初一平面直角坐标系
第六章平面直角坐标系的复习讲义1
一、本章的主要知识点
(一)有序数对:有顺序的两个数a 与b 组成的数对。
1、记作(a ,b );
2、注意:a 、b 的先后顺序对位置的影响。
(二)平面直角坐标系
1、历史: ;
2、构成坐标系的各种名称;3、各种特殊点的坐标特点。
(三)坐标方法的简单应用
1、用坐标表示地理位置;2、用坐标表示平移。
二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点:
平行于x 轴(或横轴) 的直线上的点的纵坐标相同;
平行于y 轴(或纵轴) 的直线上的点的横坐标相同。
三、各象限的角平分线上的点的坐标特点:
第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同;
第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。
四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点:
关于x 轴对称的点的横坐标相同, 纵坐标互为相反数
关于y 轴对称的点的纵坐标相同, 横坐标互为相反数
关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数
五、特殊位置点的特殊坐标:
建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x 轴、y 轴的正方向;
根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
二、经典例题
知识一、坐标系的理解
例1、平面内点的坐标是( )
A 一个点 B 一个图形 C 一个数 D 一个有序数对
学生自测
1.在平面内要确定一个点的位置,一般需要________个数据;
在空间内要确定一个点的位置,一般需要________个数据.
2、在平面直角坐标系内,下列说法错误的是( )
A 原点O 不在任何象限内 B 原点O 的坐标是0
C 原点O 既在X 轴上也在Y 轴上 D 原点O 在坐标平面内
知识二、已知坐标系中特殊位置上的点,求点的坐标
点在x 轴上,坐标为(x,0)在x 轴的负半轴上时,x
在x 轴的正半轴上时,x>0
点在y 轴上,坐标为(0,y )在y 轴的负半轴上时,y
在y 轴的正半轴上时,y>0
第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同(即在y=x直线上) ; xy>0
第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在y= -x直线上) ; xy
例1 点P 在x 轴上对应的实数是-3,则点P 的坐标是 ,
若点Q 在y 轴上对应的实数是1,则点Q 的坐标是 , 3
。 例2 点P (a-1,2a-9)在x 轴负半轴上,则P 点坐标是
学生自测
1、点P(m+2,m-1)在y 轴上, 则点P 的坐标是.
2、已知点A (m ,-2),点B (3,m-1),且直线AB ∥x 轴,则m 的值为。
3、 已知:A(1,2),B(x,y),AB∥x 轴, 且B 到y 轴距离为2, 则点B 的坐标是.
4.平行于x 轴的直线上的点的纵坐标一定( )
A .大于0 B .小于0 C .相等 D .互为相反数
(3)若点(a ,2)在第二象限, 且在两坐标轴的夹角平分线上, 则a= .
(3)已知点P (x -3,1)在一、三象限夹角平分线上,则x= .
5.过点A (2,-3)且垂直于y 轴的直线交y 轴于点B ,则点B 坐标为( ).
A.(0,2) B.(2,0)C .(0,-3)D .(-3,0)
2
6.如果直线AB ∥y 轴,则点A ,B 的坐标之间的关系是( ).
A.横坐标相等 B.纵坐标相等
C .横坐标的绝对值相等 D.纵坐标的绝对值相等
知识点三:点符号特征。
点在第一象限时,横、纵坐标都为 ,点在第二象限时,横坐标
为 ,纵坐标为 ,点有第三象限时,横、纵坐标都为 ,点在第
四象限时,横坐标为 ,纵坐标为 ;y 轴上的点的横坐标为 ,x
轴上的点的纵坐标为 。
例1 . 如果a -b <0, 且ab <0, 那么点(a,b) 在( )
A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限, D 、第四象限.
例2、如果y <0,那么点P (x ,y )在( ) x
(A) 第二象限 (B) 第四象限
(C) 第四象限或第二象限 (D) 第一象限或第三象限
学生自测
1. 点P的坐标是(2,-3),则点P在第象限.
2、点P (x ,y )在第四象限,且|x|=3,|y|=2,则P 点的坐标是。
3.点 A 在第二象限 ,它到 x 轴 、y 轴的距离分别是 、2
4. 若点P(x ,y )的坐标满足xy ﹥0,则点P在第象限;
若点P(x ,y )的坐标满足xy ﹤0,且在x 轴上方,则点P在第 象限.
'若点P (a ,b )在第三象限,则点P (-a ,-b +1)在第 象限;
5.若点P(1-m,m)在第二象限,则下列关系正确的是( )
A. 00 D.m >1
6.点(x ,x -1) 不可能在 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.已知点P(2x -10, 3-x ) 在第三象限,则x 的取值范围是( )
A .35或x
8.设点P 的坐标(x ,y ),根据下列条件判定点P 在坐标平面内的位置:
(1)xy =0;(2)xy >0;(3)x +y =0.
