"分段函数"的应用案例

“分段函数”的应用案例

开元职校 吴为

在平常数学教学中展示出来的书本世界抽象性太强，与真实的世界有着不少的差距，因此许多不爱数学的学生就常常会把数学与生活剥离开来。事实上，数学与生活是密不可分的。以下是我们生活中常见的几个例子。

案例一：目前杭州市出租车的运价标准为：起步价是前4公里10元，基本单价每公里2元，在运送途中因红灯或乘客原因停车时，累计5分钟以1公里计。太原市出租车的运价标准为：日间起程价前4公里7元，基本单价每公里1元；夜间起程价前4公里7.8元，基本单价1.2元／公里；停车等待计费标准为累计5分钟以1公里计。

案例二：近年来，由于用电紧张，用电成本增加，为使居民节约用电，浙江省2004年8月1日抄见电量开始执行新的居民生活用电价格。一户一表居民用户实施阶梯式累进电价：月用电量低于50千瓦时（含50千瓦时）部分不调整；月用电量在50千瓦时—200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.03元；月用电量超过200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.10元。执行峰谷电价的居民用户以总电量与阶梯基数比对进行计算。居民合表用户和学校等集体用户的电价每千瓦时上调0.02元。双月抄表的一户一表居民用户的阶梯基数电量按标准月度基数电量乘二执行。对于调价当月抄表计算的双月抄表居民用户，本次抄见电量的一半按原电价计算，另一半按照调整后新电价计算，阶梯基数电量执行标准月度基数电量。

案例三：《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分全月应纳税款按下述标准分段累计：不超过500元的部分税率为5%；超过500元至2000元的部分税率为10%；超过2000元至5000元的部分税率为15%；超过5000元至20000元的部分税率为20%；超过20000元至40000元的部分税率为25%；超过40000元至60000元的部分税率为30%；超过60000元至80000元的部分税率为35%；超过80000元至100000元的部分税率为40%；超过100000元的部分税率为45%。

在实际生活中，与上述三个案例类似的例子不胜枚举，它与学生们的生活悉悉相关，其中体现出的分类讨论的数学思想方法在数学学习中经常遇到。在分析上述三个例子中，我们常用到分段函数这一数学知识，虽然在职高数学教材中并没有专门哪一节详细讲述分段函数的内容，但由于这一知识点在生活中的常见性，同时为帮助学生更好掌握分类讨论的数学思想方法，笔者进行了“分段函数的应用”的教学设计。

由于案例是从生活中来，所以教学主要以学生进行开放式讨论为主，在自主讨论与老

师引导相结合的情形下，逐步把所学知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。

开始进行案例讨论，也就意味着教师向学生提出问题，并给学生一定的时间去思考。一般地说，我们要提的问题一类是引导性问题，一类是非引导性问题。典型的引导性问题的提问方式是：“你认为对于这个案例，我们下一步应该做些什么? ”典型的非引导性问题的提问方式是：“对于这个案例，你想说些什么。”或者“这个案例交给你了，你先来谈谈自己的看法。”在案例中所反映出的问题如果对学生来说过于复杂，教师就要准备对学生多予以引导；如果不是太复杂，就要更多地督促学生进行多种多样的参与。

对案例中的问题讨论后，学生至少会有两种或更多的备选方案出现，在认真讨论最重要的或最适宜的方案的优越性前，就越需要削减掉其中的一些不适宜的方案。有时有些方案或方法听上去很动听，是一个很好的主意，但可能不太切合实际，成功的可能性较小。这时，教师可以和学生一起一个一个地进行讨论，对备选方案进行更认真、更深入的讨论，引导学生充分调动所学知识，并结合生活实际，写出每种方案的优点与缺点，然后进行对比分析，最后在此基础上确定出一个最佳的方案。

这种做法，意味着会淘汰某些同学所提出的一些方案或方法，这时，教师要注意保护学生的讨论积极性，要避免自己或其他学生有可能说出的有伤自尊的话，尽量把学生的注意力集中到问题的讨论上，让成功的学生找到自信，让失败的学生在讨论中反思自己的方法，从中获得提高。

在案例教学中，让学生通过讨论案例当中涉及到的各种各样问题，也就逐渐学会了如何去分析问题，遇到类似的情境或问题该如何对待，从哪些方面着手，同时也就掌握了如何对自己的所学进行反思。这正是我们数学教学的最终目的。

附：“分段函数的应用”教学设计一份。

分段函数的应用

教学目标：（1）使学生掌握分段函数的表达式；

（2）学会运用分类讨论的数学思想方法.

