线段比及黄金分割法
第八讲 线段的比及黄金分割
【基础知识精讲】
一、:线段的比
如果当用同一长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比AB:
CD=m:n或写成
的比值.
说明:(1)两线段的比是指用同一种长度的单位度量的两线段长度的比
(2)两线段的比值与所用的长度单位无关.
二、比例尺:在地图或工程图纸上,图上距离与实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
三、成比例线段:
(1)成比例线段定义:四条线段a,b,c,d,中,如果a与b的比等于c与d的比,即ABmk,其中线段AB,CD分别叫做这两条线段比的前项和后项,k叫做它们CDnac,bd
那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段,其中a,d可称为比例外项,b,c可
称为比例内项,d可称为a,b,c的第四比例项.
(2).比例中项:如果
四、比例的性质: ab,则b叫做a、c的比例中项。 (或b2ac)bc
ac,那么adbc。 bd
acab2.更比性质:如果,那么。 bdcd
acbd3.反比性质:如果,那么。 bdac
acabcd4.合(分)比性质:如果,那么。 bdbdacmac…ma5.等比性质:如果…(bd…n0),那么。 bdnbd…nbACBC五、(1)黄金分割:点c把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果,那么点c叫ABAC1.比例的基本性质:如果
做线段AB黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,。
(2)黄金比:AC1或0.618 AB2
(1)...较长13全长(2)...较短全长22
(3)..一条线段有两个黄金分割点,其距离(2)全长
(3):作黄金分割点
求已知线段AB的黄金分割点
如图:
1、经过点B作BD⊥AB,且BD=1AB 2
2、连接AD,在DA上截取DE=DB.
3、在AB上截取AC=AE,所以点C是线段AB的黄金分割点.
理由:设AB=1,则BD=131,AD=, AC=,BC= 2222
所以ACBC1 ABAC2
所以点C是线段AB的黄金分割点.
【重难点高效突破】
【典型例题】
例1.(1)在1:50000的地图上的A、B两地的距离是15cm,则A、B两地的实际距离是_______km.
(2)在比例尺为1:n的某市地图上,规划出一块长5cm×2cm的矩形工业区,则该工业
区的实际面积是 平方米.
(2)已知1,5,5三个数,如果再添一个数,使之能与已知的三个数成比例,则这个数
应该为___________________________?
xyz2x23yzz2
例2. 设,求2的值. 234x2xyz2
分析:由已知条件利用解方程的思想不能求出x,y,z的值,因此用设参数法代入化简.
解:设xyz=k 234
则x=2k,y=3k,z=4k 2(2k)233k4k(4k)212k21原式=== 24k22(2k)222k3k(4k)2
x4y3z8,且x+y+z=12,求x,y,z的值. 324
x4y3z8解:设=k,则x=3k-4,y=2k-3,z=4k-8,代入 324例3. 如果
x+y+z=12中,得3k-4+2k-3+4k-8=12,解得k=3
x=3k-4=3×3-4=5 y=2k-3=2×3-3=3 z=4k-8=4×3-8=4
法二、设x4y3z8=k,然后用等比性质 324
例4、已知:
xyyzxzk,求k的值。 zxy
例5.已知一次函数y=kx-1中,比例系数k满足kcab,试求直线y=kx-1与abbcca
x轴的交点坐标.
提示:(1)当a+b+c=0时,k=-1,交点坐标为:(-1,0)
(2)当a+b+c 0时,k= 1,交点坐标为:(2,0) 2
1AB=≈0.618),2BC例6. 如图所示,矩形ABCD是黄金矩形(即
如果在其内作正方形CDEF,得到一个小矩形ABFE,试问矩形ABFE是
否也是黄金矩形?
变式训练:如图:矩形ABCD是黄金矩形,DC为较短边,四边形CDEF为正方形,则四边形ABFE为
黄金矩形,已知DC=10,求黄金矩形ABFE的面积(保留三位有效数字)
分析:
AE1,EFCD10cm,EF2
1BF101)(cm) 2
S四边形DCEFBFEF1)10cm261.8cm2
例7. 以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点
F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上,如图所示,
(1)求AM,DM的长,
(2)试说明AM2=AD·DM
(3)根据(2)的结论,你能找出图中的黄金分割点吗?
