辅助角公式导学案
3.2.2《简单的三角恒等变换》导学案
编写人：fangzhou7702 审核：高一数学组 时间：2012-02-10
班级 组名： 姓名
【学习目标】
A 级目标： 通过三角恒等变形，把形如y =a s i n x +b c o x s 的函数转化为
y =A s i n x (+ϕ) (A >0)的函数；
B 级目标： 灵活利用公式，处理三角函数式化简及解决函数的最值、 周期、单调性等问题。
【重点难点】
重点：将形如y =a sin x +b cos x 的函数转化为y =A sin(x +ϕ) (A >0)的函数。 难点：辅助角ϕ的确定；利用辅角公式解决函数的最值、周期、单调性等问题。。
【学习过程】
一、 课题引入
复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的正弦公式
(+β) =s i n αc o s β+c o αs s i n β s i n α
(-β) =s i n αc o s β-c o αs s i n β s i n α
探究1：∵ sin(α+π
6) =sin αcos π
6+cos αsin π
6=31sin α+cos α 22
∴ 11=；=。sin α+cos α=） 2222
将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为形如A sin (α+ϕ)(A >0)的形式
2231sin α-cos α=c o αs +s i n α=2222
sin α-cos α=
二、自主探究 得出结论
辅助角公式推导：
探究2：将形如a sin x +b cos x 的三角形式转化为A sin(x +ϕ) (A >0)的形式
a sin x +b cos x a 2+b 2sin (α+ϕ)
⎧⎪cos ϕ=
其中辅助角ϕ由⎨sin ϕ=⎪⎩
三．合作交流，解决问题 a a 2+b 2b 确定。 a 2+b 2
问题1. 已知函数f (x )=a sin x +b cos x ，当f
求a 、b 的值。
⎛π⎫⎪=2，且f (x )的最大值为时，⎝4⎭
（︒1+问题2. 化简sin 50tan 10︒）. 132(cos 10︒+sin 10︒) sin 10︒=sin 50︒⋅解：原式=sin 50 （︒1+）cos 10︒cos 10︒
sin 40︒sin 30︒cos 10︒+cos 30︒sin 10︒ =2cos 40︒⋅ cos 10︒cos 10︒
sin 80︒cos 10︒==1. =cos 10︒cos 10︒=2sin 50︒⋅
四．突破疑难
问题3．已知函数f (x ) =cos 4x -2sin x cos x -sin 4x
（1） 求f (x ) 的最小正周期，（2）当x ∈[0,
集合．
点评：本题是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数 π2]时，求f (x ) 的最小值及取得最小值时x 的
y =A sin (ωx +ϕ)的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 问题4（选讲）．求函数f (x )=
1-3⎛π⎫π⎫⎛sin x -⎪-cos x +⎪的单调区间。 24⎭⎝12⎭⎝
【当堂检测】
1、3sin α+
的形式
2、函数y =2cos x (sin x +cos x ) 的最小正周期是 。
3、函数f (x )=3sin x +5sin(x +
4、若函数f (x ) =⎛⎝π⎫π⎫⎛-3cos α+⎪ ⎪=化为A sin(x +ϕ) (A >0)6⎭6⎭⎝π3) 的最大值是 。 sin 2x +2cos 2x +m 在区间[0]上的最大值为6，求常数m 的值及2
此函数当x ∈R 时的最小值及取得最小值时x 的集合。
【课后反思】
1. 今天你的收获是什么？
2. 你有哪些方面需要努力？
【课后巩固提高】
1. 作业： 教材第147页，第 9、11、12题
2. 探究：你能将形如a sin x +b cos x 的三角形式转化为A cos(x +ϕ) (A >0)的形式吗？ π