(2)点A(1-2, π) 在第 象限.
(3)横坐标为负, 纵坐标为零的点在( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)X轴的负半轴 (D)Y轴的负半轴
(4) 如果a-b <0, 且ab <0, 那么点(a,b) 在( )
(A)第一象限, (B)第二象限 (C)第三象限, (D)第四象限.
(5)已知点A (m ,n )在第四象限,那么点B (n ,m )在第 象限
(6)若点P(3a-9,1-a)是第三象限的整数点(横、纵坐标都是整数) ,那么a= 知识四:求一些特殊图形,在平面直角坐标系中的点的坐标。
过点作x 轴的 线,垂足所代表的 是这点的横坐标;过点作y
轴的垂线,垂足所代表的实数,是这点的 。点的横坐标写在小括号
里第一个位置,纵坐标写小括号里的第 个位置,中间用 隔开。
例1、X 轴上的点P 到Y 轴的距离为2.5, 则点P的坐标为( )
A(2.5,0) B (-2.5,0) C(0,2.5) D(2.5,0)或(-2.5,0)
例2、已知三点A (0,4),B (—3,0),C (3,0),现以A 、B 、C 为顶
点画平行四边形,请根据A 、B 、C 三点的坐标,写出第四个顶点D 的坐标。
学生自测
1、点A(2,3)到x 轴的距离为点B(-4,0)到y 轴的距离为;点C 到x 轴的距离为1,到y 轴的距离为3,且在第三象限,则C 点坐标
是 。
2. 若点A的坐标是(-3,5),则它到x 轴的距离是到y 轴的距离是.
3. 点P到x 轴、y 轴的距离分别是2,1,则点P的坐标可能为。 4.已知点M 到x 轴的距离为3,到y 轴的距离为2,则M 点的坐标为( ).
A .(3,2) B.(-3,-2) C.(3,-2)
D.(2,3),(2,-3),(-2,3),(-2,-3)
5.若点P (a,b )到x 轴的距离是2,到y 轴的距离是3,则这样的点P 有
( ) A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 已知直角三角形ABC 的顶点A(2 ,0) ,B(2 ,3).A 是直角顶点, 斜边长为
5,求顶点C 的坐标 .
7. 直角坐标系中,正三角形的一个顶点的坐标是(0),另两个顶点B 、C 都在x 轴上,求B ,C 的坐标.
8.对于边长为6的正△ABC ,建立适当的直角
坐标系,并写出各个顶点的坐标.
9.在平面直角坐标系中,A ,B ,C 三点的坐标分别为(0,0),(0,-5),(-2,-2),•以这三点为平行四边形的三个顶点,则第四个顶点不可能在第_______象限.
10. 直角坐标系中,一长方形的宽与长分别是6,8,对角线的交点在原点,两组对边分别与坐标轴平行,求它各顶点的坐标.
11.在平面直角坐标系中,A ,B ,C 三点的坐标分别为(0,0),(0,-5),(-2,-2),•以这三点为平行四边形的三个顶点,则第四个顶点不可能在第_______象限.
12.在图5的平面直角坐标系中,请完成下列各题:
(1)写出图中A ,B ,C ,D 各点的坐标;
(2)描出E (1,0),F (-1,3),G (-3,0),H (-1,-3);
(3)顺次连接A ,B ,C ,D 各点,再顺次连接E ,F ,G ,图5
H ,围成的两个封闭图形分别是什么图形?
13.如图,正方形ABCD 以(0,0)为中心,边长为4,求各顶点的坐标.
14.已知等边△ABC 的两个顶点坐标为A (-4,0),B (2,0),求:(1)点C 的坐标;(2)•△ABC 的面积
知识点五:对称点的坐标特征。
关于x 对称的点,横坐标不 ,纵坐标互为 ;关于y 轴对称的点, 坐标不变, 坐标互为相反数;关于原点对称的点,横坐标 ,纵坐标 。
例1. 已知A(-3,5) ,则该点关于x 轴对称的点的坐标为_________;关于y
轴对的点的坐标为____________;关于原点对称的点的坐标为
___________;关于直线x=2对称的点的坐标为____________。
例2将△ABC 的各顶点的横坐标都乘以-1,则所得三角形与△ABC 的关系( )A .关于x 轴对称 B .关于y 轴对称
C .关于原点对称 D .将三角形ABC 向左平移了一个单位
学生自测
1在第一象限到x 轴距离为4,到y 轴距离为7的点的坐标是______________;在第四象限到x 轴距离为5,到y 轴距离为2的点的坐标是______________;
3. 点A(-1,-3)关于x 轴对称点的坐标是 . 关于原点对称的点坐标是 。
4. 若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称, 则.
