高考数学常考知识点系统归纳

高考数学常考知识点系统归纳

选择题与填空题

（1）、复数小结：

1、（福建省泉州一中2014届高三上学期期中考试）已知i 为虚数单位, 则复数

2-i

在复平面上所对应的点1+i

在( )

A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 2、（福建省仙游一中2014届高三上学期期中考试）若复数(1+bi )(2+i ) 是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = （ ）

A 、2 B、-2 C、

11

D、- 答案：A 22

3、已知复数z 满足(2-i ) z =5(i 为虚数单位）则z =

A ．5

B ． 3

C ．2

D ．1

（2）、集合小结：

1、（福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中）已知全集U =R ，集合

M ={x |x 2-x =0},N ={x |x =2n +1, n ∈Z }，则M N 为（ ）

A．{0} B．{1} C．{0，1} D．φ 答案：B

2、（福建省东山第二中学2014届高三上学期期中）集合M ={x |lg x >0},N ={x |x ≤4},则M ( )

A . (1,2) B . [1,2) C . (1,2] D . [1,2] 答案：C 3、（福建省莆田四中2014届高三上学期期中考试）若集合A =x y =2x ，集合B =x y =

2

N =

{}

{

x , 则

}

A ⋂B =( )

A. (0, +∞) B. (1, +∞) C. [0, +∞) D. (-∞, +∞) 答案：C

4．若集合A=｛x|（x-1）（x-2）> 0｝，B=｛x|

x -1(x-1)(x-2)

，C=｛x|2，则（ ） ≥0｝≥1｝

x -2

（A ）A =B =C （B ）A ⊂B ⊂C （C ）A ⊆B ⊂C （D ）A ⊂B =C

（3）、简易逻辑小结：

1

A B ． a >1, b >1是ab >1的充要条件

x

C D ． 命题∀x ∈R ,2

>x 2的否定是真命题 答案：D

a b

2、（福建省四地六校2014届高三12月第三次月考）“2>2”是“log 2a >log 2b ”的（ ）

A ．充分不必要条件 B ．既不充分也不必要条件

C ．充要条件 D. 必要不充分条件 答案：D

3、（福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中）“α=2k π+β, k ∈Z ”是“sin α=sin β”的（ ）

A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 4、（福建省俊民中学、梧桐中学2014届高三上学期期中联考）已知向量a =(m , 4), b =(1,1)，则“m =-2”是“a//b”的（ ）

A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件

C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A

2

5、（福建省龙岩一中2014届高三上学期第三次月考）“关于x 的不等式x -2ax +a >0的解集为R ”是

“0≤a ≤1”的（ ）

A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A

2

6、（福建省莆田四中2014届高三上学期期中考试）已知直线l 1:x +(a -2) y -2=0, l 2:(a -2) x +ay -1=0，则“a =-1”是 “l 1⊥l 2的（ ） A ．充分不必要条件

C．充要条件

B ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件 答案：A

→

→

7、（福建省厦门一中2014届高三上学期期中考试）已知向量a =(x -1, 2) ，b =(2, 1) ，则“x >0”是“a 与b 夹角为锐角”的（ ）

A ．必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C ．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．下列四个命题中

①“k =1”是“函数y =cos 2kx -sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；

②“a =3”是“直线ax +2y +3a =0与直线3x +(a -1) y =a -7相互垂直”的充要条件；

2

+4x ③ 函数y =的最小值为2， 其中假命题的为2

x +3

（4）、二项式定理小结：

1n

) 展开式中第32项与第72项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数为 x 52525251

（A ）C 104 （B ）C 103 （C ）C 102 （D ）C 102

12n

2. (x -) 展开式中，常数项是

x

n n n -1n +1n +1n

（A ）(-1) n C 2C 2n （D ）C 2n n （B ）(-1) C 2n （C ）(-1)

