基本不等式经典例题精讲
新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式)
典题精讲
例1(1)已知0<x <(2)求函数y=x+
1x
13
,求函数y=x(1-3x)的最大值;
的值域.
思路分析:(1)由极值定理, 可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x >0,因而不能直接使用基本不等式,需分x >0与x <0讨论. (1)解法一:∵0<x <∴y=x(1-3x)= 立. ∴x=
16
13
13
, ∴1-3x >0.
13
·3x(1-3x)≤[
3x +(1-3x )
21
]2=
112
,当且仅当3x=1-3x,即x=
16
时,等号成
时,函数取得最大值
13
12
.
解法二:∵0<x <, ∴
13
-x >0.
x +
13
2-x
∴y=x(1-3x)=3x(∴x=
16
13
-x)≤3[
112
]2=
112
,当且仅当x=
13
-x, 即x=
16
时,等号成立.
时,函数取得最大值.
1x
(2)解:当x >0时,由基本不等式,得y=x+≥2x ∙
1x
=2,当且仅当x=1时,等号成立.
当x <0时,y=x+
1x
=-[(-x)+
1(-x )
].
∵-x >0, ∴(-x)+
1x
1(-x )
≥2,当且仅当-x=
1-x
, 即x=-1时,等号成立.
∴y=x+≤-2.
1x
综上, 可知函数y=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x >-1时,求f(x)=x+
1x +1
的最小值.
1x +1
思路分析:x >-1⇒x+1>0, 变x=x+1-1时x+1与的积为常数.
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解:∵x >-1, ∴x+1>0. ∴f(x)=x+
1x +1
=x+1+
1x +1
1x +1
-1≥2(x +1) ∙
1(x +1)
-1=1.
当且仅当x+1=∴f(x)min =1.
, 即x=0时, 取得等号.
变式训练2求函数y=
x +3x +3
x +1
2
42
的最小值.
思路分析:从函数解析式的结构来看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,事实上,我们可以把分母视作一个整体,用它来表示分子,原式即可展开. 解:令t=x2+1,则t≥1且x 2=t-1. ∴y=
x +3x +3
x +1
1t
24
2
=
(t -1) +3(t -1) +3
t
1t
2
=
t +t +1
t
2
=t +
1t
+1.
∵t≥1,∴t+≥2t ∙
1t
=2,当且仅当t=, 即t=1时,等号成立.
∴当x=0时,函数取得最小值3. 例2已知x >0,y >0,且
1x
+
9y
=1,求x+y的最小值.
思路分析:要求x+y的最小值,根据极值定理,应构建某个积为定值,这需要对条件进行必要的变形,下面给出三种解法,请仔细体会. 解法一:利用“1的代换”, ∵
1x
+
9y
=1,
∴(+
x
19y
)=10+
y x
+
9x y
.
∵x >0,y >0, ∴
y x
+
9x y
≥2
y x
∙
9x y
=6.
当且仅当
y x
=
9x y
,即y=3x时,取等号.
又
1x
+
9y
=1,∴x=4,y=12.
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∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16. 解法二:由
1x
+
9y
=1,得x=
y y -9
.
∵x >0,y >0, ∴y >9. x+y=
y y -9
+y=y+
y -9+9y -9
=y+
9y -9
+1=(y-9)+
9y -9
+10.
∵y >9, ∴y-9>0. ∴
y -9+9y -9
≥2(y -9) ∙
9y -9
=6.
当且仅当y-9=
9y -9
,即y=12时,取得等号,此时x=4.∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16. 解
法三:由
1x
+
9y
=1,得y+9x=xy,
∴(x-1)(y-9)=9.
∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2(x -1)(y -9) =16, 当且仅当x-1=y-9时取得等号. 又∴x=4,y=12.
∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.
绿色通道:本题给出了三种解法,都用到了基本不等式,且都对式子进行了变形,配凑出基本不等式满足的条件,这是经常需要使用的方法,要学会观察, 学会变形,另外解法二,通过消元, 化二元问题为一元问题,要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响. 黑色陷阱:本题容易犯这样的错误:
1x
1x
+
9y
=1,
+
9y
≥2
9xy
①, 即
6xy
≤1,∴xy ≥6.
