三角形全章教材分析
《三角形》教材分析
《三角形》知识体系及教学建议(分章节分析)
(一)知识结构图
第 1 页 共 7 页
(二)课程目标
(1)了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线).理解三角形两边之和大于第三边,会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形,会画出任意三角形的高、中线、角平分线.了解三角形的稳定性.
(2)了解与三角形有关的角(内角、外角),会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180º,探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
(3)了解多边形的有关概念(边、内角、外角、对角线、正多边形),探索并了解多边形的内角和与外角和公式.
(4)通过探索平面图形的镶嵌,知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面,并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计. (三)课时安排(供参考)
7.1 与三角形有关的线段 7.2 与三角形有关的角 7.3 多边形及其内角和 7.4 镶嵌 数学活动和小结 (四)总体教学建议
1.教参的建议(107页): (1) 加强与实际的联系;
(2) 加强与已学内容的联系; (3) 加强推理能力的培养; (4) 把握好教学要求. 2.补充建议:
(1) 本章知识点和相关习题中有三处集中涉及不等式: (a) 三角形三边的不等关系; (b) 三角形的外角大于任一不相邻内角; (c) “计算多边形内角和时,漏算/多算/算错了一个角”类的习题. 因为先学三角形,后学不等式,此处宜先控制难度,将这些内容的应用移至《不等式》作为专题,否则学生接受比较困难.
(2) 三角形中的导角,学生大多排斥或无视外角,建议刻意强化认外角、灵活运用外角的意识.
(3) 强化识别基本图形(例如八字、双高线)的意识,有利于迅速、直截地导角.建议适当提高导角问题的难度,在进入《全等三角形》的学习之前基本排除学生导角的障碍.
(4) 本章数学思想丰富(转化、类比、分类讨论……),难题多、教学难点多且大多同时还是教学重点,
建议:(a) 每节课突出重点,争取集中突破一二个难点即可,避免求全责备、
面面俱到.
(b) 如有必要适当增加课时. (5) 本章中可拓展的内容丰富:
第 2 页 共 7 页
2课时 2~3课时 2课时 1课时 2~3课时
例如:三角形的中线和高线都能与三角形的面积联系起来,进而引出三角形的分割、剪拼甚至等积变形;又如教材《阅读与思考》提及的“多边形的三角剖分”问题等.这些都是激发学生兴趣、开拓思维的好素材,可以斟酌选用;也可以留待八上《全等三角形》中使用,帮助学生顺利进入新学期状态、恢复几何感觉. (五)章节重难点及建议
7.1.1 三角形的边
★ 重点:三角形的有关概念和分类;三角形的三边关系. ★ 难点:关于等腰三角形的讨论;三边关系的应用.
★ 建议:(1) 与三角形有关的概念说明:明确“角所对的边”、“边所对的角”的说法;三角形的分类中,明确等边三角形是特殊的等腰三角形,明确“不等边三角形”指三边都不等.
(2) 关于等腰三角形边长、周长的一类习题,强化分类讨
论和三边检验的意识.
(3) 三角形三边关系:用“两点之间线段最短”说明三角形三边的不等关系;会利用三边关系判断给定的三条线段能否构成三角形是基本要求;但学生理解/证明“如果P是△ABC内部
一点,则PB+PC
★ 可选补充例题:
[例1] 填空:
(1)图中有______个三角形,分别是_________________; (2)以线段AD为公共边的三角形是_________________;
(3)线段CE所在的三角形是______,
CE边所对的角是______.
[例2](关于等腰三角形的一类问题)
(1)若三角形三边分别为3,x-2,5,求x的范围;(4
7.1.2 三角形的高、中线与角平分线
★ 重点:三角形中线、高线、角分线的概念和作图;
★ 难点:三角形中线、高线、角分线的作图;高线的几种情况. ★ 建议:
(1) 列表比较三角形的中线、高线、角分线的——
定义
图形(可以把三条线画全,其中高线的图要在三种三角形内分别作出) 符号表示
*三线交点的名称
相关知识(如与面积的关系等)
(2) 让学生准确作图.特别是三角形的角分线,学生较容易画成中线.
第 3 页 共 7 页
★ 可选补充例题:
[例1] 下列各组图形中,哪一组图形中AD是△ABC 的高( )
[例2] 等腰三角形中,一腰上的中线将原三角形的周长分为15cm和6cm两部分,求此三角形各边长.
[例3] (根据文字独立作图)在△ABC中,AD是△ABC的高,AE是△ABC的角平分线.已知∠BAC=88°,∠B=55°,求∠DAE的大小.