1. 若(x +

（5）定积分小结：

1、（福建省安溪八中2014届高三12月月考）

⎰

2

-2

4-x 2dx = ▲▲▲ . 答案：2π

a

2、（福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中）如图，已知幂函数y =x 的图象过点

8P (2,4) ，则图中阴影部分的面积等于 答案：

3

3、（福建省东山第二中学2014届高三上学期期中）计算：答案：

ò

2

-1

x dx =

5 2

4、（福建省南安一中2014届高三上学期期中考试）由曲线y =

x , y =x 2所围成图形的面积是_______

16

展开式x

5、（福建省福州八中2014届高三毕业班第一次质检）设m ＝⎛π(sin t ＋cos t) dt ，则二项式(mx －中含x 2项的系数为 ，各项系数之和为

⎠0

（6）、等差、等比数列定义、性质小结：

1. 在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为（ ） A ．4 B ．3 C ． 2 D ．8 2、（福建省龙岩一中2014届高三上学期第三次月考）在等差数列{a n }中前n 项和为S n ，且

S 2011=-2011, a

1007

=，则1a 2012的值为（ ）

A ．1007 B．2012 C．1006 D ．2011 答案：D 3、（福建省厦门一中2014届高三上学期期中考试）设数列{a n }的前

n 项和为S n ，若

a 1=1, a n +1=3S n (n ∈N *) ，则S 6=

4

A. 4

564⋅(4-1) B. C.

1

3

5

D. ⋅(4-1)

13

答案：B

4．若等比数列{a n }的前n 项和为S n =32n +1+a ，则常数a 的值等于

（7）、不等式、线线规划小结： 1、（福建省清流一中2014届高三上学期期中考试）若a , b , c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是 （ ）

11a b 22

>2A ．b D ．a c >b c 答案：B

a b c +1c +1

2

2. 直线x +a y +1=0与直线(a 2+1) x -by +3=0互相垂直，若a,b>0，则ab 的最小值是 （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）5 3. 函数y =log a (x -1) +1(a >0，且a ≠1) 的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y =mx +n 的图象上，

12

+的最小值为 m n

⎧2x -y -1≥0⎪

4．已知实数x 、y 满足⎨x -3y +2≤0，则目标函数z =2x +y 的最大值为（ ）

⎪3x +y -14≤0⎩

其中mn >0，则

A ．12 B ．11 C ．10 5. （福建省莆田一中2014届高三上学期期中考试）

D ．3

⎧2x -y ≤0⎪

已知变量x , y 满足⎨x -2y +3≥0, 则z =log 2(x +y +1) 的最大值是．

⎪x ≥0⎩

⎧x -1≤0⎪

6. 已知实数x 、y 满足：⎨x -y +1≥0，则z =x 2+y 2的最小值是

⎪x +y -1≥0⎩

⎧x ≤0⎪

7、 若A 为不等式组⎨y ≥0表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x +y =a 扫过A

⎪y -x ≤2⎩

中的那部分区域的面积为 ( ) A ．

3 4

B ．1 C ．

7 4

D ．5

⎧x +y ≥1⎪

8、（福建省莆田四中2014届高三上学期期中考试）已知x 、y 满足约束条件⎨x -y ≥-1，若目标函数

⎪2x -y ≤2⎩

34

+的最小值为 .答案：7 a b

x -1

9、（福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中）已知函数f (x ) =a +3(a >0, 且a ¹1) 的图象

14

过一个定点P ，且点P 在直线mx +ny -1=0(m >0, n >0) 上，则的最小值+

m n z =ax +by (a >0, b >0) 的最大值为7, 则

是 。答案：25

（8）、平面向量小结： 1. 若|a |=1,|b |=2, c =a +b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为

（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°

2、（福建省四地六校2014届高三12月第三次月考）已知、是非零向量且满足

（－2⊥－2⊥则∆ABC 的形状是（ ）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 答案：D

3. 在∆ABC 中, AH ⊥BC 于H , M 为AH 的中点，若AM =λAB +μAC , 则λ+μ= ．

4、（福建省厦门一中2014届高三上学期期中考试）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =

1112

a +b D．a +b 答案：B 2433

5、（福建省莆田一中2014届高三上学期期中考试）已知O 为坐标原点，直线y =x +a 与圆x 2+y 2=4分别交

A ．

B．

C ．

于A , B 两点．若OA ⋅OB

11

a +b 4221

a +b 33

=-2，则实数a 的值为（ ）

A ．1 B ．2 C ．±1 D ．±2 答案：D

．eg 68、设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过其焦点的直线交于A 、B 两点，则OA ⋅OB 等于. 7、（福建省龙岩一中2014届高三上学期第三次月考）函数y=tan（