5.已知:点P 的坐标是(m,-1) ,且点P 关于x 轴对称的点的坐标是(-3,2n ) ,则m= n= ;
6.点P(-1,2) 关于x 轴的对称点的坐标是,关于y 轴的对称点的坐标是 ,关于原点的对称点的坐标是 ;
7.若M(3,m)N(n,m-1)关于原点对称 ,则 m =_____,n =_____;
8.已知mn =0,则点(m ,n )在 ;
9.直角坐标系中,将某一图形的各顶点的横坐标都乘以-1,纵坐标保持不变,得到的图形与原图形关于________轴对称;将某一图形的各顶点的纵坐标都乘以-1,横坐标保持不变,得到的图形与原图形关于________轴对称.
10.点A(-3,4) 关于x 轴对称的点的坐标是 ( )
A.(3,-4) B. (-3, -4) C . (3, 4) D. (-4, -3)
11.点P(-1,2) 关于原点的对称点的坐标是( )
A.(1,-2) B (-1,-2) C (1,2) D. (2,-1)
12.在直角坐标系中,点P(-2,3)关于y 轴对称的点P 1的坐标是( )
A (2,3) B. (2,-3) C. (-2,3) D. (-2,-3)
(b+2)=0,则点M (a ,b )关于y 轴的对称点的坐标为_______. 2
13.若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数,则此点一定在( )
A .原点 B.x 轴上 C.两坐标轴第一、三象限夹角的平分线上
D.两坐标轴第二、四象限夹角的平分线上
知识点六:利用直角坐标系描述实际点的位置。需要根据具体情况建立适当的平面直角坐标系,找出对应点的坐标。
例1、如图是绍兴市行政区域图,若上虞市
区所在地用坐标表示为(1,2) ,诸暨市区所
在地用坐标表示为(-5,那么嵊州市区-2) ,
所在地用坐标可表示为______________.
学生自测:
课间操时,小华、小军、小刚的位置如下图
左,小华对小刚说,如果我的位置用(0,0)
表示,小军的位置用(2,1) 表示,那么你的
位置可以表示成( )
A .(5,4) B .(4,5) C .(3,4) D .(4,3)
11 如上右图,小明从点O 出发,先
向西走40米,再向南走30米到达
点M ,如果点M 的位置用(-40,-
30) 表示,那么(10,20) 表示的位置
是( )A 、点A B 、点B C 、
点C D 、点D
知识点七:平移、旋转的坐标特点。
图形向左平移m 个单位,纵坐标不变,横坐标 m 个单位;图形向右平移m 个单位,纵坐标不变,横坐标 m
个单位;图形向上平移
个单位,横坐标 ,纵坐标增加n 个单位;向下平移n 个单位, 不变, 减小n 个单位。旋转的情形,同学们自己归纳一下。
例1、△ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为A(2,-1) 、B(1,-3) 、C(4,-3.5) .把△A 1B 1C 1向右平移4个单位,再向下平移3个单位,恰好得到△ABC ,试写出△A 1B 1C 1三个顶点的坐标,并在直角坐标系中描出这些点;在平面直角坐标系中,将点M (1,0)向右平移3个单位,得到点M 1,则点M 1的坐标为________.
学生自测
2.矩形ABCD 在坐标系中的位置如图3所示,若矩形的边长
AB 为1,AD 为2,则点A ,B ,C ,D 的坐标依次为________;
把矩形向右平移3个单位,得矩形A 'B 'C 'D ',图3 A ',B ',C ',D '的坐标为________.
3.小华若将平面直角坐标系中一只猫的图案向右平移了3个单位长度,而猫的形状,大小都不变,则她将图案上的各点坐标________.
10..平面直角坐标系中一条线段的两端点坐标分别为(2,1),(4,1),若将此线段向右平移1个单位长度, 则变化后的线段的两个端点的坐标分别为_____;•若将此线段的两个端点的纵坐标不变,••横坐标变为原来的2•倍,••则所得的线段与原线段相比_______;若将此线段的两个端点的横坐标不变,纵坐标分别加上1,•则所得的线段与原线段相比_______;若横坐标不变,纵坐标分别减去3,•则所得的线段与原线段相比_________。
19. 线段CD 是由线段AB 平移得到的,点A (-1,3)的对应点C (2,5),则B (-3,-2)的对应点D 的坐标为 。
4.在平面直角坐标系中,点P (2,1)向左平移3个单位得到的的点在( )
A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
6.将△ABC 的各顶点的横坐标不变,纵坐标分别减去3,连结所得三点组成的三角形是由△ABC ( )
A .向左平移3个单位 B .向右平移3个单位
C .向上平移3个单位 D .向下平移3个单位