解:(1)因为正方形ABCD的边长是2,P是AB中点,所以AD=AB=2,
AP=1,∠BAD=90°,所以PD=AP
2AD2
因为PF=PD,所以AF=
3-1,在正方形ABCD中,AM=AF=1,MD=AD-AM=5
(2)由(1)得AD×DM=2(3-5)=6-25,AM2(1)262
所以AM2=AD·DM
(3)如图中的M点是线段AD的黄金分割点.
【课堂练习】
一、选择题
1、已知ac,则下列式子中正确的是( C ) bd
22A. a∶b=c∶d B. a∶d=c∶b C. a∶b=(a+c)∶(b+d) D. a∶b=(a-d)∶(b-d)
2、若ac=bd,则下列各式一定成立的是( B ) a2dadbcacabaA. B. C. 2 D. dccbbdcdd
3. 如果
,则下列各式中能成立的是( C )
4、已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是( C )
A. AM∶BM=AB∶AM B. AM=11AB C. BM=AB D. AM≈0.618AB 22
xy34,下列式子一定成立的是( D ) 5.已知
A.3x=4y B.x=12y C.xy=12 D.4x=3y
6.如果ab=mn,那么下列等式不成立的是( C ) anamammb A. mb B. nb C. bn D. an
二、填空题(每小题3分,共30分)
1.在x∶6= (5 +x)∶2 中的x;
2.若a∶3 =b∶4 =c∶5 , 且a+b-c=6, 则abc3.已知x∶y∶z= 3∶4∶5 , 且x+y+z=12, 那么xy,z.
4.若ace3, 则ace______. bdfbdf4
5.已知x∶4 =y∶5 = z∶6 , 则 ①x∶y∶z = , ② (x+y)∶(y+z6.若x2y2, 则x_____. y3y
7.已知,线段a= 2 cm
,c(2cm,则线段a、c的比例中项b是
三、解答题(每小题8分,共40分)
1.已知2x3y4zxyzxyz (2). 0,求下列各式的值:(1)y3575x3yz
2.若ΔABC 的三内角之比为1∶2∶3,求ΔABC的三边之比.
3.已知a、b、c为ΔABC的三边,且a+b+c=60cm,a∶b∶c=3∶4∶5,求ΔABC的面积.
B组
1.已知a、b、c是非零实数,且
2.已知
3.已知a、b、c为ΔABC的三边,且满足(a-c):(a+b):(c-b)=-2:7:1,判断ΔABC的形状。.
提示:a=3k,b=4k,c=5k 是直角三角形
abcdk,求k的值. bcdacdbadabc111yx,求的值。 xyxyxy
4.已知在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC=
金分割点,且AN<NC,BM<MC,求线段MN的长.
提示:
+1,M,N分别为BC,AC上的黄
【达标训练】
一、填空题
1、若2x-5y=0,则y∶x=________,
x2xx1,那么x=______; 2.如果xxy=________. x
3.用“84•”消毒液配制药液,•对白色衣物进行消毒,•要求按1:200的比例进行稀释,现要配制此种药液4020克,则需“84”消毒液______克.
4. 已知线段c是线段a和x的比例中项,则;如果线段b是线段a、x、x的第四比例项,a=2,b=8,则
三、解答题
1、若点P在线段AB上,点Q在线段AB的延长线上,AB=10,
APΑQ3,求线段PQ的长. BPBQ2
x3xy74,求y的值. 2.已知y
abcdacd成立吗?为什么? 3、如果bd=k,那么:(1)b
abcdbd成立吗?为什么? (2)
4. 已知:
求证:
ADAEDBEC5、如图,△ABC中, DBEC,AB=12,AE=6,EC=4. (1)求AD的长; (2)求证: ABAC.
A
D
B
EC
ace2ace2bdf3bdf3,那么请你根据探索到的这一规律,解答下列问题:已知△6、由,易证
ABBCCA3
ABC•和△A′B′C′中, A`B`B`C`C`A`4,且A′B′+B′C′+C′A′=20厘米,求△ABC的周长.
7、(规律探究题)科学研究表明,当人的下肢长与身高之比为0.618时,•看起来最美.某成年女士身高为153cm,下肢长为92cm,该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为__2.6____cm.(结果精确到0.1cm)