πx π

-）（0

→

→

→

A 为图像与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图像交于C 、B 两点，则 (OB +OC ) ∙OA =（ ） A ．―8 B ．―4 C ．4

D ．8 答案：D

（9）、三角函数与解三角形小结：

ππα∈(0,，cos β=β

∈(0,) ，则sin(α-β) ． 22

π⎫7π

⎫⎛⎛

2、（福建省南安一中2014届高三上）已知cos α-

⎪+sin α=，则sin α+⎪的值是( )

6⎭6⎭⎝⎝

44A ．．- D． 答案：

C

5 5

3、（福建省泉州一中2014届高三上学期期中考试）在∆ABC 中, ∠A =60, AB =2, 且∆ABC

,

则BC 的长为 . 2

4．函数y =cos x +3cos

x +2的最小值为

1. 已知sin α=

5. 把函数y =cos x x 的图像沿x 轴向左或向右平移m (m >0) 个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．

π

6

B ．

2π5ππ

C ． D ．

363

6、（福建省莆田一中2014届高三上学期期中考试）函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ) （其中A ＞0，如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图象，则只需将f (x ) 的图象（ ）

π2

）的图象

ππ

个长度单位 B. 向右平移个长度单位 63ππ

C. 向左平移个长度单位 D. 向左平移个长度单位 答案：A

63

A. 向右平移

7、（福建省俊民中学、梧桐中学2014届高三上学期期中联考）给出下列四

个命题：

（1）函数y =sin (k π+x ), (k ∈Z )是奇函数； （2）函数y =sin 2x +

⎪的图象由y =sin 2x 的图象向左平移个单位得到；

33⎭

πk π

（3）函数y =sin(2x +) 的对称轴是x =(k ∈Z ) ；

22

2

（4）函数y =(sin x +cos x )+cos 2x 的最大值为3．

⎛⎝

π⎫π

其中正确命题的序号是__________（把你认为正确的命题序号都填上）． 答案：(1) (3)

（10）三视图、点线面位置关系小结

1. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为（ ）

2. 设某几何体的则该几何体的体

三视图如下积为

m 3

3. 已知直线m,n

α, β满足m ⊥n , m ⊥a , α⊥β, 则( )

和

平

面

A . n ⊥β B . n //β, 或n ⊂β C . n ⊥α D . n //α, 或n ⊂α

4. 已知m , n 是两条不同直线，α, β, γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）

A ．若α⊥γ, β⊥γ, 则α‖β B ．若m ⊥α, n ⊥α, 则m ‖n C ．若m ‖α, n ‖α, 则m ‖n D ．若m ‖α, m ‖β, 则α‖β

（11）、函数的图像与性质：

1、（福建省龙岩一中2014届高三上学期第三次月考）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）

A. y =-x 3 B. y =sin x

C.

D. 答案：A

2、（福建省清流一中2014届高三上学期期中考试）四个函数y =

x 3

x

y =e 中，是奇函数且在(0, +∞) 上单调递增的函数的个数是 （ ）

A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案：D 3、（福建省福州市第八中学2014届高三第二次质检）下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞) 上单调递增的是

A ．y =x 3

B ．y =cos x

C

答案：D

4、（福建省长乐二中等五校2014届高三上期中） ）

A ．9 B．

．-9 答案：C

5、（福建省安溪八中2014届高三12a >b ≥0，若

6、（福建省安溪八中, 且它的图像关于直线

f (a ) =f (b ) ，则b ⋅f (a

) 的取值范围是 ▲▲▲ . 答案：[2)

x=1对称, A D ．-1.5 答案：C 7、2014, f (x +3) =f (x ) . 当0≤x ≤1时有f (x ) =3x , 则f (8.5)等于（ A . 0.5 B. -0.5 C . 1.5 D . -1.5 答案：D

