、科学发现的精神状态

1、5000年数学走过的四段路：

第一阶段（公元前30世纪——公元前6世纪）：萌芽阶段（准学科阶段）

数学还没发展成为一门有明确结构的、独立的、理性的学科，还不具备抽象和概括，还没有方法论，没有证明和推理，没有归纳和演绎。

在这一时代的杰出代表是古巴比伦数学、中国数学、埃及数学、印度数学等。萌芽时期的世界数学文化呈现一种多元发展的态势。

第二阶段(公元前5世纪-公元16世纪) 形成时期，常数学阶段（也就是数学学科完成了以常量为主要内容的框架体系。

它的开始以希腊人的出场为典型标志的，结束于公元16世纪，也就是在变量数学产生之前。

第三阶段(17-19世纪) 变量数学阶段，牛顿时代

第四阶段(19世纪下半叶至今)

2、数学史上的四次思想解放

（1）承认“无理数”是第一次思想解放

（2）微积分的产生是第二次思想解放

（4）罗素悖论引出的数学基础研究是第四次思想解放

★其他方面：

一、计算题

1、求极值

2(1) lim(n→+∞) (3n+1)/(4n^2+1) 同除以n

= lim(n→+∞) [(3/n)+(1/n^2)]/4+(1/n^2)

=0

(2) lim(n→+∞) (3n+1)/(4n+1) 同除以n

= lim(n→+∞) (3+1/n)/(4+1/n)

=3/4

2、平面二次曲线与空间二次曲面 作图 P151~ P152

（1）抛物线与抛物柱面

2y=x 抛物线

2y=x (z∈R) 抛物柱面

（2）椭圆与椭圆柱面

2222 椭圆方程 x/a+y/b=1 P152 图6-3

2222 椭圆柱面 x/a+y/b=1(z∈R)

二、

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形。

当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。在同一平面内能够完全重合（大小，形状都相等的三角形）的两个三角形称为全等三角形。

在任何一个直角三角形（Rt △）中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，这就叫做勾股定理。即勾的长度的平方加股的长度的平方等于弦的长度的平方。（直角三角形

222的两直角边的平方和等于斜边的平方，数学公式中常写作a +b=c）

已知，在Rt △ABC 中，∠A=30°，∠ACB=90°．求证：BC=1 /2 AB．

证明：

证法一：如答图所示，延长BC 到D ，使CD=BC，连接AD ，易证AD=AB，∠BAD=60°．

∴△ABD 为等边三角形，

∴AB=BD，

∴BC=CD=1 /2 AB，即BC=1/ 2 AB．

证法二：如答图所示，取AB 的中点D ，

连接DC ，有CD=1/ 2 AB=AD=DB，

∴∠DCA=∠A=30°，∠BDC=∠DCA+∠A=60°．

∴△DBC 为等边三角形，

∴BC=DB=1 /2 AB，即BC=1 /2 AB．

证法三：如答图所示，在AB 上取一点D ，使BD=BC，

∵∠B=60°，

∴△BDC 为等边三角形，

∴∠DCB=60°，∠ACD=90°-∠DCB=90°-60°=30°=∠A ．

∴DC=DA，即有BC=BD=DA=1/ 2 AB，

∴BC=1/ 2 AB．

证法四：如图所示，作△ABC 的外接圆⊙D ，∠C=90°，AB 为⊙O 的直径，

连DC 有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30°=60°，

∴△DBC 为等边三角形，

∴BC=DB=DA=1/ 2 AB，即BC=1/ 2 AB．

1/(1*3)+1/(3*5)+„ „ +1/[(2n-1)*(2n+1)]=n/(2n+1)

证明：

当n=1时，明显有1/(1×3)=1/(2×1+1)成立，则原式成立。

假设当n=k时，有1/1×3+1/3×5+...+1/(2k-1)(2k+1)=k/2k+1成立，

则当n=k+1时，

1/1×3+1/3×5+...+1/(2k-1)(2k+1）+1/(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)

=k/2k+1 + 1/(2k+1)(2k+3)

=k(2k+3)/(2k+1)(2k+3)+1/(2k+1)(2k+3)

=(2k²+3k+1)/(2k+1)(2k+3)

