高二上学期期末考试数学试卷(中等偏难)

高二上学期期末考试数学试卷

一、选择题（共10小题；共30分）

1. 已知直线 l 1:x +y +1=0, l 2:x +y −1=0，则 l 1, l 2 之间的距离为 ( )

A. 1

π4

B. C. D. 2

2. 命题" 若 α=，则 tan α=1 "的逆否命题是 ( )

A. 若 α≠4，则 tan α≠1 C. 若 tan α≠1，则 α≠4

x 2

π

π

B. 若 α=4，则 tan α≠1 D. 若 tan α≠1，则 α=4

π

π

3. 椭圆 25+y 2=1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另一个焦点的距离为 ( )

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

4. 已知命题 p ：所有有理数都是实数，命题 q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 ( )

7. 如图，在正方形 ABCD 内作内切圆 O ，将正方形 ABCD ，圆 O 绕对角线 AC 旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为 V 1，V 2，则 V 1:V 2=A. ¬p ∨q C. ¬p ∧ ¬q

B. p ∧q D. ¬p ∨ ¬q

5. 已知 α，β 表示两个不同的平面，m 为平面 α 内的一条直线，则“ m ⊥β ”是“ α⊥β ”的 ( )

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 在圆 x 2+y 2+2x −4y =0 内，过点 0,1 的最短弦所在直线的倾斜角是 ( )

A.

6π

B.

4

π

C.

3

π

D. 4

3π

A. 2:

8. 给出下列四个命题：

B. 2 3

C. 2:

D. 1

①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中为真命题的是 ( )

9. 在棱长为 2 的正方体内有一四面体 A −BCD ，其中 B, C 分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示，则四面体 A −BCD 的体积为 A. ②和④

B. ②和③

C. ③和④

D. ①和②

A.

38

B. 2

C.

34

D. 1

10. 设点 A ，B 分别在直线 3x −y +5=0 和 3x −y −13=0 上运动，线段 AB 的中点 M 恒在直线

x +y =4 上或者其右上方区域．则直线 OM 斜率的取值范围是 ( )

二、填空题（共7小题；共21分）

11. 已知 l 1:x +ay +6=0 和 l 2: a −2 x +3y +2a =0，则 l 1∥l 2 的充要条件是

12. 直线 l 经过 P 2,3 ，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程为

13. 若“ x 2>1 ”是“ x

a x 2

y 2b A. , 1

3

C. −∞, 1 ∪ 3, +∞

1

B. 1,3

D. −∞, 1 ∪ 3, +∞

1

=1 a >b >0 的左、右焦点，过 F 1 且垂直于 x 轴的直线与

椭圆交于 A ，B 两点，若 △ABF 2 为正三角形，则椭圆的离心率是．

x +2y −4≤0,

时，1≤ax +y ≤4 恒成立，则实数 a 的取值范围是 15. 当实数 x, y 满足 x −y −1≤0,

x ≥116. 如果圆 C: x −a 2+ y −a 2=4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值范围

为 ．

17. 如图，已知边长为 2 的正 △AʹBC，顶点 Aʹ 在平面 α 内，顶点 B, C 在平面 α 外的同一侧，点

Bʹ, Cʹ 分别为 B, C 在平面 α 上的投影，设 BBʹ ≤ CCʹ ，直线 CBʹ 与平面 AʹCCʹ 所成的角为 φ．若 △AʹBʹCʹ 是以 ∠Aʹ 为直角的直角三角形，则 tan φ 的范围为．

三、解答题（共5小题；共49分）

18. 已知命题“若 a ≥0，则 x 2+x −a =0 有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．

19. 已知三角形 ABC 中，AB =2，AC = ．

(1) 求点 C 的轨迹方程；

(2) 求三角形 ABC 的面积的最大值．

20. 如图，正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 的所有棱长都为 2，D 为 CC 1 中点．

(1) 求证：AB 1⊥平面A 1BD ； (2) 求二面角 A −A 1D −B 的正弦值．

21. 已知直线 l 的方程为 2x + 1+m y +2m =0，m ∈R，点 P 的坐标为 −1,0 ．

(1) 求点 P 到直线 l 的距离的最大值；

(2) 设点 P 在直线 l 上的射影为点 M ，N 的坐标为 2,1 ，求线段 MN 长的取值范围．

22. 如图，已知边长为 4 的菱形 ABCD 中，AC ∩BD =O ，∠ABC=60∘．将菱形 ABCD 沿对角线 AC

折起得到三棱锥 D −ABC ，设二面角 D −AC −B 的大小为 θ．

(1) 当 θ=90∘ 时，求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值； (2) 当 θ=60∘ 时，求直线 BC 与平面 DAB 所成角的正弦值．