B ．1.5

答案：B

9、（福建省厦门一中2014届高三上学期期中考试）函数f (

x ) =x -2sin x 的图象大致是

答案：C

⎧⎪a (a ≤b )10、（福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中）定义运算a ⊕b =⎨，则函数f

(x )=1⊕2x 的

⎪⎩b (a >b )

图象是（ ）

答案：A

11、（福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中）（ ）． A ．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) DA

12、（福建省俊民中学、梧桐中学2014间是（ ）

A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 答案：C 13

、（福建省东山第二中学2014届高三上学期期中）函数f (x ) =3ax +1-

2a 在区间(-1,1) 上存在零点，则a

A . B . D . a

+2) =

f (x )

x ∈[0,1]时，f (x ) =x 2。若在区间[-1,3]内，g (x ) =f (x ) +mx +m 有且

A

15、（福建省泉州一中2014 C . 方程f (x ) =m 有三个不等实根x 1、x 2、x 3，则x 1+x 2+x 316. （福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中） 的大小关系是（ ）。

a , b , c

1、（福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中）曲线y =x 3-x +3在点(1, 1) 处的切线方程为 ___________________答案：2x -y -1=0

32

2、（福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中）已知函数f (x ) =x -ax -3x 在区间[1,+∞) 上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．答案：(-∞, 0]

3、（福建省福州市第八中学2014届高三第二次质检）已知函数

1

f (x ) =x 3+ax 2-2x 在区间(-1, +∞) 上

3

1 2

有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 . 答案：a

4、（福建省四地六校2014届高三12月第三次月考）已知函数f (x ) =sin x -x , x ∈R ，则f (-

π

4

) 、f (1) 、

f () 的大小关系（ ）

3

A ．f () >f (-

π

ππ

3

) >f (1) B ． f (-) >f (1) >f ()

344

ππ

C ．f (1) >f () >f (-

ππ

3

) D ．f () >f (1) >f (-) 答案：B

344

ππ

5、（福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中）设函数F (x ) =的导函数f '(x ) 满足f '(x )

f (x )

是定义在R 上的函数，其中f (x ) e x

f (0) B．f (2)e 2012f (0)

22012

C ．f (2)e 2f (0),f (2012)

A ．f (2)>e f (0),f (2012)>e

6、（福建省清流一中2014届高三上学期期中考试）已知y =f (x ) 为R 上的可导函数，当x ≠0时，

22012

f '(x ) +

f (x ) 1

>0，则关于x 的函数g (x ) =f (x ) +的零点的个数为（ ） x x

A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 答案：A

（13）、圆锥曲线小结：

1．若P （2，– 1）为圆(x -1) 2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是____________。 2. 设曲线y =ax 在点(1,a ) 处的切线与直线2x -y -6=0平行，则a = ( ) 2

11

C、- D、-1 22

3. 已知两直线方程分别为l 1:2x -y -1=0、l 2:ax +y +2=0，若l 1⊥l 2，则a=

A 、1 B、

4. 过点P (0, 1) 与圆x 2+y 2-2x -3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（ ） A ．x =0 B ．y =1 C ．x +y -1=0 D ．x -y +1=0．

5. 设P 为圆x +y =1的动点，则点P 到直线3x -4y -10=0的距离的最小值为 6、（福建省四地六校2014届高三12月第三次月考）过抛物线y 2=4x的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）

A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 答案：B

2

2

x 2y 2

-=1的一个焦点在圆7、（福建省四地六校2014届高三12月第三次月考）已知双曲线

9m

x 2+y 2-4x -5=0上, 则双曲线的渐近线方程为（ ）

x D

．y =x 答案：D 8、（福建省莆田四中2014届高三上学期期中考试）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B , 如果

直线FB 与该双曲线的一条渐近垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）

答案：D

x 222

9、（福建省莆田一中2014届高三上学期期中考试）

已知抛物线x =的准线过双曲线2-y =-1的一个

m

A ．y =±

B ．y =±

C

．y =焦点，则双曲线的离心率为( )