教学重点：分段函数的在实际问题中的应用.

教学难点：分类讨论思想的应用.

教学手段：案例教学法，开放式教学，讨论法

教学过程：

一、案例引入：

近年来，由于用电紧张，用电成本增加，为使居民节约用电，浙江省2004年8月1日抄见电量开始执行新的居民生活用电价格。一户一表居民用户实施阶梯式累进电价：月用电量低于50千瓦时（含50千瓦时）部分不调整；月用电量在50千瓦时—200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.03元；月用电量超过200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.10元。执行峰谷电价的居民用户以总电量与阶梯基数比对进行计算。居民合表用户和学校等集体用户的电价每千瓦时上调0.02元。双月抄表的一户一表居民用户的阶梯基数电量按标准月度基数电量乘二执行。对于调价当月抄表计算的双月抄表居民用户，本次抄见电量的一半按原电价计算，另一半按照调整后新电价计算，阶梯基数电量执行标准月度基数电量。

另：未安装峰谷电的用户价格为每度0.53元；安装峰谷电的用户计价方法为：从早上8时至晚上10时为峰电，价格为每度0.56元，从晚上10时至次日早上8时为谷电，价格为每度0.28元。

附：“千瓦时”是一电量单位，即我们平时常说的“度”。

二、案例讨论：

1．讨论：

（1）假设你是一位普通用户，你最关心的是什么？

（2）上述案例中指出了多少种不同的用户？

（3）根据实际生活经验，我们要讨论的重点是哪一类或哪几类用户？

2．计算：

（1）若甲用户未安装峰谷电，单月抄表，某月抄见总电量为150度，按规定他应缴纳

多少电费？

150×0.53＋（150－50）×0.03＝82.5元

（2）若乙用户已安装峰谷电，单月抄表，某月抄见总电量为285度，其中峰电150度，

谷电135度，按规定他应缴纳多少电费？

150×0.56＋135×0.28＋（200－50）×0.03＋（285－200）×0.10＝134.8元

（3）若丙用户已安装峰谷电，双月抄表，某月抄见总电量为360度，其中峰电160度，

谷电200度，按规定他应缴纳多少电费？

160×0.56＋200×0.28＋（360－100）×0.03＝153.4元

3．计算公式归纳：

如果你是一名电力局的工作人员，你如何向甲、乙、丙三种用户解释新的收费标准，你能否告诉他们每次缴纳费用与抄见电量之间的一个通用的计算公式？（允许学生有多种不同的表达方法，最后让学生讨论出最佳方案。）

（1）对于甲用户：设他某月抄见电量为x 度，应缴纳电缆费为y 元，则

⎧0.53x

⎪y =⎨0.53x +(x -50) ⨯0.03

⎪0.53x +(200-50) ⨯0.03+(x -200) ⨯0.10⎩x ∈[0,50]x ∈(50,200] ① x ∈(200,+∞)

（2）对于乙用户：设他某月抄见电量为x 度，其中谷电量为y （0≤y ≤x ）度，应缴纳电缆费为z 元，则

⎧0.56(x -y ) +0.28y

⎪z =⎨0.56(x -y ) +0.28y +(x -50) ⨯0.03

⎪0.56(x -y ) +0.28y +(200-50) ⨯0.03+(x -200) ⨯0.10⎩x ∈[0,50]x ∈(50,200]② x ∈(200,+∞)