[例4] 探讨三角形中线、高线、角分线与三角形面积的关系. (1) 中线平分三角形面积; (2) 高线用于三角形面积的直接计算; (3) **角分线分对边成比例.(用角分线性质配合面积比证B
明)
7.1.3 三角形的稳定性
(1) 三角形的稳定性可以先理解为“当三角形的三边长度确定,三角形的形状也就确定下来了”;四边形不具有稳定性. (2) 如何使不稳定的多边形变得稳定.(转化思想)
7.2.1 三角形的内角
★ 重点:证明三角形的内角和定理;能应用定理进行角度计算
★ 难点:启发构思多种证明思路,体会其中蕴含的转化思想,并进行合理地思考和有条理地表达 ★ 建议:(关于本节课的研究成果众多,以下内容仅供参考) (1) 学生在小学阶段通过剪纸和拼角验证过这个结论;本节课不妨鼓励学生再提出其它方法验证定理结论。 (2) 说明经过观察与实验得到的结论,并不一定正确、可靠;而通过推理证明的结论,一定是放之四海而皆准的.进而引发学生利用已有知识、通过多种途径证明定理.教师注意规范证明书写.证明过程中注意提炼总结其中蕴含的转化等数学思想. 可能被想到的证明方法(还)包括:
(3) 补充一个推论:直角三角形的两个锐角互余.
第 4 页 共 7 页
纠正书写: ∵ 三角形的内角和等于180°
A+∠B=90° ∴∠
改为:
C=90° 在△ABC中,∠
A+∠B=180°C=90° ∴∠-∠(三角形的内角和等于180°)
★ 可选补充例题:
[例1] 在△ABC中,∠A-∠B=∠B-∠C=15°,求∠A、∠
B、∠C.
[例2] 已知:如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数.
7.2.2 三角形的外角
★ 重点:三角形外角的性质 ★ 难点:灵活应用外角性质进行角度运算和比较 ★ 建议:
(1) 明确外角概念后,先在简单的背景图中识别三角形的外角,用彩笔描线突出三角形及其外角.
[例1] 判断下列图中∠1、∠2是三角形的外角吗?
1
2
1
[例2] 右图中△BFC的外角有哪些?△CEF的外角有哪
些?∠DFE可以看作是哪个(些)三角形的外角?
(2) 本节课可以让学生探究“八字形”、“镖形”、双垂直图
形(如下图)中各角度之间的关系,作为基本图形和规律识别、记忆.
B
★ 可选补充例题: [例3](体会外角导角的便捷) 同[例2]图,已知∠A=62°,∠ACD=35°,∠ABE=20°.求∠BDC和∠BFC的度数.
[例4] 已知:如图,
CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,
第 5 页 共 7 页
且CE交BA的延长线于点E.证明:∠BAC>∠B.
7.3.1 多边形 (1) 多边形的概念,注意明确:
(a) “在平面内”; (b) 三角形属于多边形; (c) 不做特殊声明的话,只研究凸多边形;多边形的每个内角小于180°. (2) 正多边形的概念,注意两个条件(举反例). (3) 除三角形外,多边形都有对角线.n6时,应能数清n边形的对角线的条数. ★ 可选补充例题:
[例1] 从n边形的任一顶点,可以引多少条对角线?它们将多边形分成了几个三角形?n边形一共有多少条对角线?
[例2] 一条直线将四边形分割为两个多边形,这两个多边形的边数分别可能是多少?
7.3.2 多边形的内角和
★ 重点:多边形内角和、外角和公式的导出和应用
★ 难点:探索多边形内角和公式时,将多边形问题转换成三角形问题;内外角的关系和公式的灵活运用. ★ 建议:
(1) 探索多边形内角和公式,可以从特殊入手(找规律),再归纳、抽象为一般的n边形.证明时提炼总结其中蕴含的转化、归纳的数学思想.对学生可能提出的归纳递推的思想应给予充分肯定.
A4
A4
AA1
A3
24
AnA1
2
3
AO
AA1
2
3AnA1
2
3
(2) 通过证明多边形外角和公式,讲清每个顶点处内外角之间存在的互补关系.重视教材83页中间的说明文字,建议:可以用教鞭在黑板上演示每次转弯的过程,这样可以清楚地观察到教鞭转了一周;这种方法也完全可以用来演示三角形内角和的计算,甚至可以考虑作为7.2.1小节的引入.
★ 可选补充例题:
第 6 页 共 7 页
[例1]
(1) 正12边形的每个内角都是多少度? (2) 多边形每个内角都等于140°,则这个多边形为几边形?
(3) 多边形的每个外角都等于60°,则它的内角和等于多少度? [例2] 多边形最多有几个内角是锐角?(3)
[例3] 若一个多边形的内角中没有钝角,则它的边数可能是多少?(3或4)
[例4] (1)一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2012º,求多边形的边数. (2)如果一个凸多边形,除了一个内角以外,其它内角的和为2570,求这个没有计算在内的内角的度数.
7.4 课题学习 镶嵌
★ 重点:围绕一点进行平面镶嵌的条件
★ 难点:用正多边形和任意四边形进行平面镶嵌 ★ 建议: (1) 借助多媒体课件,演示镶嵌实例,引导学生归纳出平面镶嵌的(必要)条件. (2) 依次(动手操作+理论分析)解决以下问题: (a) 限用一种正多边形镶嵌平面; (b) 用任意三角形镶嵌平面; (c) 用任意四边形镶嵌平面;
其中,基础较好的学生可令其尝试证明满足(a)的只有三种正多边形. (3) 举例说明用两种或多种正多边形组合起来可以进行镶嵌(数学欣赏)
第 7 页 共 7 页