3x 44x 3

答案：C

2

10、（福建省莆田一中2014届高三上学期期中考试）过抛物线y =4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点O 是坐标原点，若|AF |=5，则△AOB 的面积为（ ）

5317

A ．5 B ． C ． D ． 答案：B

228

x 2y 2

11. 椭圆2+2=1（a >b >0）的半焦距为c ，若直线y =2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆

a b

的离心率为（ ）

（A

（B

（C

1 （D

1

x 2y 2

12、（福建省四地六校2014届高三12月第三次月考）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0)的两条渐近线

a b

2

与抛物线y =2px (p >0)的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, ∆

AOB

则p =_________. 答案：2

13、（福建省莆田四中2014届高三上学期期中考试）设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上, 且∠CBA =

若AB =

4, BC =则Γ的两个焦点之间的距离为_______.

第三部分:解答题

一、三角函数

题型1：解三角形综合应用

1、 在∆ABC 中，A , B 为锐角，角A , B , C 所对应的边分别为a , b , c ，且

π. 4

3（I ）求A +B 的值；（II ）若a -b =2-1，求a , b , c 的值。

52、已知A 、B 、C 为锐角∆ABC 的三个内角，向量m =(2-2sin A ,cos A +sin A ) , sin A = cos 2A =，

（Ⅰ）求A 的大小； n =(1+sin A ,cos A -sin A ) 且m ⊥n ．

2π2

-2B ) 取最大值时，∠ B 的大小 （Ⅱ）求y =2sin B +cos(3

72A +B -cos 2C = 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c. 已知：4sin

22

且a+b=5，c=. （1）求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积．

4、∆ABC 中，a , b , c 分别是∠A , ∠B , ∠C 的对边，且2a cos A =b cos C +c cos B （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）若a =7，∆ABC 的面积为3，求b +c 的值. 题型2：三角函数图像性质综合应用 1、已知函数f(x)=4sin

2(

π

+x)--1(x∈R) （1）求f (x ) 的最小正周期、最大值及最小值；（2

）求4

f(x)的图像的对称轴和对称中心。 2、 若m =

ωx ,0，n =(cos ωx , -sin ωx )，ω>0，在函数f (x )=m ⋅m +n +t 的图象中，对称中心

)

()

⎡π⎤

，且当x ∈⎢0, ⎥时，f (x )的最大值为1. 4⎣3⎦

（Ⅰ）求函数f (x )

的解析式；

到对称轴的最小距离为

（Ⅱ）该函数的图象可由y=sinx（x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

3、已知向量m =(1,cos ωx ), n =sin ωx ，函数f (x ) =m ⋅n 的图像上一个最高点的坐标为

与之相邻的一个最低点的坐标

π

(⎛π⎫

，2⎪，⎝12⎭

⎛7π⎫

的解析式. （2）在△ABC 中，a 、b 、c 是角，-2⎪. （1）求f (x ）

⎝12⎭

A 、B 、C 所对的边，且满足 a 2+c 2-b 2=ac ，求角B 的大小以及f (A ) 的取值范围.

ππ

) +sin(2x -) +cos 2x +a (a ∈R , a 为常数). （I ）求函数的最小正周期；（II ）66

π

求函数的单调递减区间；（III ）若x ∈[0, ]时, f (x ) 的最小值为-2, 求a 的值.

2

4、已知函数f (x ) =sin(2x +

题型3：三角函数化简、求值、恒等变换

1、（1） tan10tan20＋（tan10＋tan20）= ；（2）-sin 20 化简得。

14sin α-cos α

，（1）求的值；（2）若cot (β-α)=3，求β的值。 23sin α+5cos α

sin 2x +2sin 2x π1

3、 已知-

251-tan x

21θ

4、设=(cosα，sin α) ，=(cosβ, sin β) （1）若a -b =(-, ) ，θ为与的夹角，求cos 。

233

2、已知tan (π+α) ＝

（2）若与夹角为60，那么t 为何值时|-t |的值最小？

o

5、已知O 为坐标原点，A (2，0)，B (0，2)，C (cos α，sin α)且α

∈(0，π)。 （1）若O A +O B =

O B 与OC 的夹角；（2）若A C ⊥B C ，求tan α的值。

解题反思：

。

二、立体几何

立体几何的基本题型有：

1、 证明平行和垂直：其核心是线面的垂直与平行；证明线段相等； 2、求角和距离：其核心是线面角和二面角的平面角与点到平面的距3、解题方法有公理法和向量法两套体系，尤其在探索性问题中，向的优越性。