=(2k+1)(k+1)/(2k+1)(2k+3)

=(k+1)/(2(k+1)+1)

= n/2n+1

综上，由数学归纳法可知，1/1×3+1/3×5+...+1/(2n-1)(2n+1)=n/2n+1（n=1，2，3，„„）成立

6、论述：（300字以下）

归纳法是用科学家观察到的特殊或特定例子得出一般性结构或通则的方法，这种利用数据资料或证据得出的一般性原理的方法，通常被称为经验论，相反，演绎法是基于抽象的原理，并将其应用于特殊的例子，通常被称为逻辑法或唯理论的方法。演绎法是由一般到特殊的推理，有三段论的表现形式。三段论是由一般的判断（大前提）、特殊判断（小前提）、结论三部分组成的。数学中的许多定理、公式、重要结论都是通过归纳、猜想得到的。演绎与归纳，既有区别又有统一，两者是互相支持的。在数学中，归纳法可以有效地证明一般性的命题，它的这种力量是由演绎推理证明的。归纳与演绎是相互依存、互为发展、对立统一的。（+举例子）

分析是指这样一种推理方法，由未知去推导已知，在假定的前提下导出结论，而这一结论恰恰是已给定的条件或已知的命题。从中国古代的五行学说到亚里士多德的三段论，由猜测分析进入具体分析。康德用“判断”来区分分析知识与综合知识。分析与综合是数学科学的两个方面，综合意味着比较、结合、转换等。综合与分析不同，它是由已知命题开始，通过演绎、归纳等一连串的过程来导出未有的命题，或解决所要给出的问题的解。用综合法进行的论断是无条件的，而分析法是有条件的。因为综合法用来叙述已经获得的证明，而分析法是用来独立地探求证明的途径；综合法是从“已知”开始，借助逻辑推向“结论”，而分析法是从“结论”开始，借助逻辑推向“已知”。

逐步逼近法是一种宏观上的数学分析方法。数学猜想中有不少是世界上著名难题，对于这些数学难题，人们常常设法先证明它的一种减弱命题，然后一步一步地向它逐渐逼近。 例如，对于哥德巴赫猜想的研究就是采用这样的步骤，自1742年提出后，许多数学家陆续作出了越来越接近最后解决（假定以偶数（1+1）来表示）的成果，1966年中国数学家陈景润证明了奇数=1+2，目前距哥德巴赫猜想最终得证只剩一步之遥。是一种解题方法与上述宏观上的方法类似，在解决具体问题时，在以下情况下没有现成的公式可用，如高级方程或微分议程；有现成的公式但求解过程非常复杂；不要求精确求解，只要求在一定范围内控制误差。这时，可用逐级逼近方式求解。

反证法是数学中常用的一种方法，而且有些命题只能用它去证明。用反证法证明一个命题常采用以下步骤：

1） 假定命题的结论不成立，

2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或已知定理或临时的假定矛盾，自相矛盾 。

3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的。

4） 肯定原来命题的结论是正确的。

1）证明：素数有无穷多个。这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法。

2）证明：根号二是无理数。典故“自相矛盾”，“以子之矛攻子之盾”反证，在数学的不等式和立体几何等问题的证明中也常运用。反映了解决问题时“正难则反”的思想。

从量变到质变是辩证法的重要内容之一。量变是一个积累的过程，当积累越过质变的临界点时，质变发生。例：气温下降时，地表水温随着下降。水温持续下降，但在达到摄氏零度之前，水始终保持液态，量的积累还不足以改变其液体性质。当水温下降至摄氏零度时，量的积累完成，水由液体变成固体（冰）。就形态而言，由液体到固体的改变就是质变。

有限和无限是物质世界中存在的客观矛盾，是物质的运动在时间和空间上表现出来的辩证联系。因此，有限和无限的关系是辩证的，是对立的统一。从无限到有限是认识世界的广度与深度的变化，是处理问题的方法的变化。关于无限有观念：“潜无限”、“实无限”，没有现实的无限。例：传播波。无限本来是无意义的和无价值的，它靠具体化为有限实体而获得意义和价值。离开有限，无限没有意义，并且不能同实体相区别。在一定条件下，无限和有限是可以互相转化的。