微积分的产生与发展

微积分的产生与应用

一、微积分产生背景

在十六世纪末、十七世纪初的欧洲，文艺复兴带来了人们思维方式的改变．资本主义制度的产生，使社会生产力大大得到解放．资本主义工厂手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速向前发展．

在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件，向数学提出了新的课题．

公元1492年，哥伦布发现了新大陆，证实了大地是球形的观念；1543年，哥白尼发表了《天体运行论》，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇；开普勒在1609～1619年，总结出行星运动的三大定律，导致后来牛顿万有引力的发现；1609年伽里略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向新的境界．这些科学实践拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的质变．

十六世纪对数学的研究从常量开始进入了变量的领域．这成为数学发展史上的一个转折点， 也是“变量”数学发展的第一个决定性步骤．由于“变量”作为新的问题进入了数学，对数学的研究方法也就提出了新的要求．在十七世纪前半叶，解析几何的观念已经有一系列优秀的数学家接近了．但是十七世纪三十年代，解析几何才被笛卡尔(Descartes，R．(法)1596～1650)和费尔马(Fermat，P．de(法)1601～1665)创立．

在解析几何里，由于建立了坐标系，可以用字母表示变动的坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数运算代替几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究，使数与形紧密地结合起来了．这种新的数学方法的出现与发展，使数学的思想和方法的发展发生了质的变化，恩格斯把它称为数学的转折点．此后人类进入了变量数学阶段，也是变量数学发展的第一个决定性步骤．为十七世纪下半叶微积分算法的出现准备了条件。

二、微积分的产生过程

微积分是经过长时间的酝酿才产生的．微积分的原理可以追溯到古代．在中国，公元前4世纪的桓团、公孙龙等所提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；公元3世纪的刘徽，公元5～6世纪的祖冲之、祖暅对圆周率、面积以及体积的研究，都包含有极限和微积分的思想萌芽．在欧洲，公元前3世纪古希腊的欧几里得(Euclid)、阿基米得(Archimedes约公元前287～212)所建立的确定面积和体积的方法，也都包含有上述萌芽．

在十六世纪末、十七世纪初，由于受力学问题的研究、函数概念的产生和几何问题可以用代数方法来解决的影响，促使许多数学家去探索微积分．开普勒(Kepler．J．(德)1571～1630)、卡瓦列里(Cavalieri，F．B．(意)1598～1647)和牛顿的老师巴罗(Barrow，I ．(英) 1630～1677)等人也研究过这些问题，但是没有形成理论和普遍适用的方法．1638年，费尔马首次引用字母表示无限小量，并运用它来解决极值问题．稍后，他又提出了一个与现代求导过程实质相同的求切线的方法，并用这种方法解决了一些切线问题和极值问题．

后来，英格兰学派的格雷果里(Gregory，J(英)1638～1675)、瓦里斯(Wallis，J．(英) 1616～1703)继续费尔马的工作，用符号“0”表示无限小量，并用它进行求切线的运算．到十七世纪早期，他们已经建立起一系列求解无限小问题的特殊方法．诸如，求曲线的切线、曲率、极大

极小值，求运动的瞬时速度以及面积、体积、曲线长度、物体重心的计算等．但他们的工作差不多都局限于一些具体问题的细节之中，还缺乏普遍性的规律．

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

三、古代至中世纪的有关研究工作

早在古代数学中，就产生了微分和积分这两个概念的思想萌芽，形成两种基本的数学运算。两者分别地被人们加以研究和发展。历史上，积分思想先于微分思想出现，而不象今天的《数学分析》所讲授的那样，先微分后积分。积分思想出现在求面积、体积等问题中，在古中国、古希腊、古巴比伦、古埃及的早期数学文献中都有涉及这类问题的思想和方法。

如：古希腊的阿基米德（公元前287―212）用边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积，称为“穷竭法”。

中国魏晋时代的刘徽在其《九章算术注》（公元263年）中，对于计算圆面积提出了著名的“割圆术”，他解释说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”这些都是原始的积分思想。

又如，中国清代著名数学家李善兰独创的“尖锥术”，已使中国步入了微积分的大门。但还未形成多大影响时，西方的微积分就传入了中国。

16世纪以后，欧洲数学家们仍沿用阿基米德的方法求面积、体积等问题，并不断加以改进。天文学家兼数学家开普勒的工作是这方面的典型。他注意到，酒商用来计算酒桶体积的方法很不精确，他努力探求计算体积的正确方法，写成《测量酒桶体积的新科学》一书，他的方法的精华就是用无穷多小元素之和来计算曲边形的面积或体积。

微分思想也在古代略见端倪，它是和求曲线的切线问题相联系的，这是数学家们历来所关注的另一类问题。

光学研究中，由于透镜的设计需要运用折射定律、反射定律，就涉及切线、法线问题。这方面的研究吸引了笛卡儿、惠更斯、牛顿、莱布尼兹等人。而在运动学研究中，要确定运动物体在某一点的运动方向，就是求曲线上某一点的切线方向，这就需要求作切线。

意大利科学家伽利略主张自然科学研究必须进行系统的观察与实验，充分利用数学工具去探索大自然的奥秘。这些观点对科学(特别是物理和数学)的发展有巨大的影响。他的学生卡瓦列里创立了“不可分原理”。依靠这个原理他解决了许多现在可以用更严格的积分法解决的问题。“不可分”的思想萌芽于1620年，深受开普勒和伽利略的影响，是希腊欧多克索斯的穷竭法到牛顿、莱布尼茨微积分的过渡。