4、问题的载体多数情况下以三棱柱、三棱锥、四棱柱、 四棱锥、五棱柱、五棱锥为主。 1、如图，直三棱柱ABC -A 、1B 1C 1，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1

点，DE ⊥ 平面BBC 1。（Ⅰ）证明：AB =AC ；（Ⅱ）设二面

A 1C 1

B 1

D

离，求体积；

量法有明显

E A

C

B 1C 的中

角

A -BD -C 为60，求B 1C 与平面BCD 所成角的大小。

P

B

Q

A

D

B

C

2、在立体图形P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ，Q 是PC 中点．（1）求证：PA||平面BDQ （2）求二面角B －QD －C 的大小．（3）求A 到平面PCD 的距离。

3、如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中

C E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧 面 A ACC 1且

AA 1=A1B 1＝a B (1)求证：BE ＝ EB 1；(2)求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角) 的度数。（3）求多面体E-A 1B 1C 1C 的体积。 4、 正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，

对角面A 1B 1CD 所成角为 30，证：此四棱柱为正方体。 (2)求二面A 1-B 1D 1-C 的大. 5、如图，在五面体

ABCDEF 中，AB ∥DC ，

E

C 1

B 1

D A 1

C 1

A 1

A 1B 与(1)求小。

E

B 1

F

C

D

2

CD =AD =2，四边形A B

为平行四边形，FA ⊥平面

ABCD

，FC =3, ED =（1）直线AB 到平面EFCD 离；（2）求二面角 F -AD -E 的平面角的正切值．

∠BAD =

π

，

B

A

ABFE

的距

C

D

6、 矩形ABCD ，AB ＝2，AD ＝3，沿BD 把ΔBCD 折起，使C 点在平面

ABD 上的射影恰好落在AD 上.(1)求证：CD ⊥AB (2)求CD 与平面ABD 所成角的余弦值。

7、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AB//CD，AB ⊥AD ，AD=CD=2AB=2．侧面∆PAD 为

正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）若M 为PC 上一动点，则M ∆PBC 的在何位置时，PC ⊥平面MDB ？并加以证明．（Ⅱ）若G 为

重心，求二面角G —BD —C 大小 解题反思：

。 三、概率与统计

题型1：用等可能事件，互斥事件，相互独立事件知识解决的概率问题，具体背景有取球、取产品、选人

等背景，充分运用排列组合知识解决问题。

1、教室内有6名学生，分别佩戴1号到6号的校徽，任选3个学生记录他们的校徽号码。

（1）求最小号码为4的概率；（2）求3个号码中至多有一个偶数的概率；（3）求3个号码之和ξ的分布列和期望。

2、某校欲从两个素质拓展小组中选拔4个同学参加冬令营活动。已知甲组中有实力相当的1个女生和3个男生，乙组中有实力相当的2个女生和4个男生，现从甲乙两个小组内各任选2个同学。求：（1）求选出的4个同学都是男生的概率；（2）求选出的4个同学中恰有1个女生的概率；（3）设ξ为选出的的4人中女生的人数，求ξ的分布列和期望。

3、一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品. （1）求这箱产品被用户接收的概率； （2）记抽检的产品件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

题型2：知道某几个事件发生或不发生的概率，按照要求延伸出其它的关联事件（比如射击射中后又中奖）的综合问题，通常用η=a ξ+b 的相关性来解决。

1、从“神七”飞船带回的某种植物种子由于在太空中被辐射，我们把它们称作“太空种子”. 这种 “太空种子”成功发芽的概率为31，发生基因突变的概率为，种子发芽与发生基因突变是两个相互独立事件. 43

科学家在实验室对太空种子进行培育，从中选出优良品种. （I ）这种太空种子中的某一粒种子既发芽又发生基因突变的概率是多少？（II ）四粒这种太空种子中既发芽又发生基因突变的种子数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列和数学期望E ξ

2、 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为1，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券42

张.(Ⅰ) 设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；

(Ⅱ) 设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（元），用ξ表示η，并求η的数学期望.