∴x+y≥2xy ≥2×6=12②. ∴x+y的最小值是12.
1x
产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是=
9y
,不等式②等号成立的条件是x=y.在同
一个题目中连续运用了两次基本不等式, 但是两个基本不等式等号成立的条件不同,会导致错误结论.
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变式训练已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,思路分析:本题属于“1”的代换问题. 解:x+y=(x+y)(
a x +b y
a x
+
b y
=1,x+y的最小值为18,求a,b 的值.
)=a+
bx y
+
ay x
+b=10+
bx y
+
ay x
.
∵x,y >0,a,b >0,
∴x+y≥10+2ab =18,即ab =4. 又a+b=10,
⎧a =2, ⎧a =8, ∴⎨或⎨
b =8b =2. ⎩⎩
例3求f(x)=3+lgx+
4lg x
的最小值(0<x <1).
思路分析:∵0<x <1, ∴lgx <0,
4lg x
<0不满足各项必须是正数这一条件,不能直接应用基本不等式,正确的处理方法
是加上负号变正数. 解:∵0<x <1, ∴lgx <0,
4lg x
<0. ∴-
4lg x
>0.
∴(-lgx)+(-
4lg x
) ≥2(-lg x )(-
4lg x
) =4.
∴lgx+
4lg x
≤-4. ∴f(x)=3+lgx+
4lg x
≤3-4=-1.
当且仅当lgx=
4lg x
, 即x=
1100
时取得等号.
则有f(x)=3+lgx+
4lg x
(0<x <1) 的最小值为-1.
黑色陷阱:本题容易忽略0<x <1这一个条件. 变式训练1已知x <
54
,求函数y=4x-2+
14x -5
的最大值.
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思路分析:求和的最值,应凑积为定值. 要注意条件x <解:∵x <y=4x-5+
5414x -5
54
,则4x-5<0.
, ∴4x-5<0. +3=-[(5-4x)+15-4x
15-4x 32
15-4x
]+3
≤-2(5-4x ) ∙+3=-2+3=1.
当且仅当5-4x=, 即x=1时等号成立.
所以当x=1时,函数的最大值是1. 变式训练2当x <
时,求函数y=x+
82x -3
的最大值.
8
思路分析:本题是求两个式子和的最大值, 但是使用一些技巧对原式变形. 可以变为y=值. 解:y=
12
12
(2x-3)+
2x -3
8
并不是定值, 也不能保证是正值, 所以, 必须+
32
2x -3
32
=-(
3-2x 2
+
83-2x
)+
32
, 再求最
(2x-3)+
32+
82x -3
+
32
=-(
3-2x 2
+
83-2x
)+,
∵当x <
3-2x 2
时,3-2x >0,
83-2x 32
∴≥2
3-2x 2
∙
83-2x
=4,当且仅当
52
3-2x 2
=
83-2x
,即x=-
12
时取等号.
于是y≤-4+=-
52
,故函数有最大值-.
例4如图3-4-1,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成
.
图3-4-1
(1)现有可围36 m长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为24 m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小?
思路分析:设每间虎笼长为x m,宽为y m,则(1)是在4x+6y=36的前提下求xy 的最大值;而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.
解:(1)设每间虎笼长为x m,宽为y m,则由条件, 知4x+6y=36,即2x+3y=18.
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设每间虎笼的面积为S ,则S=xy.
方法一:由于2x+3y≥22x ⨯3y =26xy , ∴26xy ≤18,得xy≤
272
,即S≤
272
.
当且仅当2x=3y时等号成立. 由⎨
⎧2x =2y , ⎩2x +3y =18,
解得⎨
⎧x =4. 5, ⎩y =3.
故每间虎笼长为4.5 m,宽为3 m时,可使面积最大. 方法二:由2x+3y=18,得x=9-∵x >0, ∴0<y <6. S=xy=(9-32
32
y.
y)y=
32
(6-y)y.
∵0<y <6, ∴6-y >0. ∴S≤
32
[
(6-y ) +y
2
]=
2
272
.
