周期函数的周期与其导函数的周期
第20卷第3期Vol.20No.3
池
Journal州师专学ofChizhouTeachers报
College
2006年6月
Jun.,2006
周期函数的周期与其导函数的周期
朱晓明
(安徽化工学校,安徽安庆246001)
[摘要]可微分的周期函数与其导函数的周期只有满足一定的条件才能相同。本文给出了它们相同的一个充分条件。[关键词]周期;周期函数;可微函数[中图分类号]O174
[文献标识码]A
[文章编号]1008-7710(2006)03-0010-02
我们知道f(x)=sinx的最小正周为2π,其导函数f(x)=cosx的最小正周期也为2π,然而是否就可能导出:可微分的周期函数其导函数仍为具有相同最小正周期的周期函数呢?
请看下例:例:f(x)=sgnsinx
x≠K∈Z
Z为整数集
可见在定义域内每点可微的函数与其导函数的最小正周期并非总是相同的。
以下给出可微函数与其导函数最小正周期相同的一个充分条件。
引理1任一非常值连续函数,必有最小正周期(见《数学通报》)1959年12期吴品山文,1963年第6期颜怀曾文)。
引理2,对具有最小正周期T的周期函数f(x),若T′也是f(x)的一个正周期,则,T′=KT(K为正整数,见《数学通报》1966年第5期张学元,肖康庄文)。
命题:非常值周期函数f(x)在R上有定义,且在每点存在连续导函数f'(x),则导函数f'(x)也为周期函数。并且f'(x)与f(x)的最小正周期相同。
f(x)的最小正周期为2π,这与它的图像相比也是吻合的:
x
证:可微必连续,由引理1f(x)有最小正周期设为T,即对X∈R有f(x+T)=f(x)求导f(x+T)=f(x)
(1)
可见,f'(x)也是R上的周期函数,又f'(x)连续,由引理
但是:f'(x)=(sgnsinx)′=0x≠
K∈Z
Z为整数集
,与图像相
f(x)的导函数f'(x)=0,它的最小正周期为比也是十分明显的。
y
1,f'(x)必有最小正周期T′由(1)式,T是f'(x)的一个周期,据引理2T=KT′(K为正整数)往证K=1
—莱布
因为f'(x)连续,对于任意Xo∈R,根据牛顿——尼茨公式,
由积分区域的可加性,得:
(2)
实行积分替换t=u+(j-1)T′并由T′是f′(x)的周期得:
(下转第12页)
收稿日期:2006-01-09
作者简介:朱晓明(1958—),男,安徽肥东人,安徽化工学校讲师,主要从事高等数学教学与研究。
ε>0,使
→[E]y]>ε, π−a . e . θ3主要结果及证明
L (x , θ;
→
.
.
,则有,(
定理4.2若
则
证明:若再由引理4.3知,
恒有
OR1,OR1,
,则由引理4.1有
Bn=
引理4.4[4]对
有
.
命题4.1设证明:记Bn=
,则
再由π的平稳性可得,(T-nB),
。所以结论得证!
! 的命题,并对注:命题4.1表明,如果条件是关于θ! 成立,θ则对π-a.e.不再说明。
引理4.1[4]
引理4.2对任何证明:令
! 的命题也成立,,关于Tnθ今后
由马氏性可得
若,则由引理4.4知,
结论得证!
参考文献:
.证完!
定理4.1设y常返,x可达y,则
证明:因x可达y,故L (x , θ; [E]y]>0,π−a . e . θ,由
引理4.1得,使得所以再由引理4.2有
→
[1]Cogburn.R.MarkovChainsinrandomenvironments.ThecaseofMarkovianenvironments[J].Ann.Probab.1980(8).908-916.
[2]Cogburn.R.OndirectconvergenceandperiodicityfortransitionprobabilitiesofMarkovChainsinrandomenviron-ments.[J].Ann.Probab.1980(18):642-654.
[3]Orey.S.MarkovChainswithstochasticallystationarytransitionprobabilities.[J].Ann.Prob.1997(19):907-028.
[4]肖争艳.胡迪鹤.绕积马氏链的状态分类.[J].数学
→
(*)
再由y的常返定义可知从而(*)
引理4.3[4]对(上接第10页)
。综上结论得证!
有,
物理学报.2003,23(3):306-313.
[5]王梓坤.随机过程论.北京:科学出版社.1965.
(责任编辑:潘杨友)
由此可知:T′是f(x)的一个正周期
由引理2,T′MT
(M为正整数)(3)
T′=M(KT′)=MKT′故MK=1,但M、K均为正整数∴M=K=1,由(3),T′=T
再由牛顿———莱布尼茨公式
与f'的最小正周期相同。也即:f(x)(x)
(责任编辑:潘杨友)