（3）对于丙用户：设他某次抄见电量为x 度，其中谷电量为y （0≤y ≤x ）度，应缴纳电缆费为z 元，则

⎧0.56(x -y ) +0.28y

⎪z =⎨0.56(x -y ) +0.28y +(x -100) ⨯0.03

⎪0.56(x -y ) +0.28y +(400-100) ⨯0.03+(x -400) ⨯0.10⎩x ∈[0,50]x ∈(50,200]③ x ∈(200,+∞)

4．比较：

由②③易知，乙、丙两用户在缴纳费用标准上是一致的，以下我们仅以甲、乙两用户作为比较对象。请问，这两用户在费用缴纳上，哪个更划算？

假设两用户抄见电量相同，均为x 度。由①②知，两用户在缴纳费用新标准下，上涨的费用是相同的。所以要比较两用户的费用，只需比较0.53x 与0.56（x －y ）＋0.28y 的大小，则应讨论谷电量y 在总电量x 中所占百分比的多少。

当0.53x

时，甲用户比较划算； y x 328，即谷电量占总电量百分比小于11%

当0.53x ＝0.56（x －y ）＋0.28y 时，即谷电量占总电量百分比约等于11%时，两用户缴纳费用相等；

当0.53x >0.56（x －y ）＋0.28y 时，即谷电量占总电量百分比大于11%时，乙用户比较划算；

5．回归：

有人说：“按照现在的算法，峰电和谷电的上涨幅度是一样的，超过200度部分，峰电从0.56涨到0.66看起来还好，可是谷电从0.28涨到0.38上涨幅度大得惊人。我做了一个计算： 若一家总用电500度，以峰电250度，谷电250度计，那么没有涨价前总费用210元，上涨34.5元，总计244.5元，上涨16.43％。若以峰电200度，谷电300度计（这是大部分人家家里的模式，前提是晚上睡得很晚，或早上起的很早），那么没有涨价前总费用196元，上涨34.5元，总计230.5元，上涨17.60％。如果不用峰谷电上涨前总费用265，上涨34.5元，总计299.5元，上涨13.02％。可见谷电用得越多，上涨幅度越大，也就是说通过上涨以后，原来峰谷电的优势越来越小。更何况这还不算上安装峰谷电的初装费100元。”

对以上说法你有何看法？（可以有不同看法，但须讲出自己的理由。没有讨论出的结果可以留待课后继续讨论。）

三、案例小结：

对上述案例的讨论中，我们运用分段函数的形式表述了不同阶段的用电费用情况。

（1）在实际生活中，涉及不同阶段不同结果的情形下，通常都可用分段函数来解释；

（2）在分析问题中，用到分类讨论法时，应注意分类标准的唯一性以及分类的完备性。

四、案例扩展：

（1）《中华人民共和国个人得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部

分不必纳税，超过800元的部分全月应纳税款按下述标准分段累计：不超过500元的部分税率为5%；超过500元至2000元的部分税率为10%；超过2000元至5000元的部分税率为15%；超过5000元至20000元的部分税率为20%；超过20000元至40000元的部分税率为25%；超过40000元至60000元的部分税率为30%；超过60000元至80000元的部分税率为35%；超过80000元至100000元的部分税率为

40%；超过100000元的部分税率为45%。某人一月应缴纳税款26.78元，则他当月工资、薪金所得为多少。

（2）在实际生活中，运用到分段函数的例子很多，请从自己身边找出一个这样的例子，

并讨论其结果。

五、后记：

分类讨论的思想方法是一种重要的数学方法，在解决实际问题中是一个常用的有效方法。在分段函数这一知识点中，分类讨论方法的应用尤其常见。本节教案通过一个阶梯电价的例子，让学生展开讨论，在讨论中自觉运用学过的知识对案例进行分析、比较，并得出结论，在课堂中对学生的提问要以引导为主，突出学生的主体性，让学生开放的思考。让学生在解决实际问题的同时，进一步巩固所学的数学知识和数学思想方法。