牛顿 (约1642～1727年) 生于英格兰东海岸中部的一个农民家庭。1661年,由于成绩优秀考入英国剑桥大学三一学院,在此幸运地得到巴鲁教授的指导。1664年,牛顿取得了学士学位。1665年,伦敦流行鼠疫,波及剑桥大学,学院被迫停办,牛顿便回到乡下,在乡间终日思考各种问题,运用他的智慧和数年来获得的知识,发明了流数术 (微积分),万有引力和光的分析。特别是牛顿因看见

苹果落地而悟得万有引力的故事,至今仍被后人传诵。

莱布尼兹 (约1646～1716年) 生于德国东部的莱比锡,他的学识很广,多才多艺,和我国的沈括有很多相似之处。他1661年考入莱比锡大学学习法律, 1672年因外交事务赴巴黎,在那里接触到一些数学名流,特别是和惠更斯的交往,使年青的莱布尼兹学习高等数学之念油然而生,进而进入数学领域,开始创造性的工作,最突出的建树是微积分。牛顿建立微积分是从运动学的观点出发,而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑,所创设的微积分符号远远优于牛顿符号,并有效地促进了微积分学的发展。

微积分出现以后,逐渐显示出它非凡的威力,过去很多初等数学束手无策的问题,至此得到迎刃而解,恩格斯曾指出:“只有微积分才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态,并且也表明过程:运动。”

微积分的基础是极限论,而牛顿,莱布尼兹的极限理论是比较模糊的,进入十九世纪,柯西与维尔斯特拉斯给出了极限概念的严格定义,它把整个极限过程用不等式来刻画,使无穷的运算化为一系列不等式的推导,完成了“Ε— ”方法,这个定义至今仍普遍沿用着。有了这个定义,微积分中连续、导数、微分、无穷级数等其它概念都得于完善,微积分学的基础理论得于系统完备。

有了微积分,数学发生了一连串的本质的变化,首先是罗巴契夫斯基非欧几何的出现,其次是阿贝尔和伽罗瓦开创了近世纪代数的研究,随后拓朴学、复变函数论、实变函数论、微分方程、微分几何、数理逻辑、概率论、泛函分析等学科都有了很大的发展。

四、微积分的应用

1.微分在近似计算中的应用：

要在半径r=1cm的铁球表面上镀一层厚度为0.01cm的铜，求所需铜的重量W（铜的密度k=8.9g/cm^3）(说明：cm^3后面的3是幂，也就是立方厘米，下面的r^3也是指r的3次方，依此类推）

解：先求镀层的体积，再乘以密度，便得铜的质量。显然，镀层的体积就是两个球体体积这差。设球的体积为V，则V=f(r)=4πr^3/3 由题意可取r'=1,

△r=0.01 于是，△V≈dV=f'(r')△r=f'(1)*0.01,

而f'(1)=(4πr^3/3)'|r'=4π

所以铜的体积约为dV=f'(1)*0.01=4π*0.01≈0.13(cm^3)

于是镀铜的质量约为dW=kdV≈0.13×8.9≈1.16(g)

2.微分在几何学的应用：曲线的切线问题

割线MN的斜率为tanφ=y-y0f(x)-f(x0)=,x-x0x-x0

f(x)-f(x0)切线MT的斜率为k=lim=f'(x0),x→x0x-x0

3.微分学在经济问题中的应用：边际函数的应用

定义1 ：如果函数f(x)在区间I可导，

则称导函数f’(x)为f(x)的边际函数。

在经济应用上相应地有边际收益，边际利润，边际成本等。

由导数的定义知，f’(x)是f(x0)在x点的变化率。

即当x=x0时，x改变一个单位，y改变了f’(x0)个单位。

如边际成本C’(x0)表示生产x0个单位产品时，再生产一个单位产品，成本增加C′(x0)。

这表明当生产第901台时所花费的成本为1.5元。同时也说明边际成本与平均成本有区别。

4.微分学在最优化问题的应用：易拉罐问题

分析和假设：

首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体.

要求饮料罐内体积一定时,

求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.

实际上用几何语言来表述就是: 体积给定的直圆柱体, 其表面积最小的尺寸 (半径和高)为多少? 表面积用S表示,体积用V表示,则有

S(r,h)=2πr h+πr2+πr2=2π[r2+rh]

V=π r2h, h=V/π r2.

于是我们可以建立以下的数学模型：

r>0, h>0 minS(r,h)其中S是目标函数,

g(r,h)=V-π r2h=0是约束条件(V已知,即罐内体积一定),.

即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的

r, h.

把h=V/π r2代入S(r,h)，

VV得到S(r)=2π[r2+r2]=2π[r2+]πrπr

求驻点(临界点

,critical point)

0=S'(r)=2π(2r-

V h==πr02 V2πV3)=(2r-) r=0πr2r2π又由于S''(r)

知道r0=r0===2r0=d02V=2π(2+3)r0>0 r0>0πr.

实际上,它也是全局最小值点,因为临界点是唯一的.

最小面积为S(r0)==6r025.定积分在物理学中的应用：

根据虎克定律，弹簧的弹力与形变的长度成正比。已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm需力14000N，求弹簧压缩2cm时所作的功。

解：由题意，弹簧的弹力为f(x)=kx(k为比例常数），

当x=0.01m时 f(0.01)=k×0.01=1.4×10^4N

由此知k=1.4×10^6,故弹力为f(x)=1.4×10^6x，

于是，W=∫上标0.02下标0（1.4×10^6x)dx=1.4×10^6*x^2/2|上标0.02下标0 =280(J), 即弹簧压缩2cm时所作的功为280J。