当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时,可使面积最大. (2)由条件知S=xy=24. 设钢筋网总长为l, 则l=4x+6y. 方法一:∵2x+3y≥2
2x ∙3y =26xy =24,
∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时, 等号成立.
⎧2x =3y , ⎧x =6, 由⎨解得⎨
y =4. xy =24, ⎩⎩
故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋网总长最小. 方法二:由xy=24,得x=
24y
.
∴l=4x+6y=
96y
+6y=6(
16y
+y)≥6×2
16y
⨯y =48,当且仅当
16y
=y,即y=4时,等号成立,此时x=6.
故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋总长最小.
绿色通道:在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时,要注意:
(1)x,y 都是正数;
(2)积xy (或x+y)为定值;
(3)x 与y 必须能够相等,特别情况下,还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.
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变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示), 由于地形限制, 长、宽都不能超过16米, 如果池外周壁建造单价为每米400元, 中间两道隔墙建造单价为每米248元, 池底建造单价为每平方米80元, 池壁的厚度忽略不计, 试设计污水处理池的长和宽, 使总造价最低, 并求出最低造价
.
图3-4-2
思路分析:在利用均值不等式求最值时, 必须考虑等号成立的条件, 若等号不能成立, 通常要用函数的单调性进行求解.
解:设污水处理池的长为x 米, 则宽为于是总造价324x
200x
米(0<x≤16,0<
200x
200x
≤16),∴12.5≤x≤16.
200x
)+248×2×324x
+80×200.
=800(x+)+16 000≥800×2x ∙
324x
+16 000=44 800,
当且仅当x= (x>0), 即x=18时等号成立, 而18∉[12.5,16], ∴Q(x)>44 800.
下面研究Q(x)在[12.5,16]上的单调性.
对任意12.5≤x1<x 2≤16,则x 2-x 1>0,x 1x 2<162<324. Q(x2)-Q(x1)=800[(x2-x 1)+324(
1x 2
-1x 1
) ]
=800×
(x 2-x 1)(x 1x 2-324)
x 1x 2
<0,
∴Q(x2) >Q(x1). ∴Q(x)在[12.5,16]上是减函数.
∴Q(x)≥Q(16)=45 000.
答:当污水处理池的长为16米, 宽为12.5米时, 总造价最低, 最低造价为45 000元. 问题探究
问题某人要买房, 随着楼层的升高, 上下楼耗费的精力增多, 因此不满意度升高. 当住第n 层楼时, 上下楼造成的不满意度为n. 但高处空气清新, 嘈杂音较小, 环境较为安静, 因此随着楼层的升高, 环境不满意度降低. 设住第n 层楼时, 环境不满意程度为
8n
. 则此人应选第几楼, 会有一个最佳满意度.
导思:本问题实际是求n 为何值时, 不满意度最小的问题, 先要根据问题列出一个关于楼层的函数式, 再根据基本不等式求解即可.
探究:设此人应选第n 层楼, 此时的不满意程度为y.
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由题意知y=n+
8n
8n
.
∵n+≥2n ⨯
8n
8n
=42,
当且仅当n=, 即n=22时取等号.
但考虑到n ∈N *,
∴n≈2×1.414=2.828≈3,
即此人应选3楼, 不满意度最低. 例5解关于x 的不等式
a (x -1) x -2
>1(a ≠1)
解原不等式可化为(a -1) x +(2-a )
x -2a -2a -1
>0,
①当a >1时,原不等式与(x -由于
a -2a -1
=1-
1a -1
)(x -2) >0同解
∴原不等式的解为(-∞,
a -2a -1
) ∪(2,+∞)
②当a <1时,原不等式与(x -由于
a -2a -1
=1-a -2
1a -1=1-
a -2a -1
)(x -2) <0
,
1
a -2
若a <0,
a -1a -1
1
=1-=2,解集为∅; 若a =0时,
a -1a -1
a -1a -2
,2) ;
若0<a <1,
a -2a -1
=1-
1a -1
>2, 解集为(2,
a -2a -1
a -2a -1
)
a -2a -1
综上所述当a >1时解集为() ∪(2,+∞) ;当0<a <1时,解集为(2,,2
) ;
当a =0时,解集为∅;当a <0时,解集为(
a -2a -1
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