单调性奇偶性

§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）

1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性； 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

2729

引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

复习1：观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化规律：

① 随x的增大，y的值有什么变化？ ② 能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？

复习2：画出函数f(x)x2、f(x)x2的图象.

小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务：单调性相关概念

思考：根据f(x)x2、f(x)x2(x0)的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎样变化？当x1>x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系怎样？

问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.

新知：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.

反思：

① 图象如何表示单调增、单调减？

② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？

③ 函数f(x)x2的单调递增区间是，单调递减区间是

.

试试：如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.

※ 典型例题

例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.

1

（1）f(x)3x2； （2）f(x).

x

k

变式：指出ykxb、y(k0)的单调性.

x

k

例2 物理学中的玻意耳定律p（k为正常数），

V

告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.

小结：

① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号；

② 证明函数单调性的步骤：

第一步：设x1、x2∈给定区间，且x1

※ 动手试试 练1.求证f(x)x

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数f(x)x22x的单调增区间是（ ） A. (,1] B. [1,) C. R D.不存在 2. 如果函数f(x)kxb在R上单调递减，则（ ） A. k0 B. k0 C. b0 D. b0 3. 在区间(,0)上为增函数的是（ ）

2

A．y2x B．y

x

C．y|x| D．yx2 4. 函数yx31的单调性是. 5. 函数f(x)|x2|的单调递增区间是

1. 讨论f(x)

1

的单调性并证明. xa

1

的(0,1)上是减函数，在[1,)x

是增函数.

练2. 指出下列函数的单调区间及单调性. （1）f(x)|x|； （2）f(x)x3.

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 增函数、减函数、单调区间的定义；

2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）. 3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.

※ 知识拓展

a

函数f(x)x(a

0)的增区间有

)、

x

(,

，减区间有

、[ .

2. 讨论f(x)ax2bxc(a0)的单调性并证明.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

2

例1一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h130t5t2，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？

变式：经过多少秒后炮弹落地？

试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？

小结： 数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值. 3

例2求在区间[3，6]上的最大值和最小值. yx2

3x

变式：求y,x[3,6]的最大值和最小值. x2

小结： 先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值. 试试：函数y(x1)22,x[0,1]的最小值为最大值为 . 如果是x[2,1]呢？ ※ 动手试试

练1.

用多种方法求函数y2x.

变式

：求yx.

练2. 一个星级旅馆有

150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：

欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 函数最大（小）值定义；.

2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.

※ 知识拓展

求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求f(x)x2ax在区间[m,n]上的值域，则先求

aaamn

得对称轴x，再分m、m、

2222

mnaa

n、n等四种情况,由图象观察得解. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数f(x)2xx2的最大值是（ ）. A. －1 B. 0 C. 1

D. 2 2. 函数y|x1|2的最小值是（ ）. A. 0 B. －1 C. 2

D. 3 3. 函数yx ）.

A. 0 B. 2 C. 4 D. 4. 已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且在区间(,0)上，当x1时，f(x)有最小值3，则在区间(0,)上，当x 时，f(x)有最 值为 . 5. 函数yx21,x[1,2]的最大值为

最小值为 . 1. 作出函数yx22x3的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小值．

1x0；0x3 ； （1） （2）（3）x(,).

2. 如图，把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，

面积为y，试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

4

§1.3.2 奇偶性

1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；

2. 学会判断函数的奇偶性；

3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

3336

复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.

1

（1）f(x)x21； （2）f(x)

x

复习2：对于f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝x3、f(x)＝x4，分别比较f(x)与f(－x).

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务：奇函数、偶函数的概念

思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：

1

（1）f(x)x、f(x)；

x

（2）f(x)x2、f(x)|x|.

观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？

新知：一般地，对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)叫偶函数（even function）.

试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义.

反思：

① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？

② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.

1

试试：已知函数f(x)2

x

在y轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.

※ 典型例题

例1 判别下列函数的奇偶性：

（1）f(

x) （2）f(x)

1

（3）f(

x)3x45x2； （4）f(x)3.

x

小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算f(x)，并与f(x)进行比较.

试试：判别下列函数的奇偶性：

1

（1）f(x)＝|x＋1|+|x－1|； （2）f(x)＝x＋；

x

x

（3）f(x)＝； （4）f(x)

＝x2, x∈[-2,3]. 2

1x

6

变式：y＝|x2－2x－3| 的图象如何作？

1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、

奇偶性）；

2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；

3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

反思：

如何由f(x)的图象，得到f(|x|)、|f(x)|的图象？

2736

复习1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、

增函数、减函数、最大值、最小值？

例2已知f(x)是奇函数，在(0,)是增函数，判

断f(x)在(,0)上的单调性，并进行证明.

复习2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函

数、减函数、最大值、最小值的定义？

反思：

奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？ 二、新课导学 （偶函数在关于原点对称的区间上单调性 ；※ 典型例题 奇函数在关于原点对称的区间上单调性 ） 例1 作出函数y＝x2－2|x|－3的图象，指出单调区

例3某产品单价是120元，可销售80万件. 市场调间及单调性.

查后发现规律为降价x元后可多销售2x万件，写出

销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当降价多 少元时，销售金额最大？最大是多少？ 小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决小结：利用偶函数性质，先作y轴右边，再对称作. 有关最大值和最大值问题

§1.3 函数的基本性质（练习）

8

第一章 集合与函数的概念（复习）

1. 理解集合有关概念和性质，掌握集合的交、并、补等三种运算的，会利用几何直观性研究问题，如数轴分析、Venn图；

2. 深刻理解函数的有关概念，理解对应法则、图象等有关性质，掌握函数的单调性和奇偶性的判定方法和步骤，并会运用解决实际问题.

245 复习1：集合部分.

① 概念：一组对象的全体形成一个集合 ② 特征：确定性、互异性、无序性

③ 表示：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P} ④ 关系：∈、、、、= ⑤ 运算：A∩B、A∪B、CUA

⑥ 性质：AA； A，…. ⑦ 方法：数轴分析、Venn图示.

复习2：函数部分.

① 三要素：定义域、值域、对应法则；

② 单调性：f(x)定义域内某区间D，x1,x2D， x1x2时，f(x1)f(x2)，则f(x)的D上递增； x1x2时，f(x1)f(x2)，则f(x)的D上递减.

③ 最大（小）值求法：配方法、图象法、单调法. ④ 奇偶性：对f(x)定义域内任意x， f(x)f(x)  奇函数； f(x)f(x)  偶函数.

特点：定义域关于原点对称，图象关于y轴对称.

二、新课导学 ※ 典型例题

例1设集合A{x|x2axa2190}， B{x|x25x60}，C{x|x22x80}. （1）若AB=AB，求a的值；

（2）若AB，且AC=，求a的值； （3）若AB=AC，求a的值.

例2 已知函数f(x)是偶函数，且x0时，

1x

. f(x)

1x

（1）求f(5)的值； （2）求f(x)0时x的值； （3）当x>0时，求f(x)的解析式．

1x2

例3 设函数f(x)．

1x2

（1）求它的定义域； （2）判断它的奇偶性；

1

（3）求证：f()f(x)；

x

（4）求证：f(x)在[1,)上递增.

10