3、“甲型H1N1流感”已经扩散，威胁着人类．某两个大国的研究所A 、B ，若独立地研究“甲型H1N1流感”疫苗，研制成功的概率分别为

时至少有一个研制成功的概率提高了50%.又疫苗研制成功可获得经济效益a 万元, 而资源共享时所得的经济效益只能两个研究所平均分配. 请你给A 研究所参谋:是否应该采用与B 研究所合作的方式来研究疫苗, 并说明理由.

题型3:与独立重复试验有关的概率计算和二项分布，几何分布的问题。其特点是多个个体各做同一件事一次或者一个个体做同一件事多次，这种情景多数情况下与独立重复试验有关（比如：一人射击多次，很多人买同一只股票等，反复掷骰子多次）。注意这类问题中若求期望、方差时，要注意二项分布、几何分布的期望方差公式的直接使用。

1、现代的体育比赛日趋商业化，就篮球比赛而言，总决赛是商家最好的商业机会。一般来说，进入总决赛的两个队在实力上基本相当，总决赛采用七局四胜制。如果第四场就决出胜负，商家可以赚得120万元的利润，如果第五场决出胜负，商家可以赚得150万元的利润，

如果第六场决出胜负，商家可以赚得200万元的利润，如果第7场才决出胜负，商家可以赚得300万元的利润。（1）求该次总决赛中，商家获取利润的均值；（2）如果在前两次的比赛中，由于甲队的两名主力队员受伤缺阵，使得乙队连胜两场，此时对商家来说是有利还是不利，请用概率的知识加以解释。

2、将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处, 小球将自由下落. 小球在下落过程中, 将3次遇到黑色障碍物, 最后落入A 袋或B 袋中. 已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右11和；若资源共享，则提高了效率，即他们研制成功的概率比独立地研究34

1。（Ⅰ）求小球落入A 袋中的概率P (A ) ; （Ⅱ）2

处依次放入4个小球, 记ξ为落入A 袋中小球的个数, 试求ξ=3的概

学期望E ξ. 两边下落的概率都是

题型4：概率问题与其它知识的联系。

1、 已知关于x 的一元二次函数（f x ) =ax -4bx +1，(1)设集合2在容器入口率和ξ的数

P ={1,2,3}和集合

（1）Q ={-1,1,2,3,4}, 分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b, 求函数

⎧x +y -8≤0⎪（2）设点(a , b )是区域⎨x >0内的随机点，求函数y =f (x ) 在区间[1, +∞)上是增函数的概率；

⎪y >0⎩

y =f (x ) 在区间[1, +∞)上是增函数的概率；

2、设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2+bx +c =0实根的个数（重根按一个计）．（1）求方程x 2+bx +c =0有实根的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望；（3）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2+bx +c =0有实根的概率。

解题反思： 。

四、函数与导数

题型1：求单调区间和某区间上单调的问题

(1) 用⎨⎧定义域⎧定义域⇒递增区间; 用⎨⇒递减区间 'x ）'x ）>0

(2)f (x ) 在(a , b )上单调, 则转化为恒成立问题或者区间包含关系问题;

(3) f (x ) 单调区间是(a , b ), 则转化为(a , b ) 与(1)中求出的单调区间相等问题.