答案

第一部分 1. B 6. B 第二部分 11. a =−1

12. 3x −2y =0 或 x +2y −8=0 13. −1 14. 315. 1, 2 16. −

3 23 2. C 7. D

3. C 8. A

4. D 9. D

5. A

10. B

或 22

3 2

17. 2,

2

第三部分

18. (1) 解法一：原命题：若 a ≥0，则 x 2+x −a =0 有实根． 逆否命题：若 x 2+x −a =0 无实根，则 a

∵x 2+x −a =0 无实根， ∴Δ=1+4a

41

∴ “若 x 2+x −a =0 无实根，则 a

∵a ≥0，∴4a ≥0，∴4a +1>0，

∴ 方程 x 2+x −a =0 的判别式 Δ=4a +1>0，

∴ 方程 x 2+x −a =0 有实根．故原命题“若 a ≥0，则 x 2+x −a =0 有实根”为真． 又因原命题与其逆否命题等价，

∴ “若 a ≥0，则 x 2+x −a =0 有实根”的逆否命题为真．

19. (1) 以 AB 为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则 A −1,0 ，B 1,0 ． 设 C x, y ，由 AC = ，得 x −3 2+y 2=8（y ≠0），即为点 C 的轨迹方程， 所以点 C 的轨迹是以 3,0 为圆心，半径为 2 的圆，去掉与 y 轴的交点．

19. (2) 由于 AB =2，所以 S △ABC =×2× y = y ，

2

1

因为 x −3 2+y 2=8，所以 y ≤2

所以 S △ABC ≤2 ABC 的面积的最大值为 2 20. (1) 取 BC 中点 O ，连接 AO ．

∵△ABC 为正三角形， ∴AO ⊥BC ．

∵ 正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， ∴AO ⊥平面BCC 1B 1．

连接 B 1O ，在正方形 BB 1C 1C 中，O ，D 分别为 BC ，CC 1 的中点， ∴B 1O ⊥BD ， ∴AB 1⊥BD ．

在正方形 ABB 1A 1 中，AB 1⊥A 1B ， ∴AB 1⊥平面A 1BD ．

20. (2) 设 AB 1 与 A 1B 交于点 G ，在平面 A 1BD 中，作 GF ⊥A 1D 于 F ，连接 AF ． 由（1）得 AB 1⊥平面A 1BD ． ∴AF ⊥A 1D ，

∴∠AFG 为二面角 A −A 1D −B 的平面角． 在 △AA 1D 中，由等面积法可求得 AF =又 ∵AG =AB 1= ，

21

4 5

∴sin∠AFG=

AG AF

=

=

． 4

21. (1) 由 2x + 1+m y +2m =0 得 2x +y +m y +2 =0，所以直线 l 恒过直线 2x +y =0 与直线 2x +y =0, y +2=0 交点 Q ，解方程组 得 Q 1, −2 ，所以直线 l 恒过定点，且定点为 Q 1, −2 ．

y +2=0. 设点 P 在直线 l 上的射影为点 M ，则 PM ≤ PQ ，

当且仅当直线 l 与 PQ 垂直时，等号成立，所以点 P 到直线 l 的距离的最大值即为线段 PQ 的长度为 2 ．

21. (2) 因为直线 l 绕着点

Q 1, −2 旋转，

所以点 M 在以线段 PQ 为直径的圆上，其圆心为点 C 0, −1 ，半径为 因为 N 的坐标为 2,1 ，所以 CN =2 ≤ MN ≤3 22. (1) 方法一：

由题意可知二面角 D −AC −B 的平面角为 ∠DOB，即 ∠DOB=θ．

当 θ=90∘ 时，即 ∠DOB=90∘，

分别取 DC ，BD 的中点 M ，N ，连接 OM ，MN ，ON ， ∵OM ∥AD ，MN ∥BC ，

∴∠OMN 为异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角， 在 △OMN 中，OM =2，MN =2，ON =

cos∠OMN=4 AD 与 BC 所成角的余弦值为 4 方法二：

1

1

如图建立空间直角坐标系 O −xyz ，

由题意可知 A 2,0,0 , D 0,0,2 , B 0,2 0 , C −2,0,0 ， = −2,0,2 , BC = −2, −2 0 ， ∴ AD

, BC =1 AD 与 BC 所成角的余弦值为 1 ∴cos AD

4422. (2) 方法一：

当 θ=60∘ 时，即 ∠DOB=60∘，

由题意可知 AC ⊥平面DOB ，△DOB 为等边三角形， 取 OB 的中点 H ，则有 DH ⊥平面ABC ，且 DH =3， ∵V D −ABC =V ∴d =

12

1

C −ABD ，即 3

⋅S △ABC ⋅DH =3⋅S △ABD ⋅d （其中 d 为点 C 到平面 ABD 的距离），

3

1

BC 与平面 DAB 所成角的正弦值 13 13

方法二：

如图建立空间直角坐标系 O −xyz ，

题意可知 A 2,0,0 ，D 0, 3 ，B 0,2 0 ，C −2,0,0 ， = −2, 3 ， = −2,2 0 ，BC = −2, −2 0 ． AD AB 设平面 ABD 的法向量为 n = x, y, z ， ∴

⋅n AD =−2x + +3z =0, 即可得 n = 3, 1 ，

AB ⋅n =−2x +2 =0,

设直线 BC 与平面 DAB 所成的角为 φ．

则 sin φ= = ⋅ BC n n ⋅ BC

3 13

，

3

即直线 BC 与平面 DAB 所成角的正弦值 ．

13