1. 已知函数f （x ）=x 2−a ln x 在（1，2]是增函数，g （x ）=x −a x 在（0，1）为减函数．

（Ⅰ）求f （x ）、g （x ）的表达式；（Ⅱ）当b >−1时，若f (x ) ≥2bx -

b 的取值范围．

2、已知函数f (x ) =kx 3-3(k +1) x 2-2k 2+4，若f (x ) 的单调减区间为(0,4) . （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）对任意的t ∈[-1,1]，关于x 的方程2x 2+5x +a =f (t ) 总有实根，求实数a 的取值范围. 3、已知a >0，函数f (x ) =x 3-ax ，在x ∈[1, +∞) 是一个单调函数。

（1）试问y =f (x ) 在x ∈[1, +∞) 能否是单调递减函数？说明理由。

（2）若f (x ) 在[1, +∞) 上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。

224、已知函数f (x ) =ln x -a x +ax (a ∈R ) ．（1）当a =1时，证明函数f (x ) 只有一个零点；（2）若函数1在x ∈（0，1] 内恒成立，求2x

f (x ) 在区间(1, +∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．

题型2：求函数的极值和最值

=0; ②列表说明x , f '(x ), （f x ) 的变化情 (1)不含参数的极值和最值:按照教材中的步骤:①解方程f '(x ）

况; ③求出极值; ④比较极值和区间端点函数值后求出最值.

(2)含有参数的极值和最值问题:注意分类讨论思想的应用, 类比二次函数动轴定区间和定轴动区间上的最值问题, 对这类问题的解答有较大帮助.

（3）运用极值和最值证明不等式或者确定同一区间上两个函数图象的高低问题.

(4)恒成立问题通常也转化为心函数的最值问题, 最重要的方法是分离变量法.

1、已知函数f (x ) =ln x ，g (x ) =12x +a （a 为常数），直线l 与函数f (x ) 、g (x ) 的图像都相切，且l 2

与函数f (x ) 图像的切点的横坐标为1. （Ⅰ）求直线l 的方程和a 的值；

2（Ⅱ）求函数y =f (1+x ) -g (x ) 的最大值.

2x 2、 已知f (x ) =(x -a ) e （I ）若a ＝3，求f (x ) 的单调区间和极值；（II ）已知x 1, x 2是f (x ) 的两个不

同的极值点，且|x 1+x 2|≥|x 1x 2|，若3f (a )

3、 已知函数f (x ) =332a -3a +b 恒成立，求实数b 的取值范围． 2ln x -1（1）试判断函数f (x ) 的单调性；（2）设m >0，求f (x ) 在[m , 2m ]上的最x

1+n e 1+n )

4、已知函数f (x ) =e x -ax (a ∈R ) . （Ⅰ）当x ∈(0,1)时，讨论函数f (x ) 的单调性； 大值；（3）试证明：对∀n ∈N *，不等式ln(

（Ⅱ）当a =e 时，求证：e 11111+++++23n -1n >n +1(n ∈N +)

五、数列

解决数列问题的方法解决数列问题的常用方法请同学们参看复习材料《数列通项公式的求法》，这里就不再赘述。

1（n ≥2，n ∈N +）， a n -1

31（Ⅰ）若a 1=，数列{b n }满足b n =（n ∈N +），求证数列{b n }是等差数列； 5a n -1

3（Ⅱ）若a 1=，求数列{a n }中的最大项与最小项，并说明理由； 5

2、 已知数列{a n }满足a n =2⋅a n -1+2n -1(n ≥2), 且a 4=81. （Ⅰ）求数列的前三项 1、已知数列{a n }中，a n =2-

a 1，a 2，a 3；（Ⅱ）求证：数列｛a n -1｝为等差数列； （Ⅲ）求数列{a }的前n 项和S . n n n 2

3、已知数列{2n -1⋅a n }的前n 项和S n =9-6n ． (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；

(2)设b n =n ⋅(3-log 2

4、已知已知点P n (a n , a n 1) ，求数列｛｝的前n 项和． 3

b n 1)(n ∈N *) 在曲线f (x ) =, 且a 1=1, a n >0. a n +1 （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）数列{b n }的首项b 1=1，前n 项和为T n ，且

T n +1T n 2=+16n -8n -3，求数列{b n }的通项公式b n 。 22a n a n +1

解题反思：

六．直线与圆锥曲线

题型1：直线与圆锥曲线第1问常常涉及求曲线方程问题, 该问题要求每位同学都能熟练的运用三类圆锥曲

线的性质用待定系数法求解, 其次还涉及定义法和代入法。

题型2：直线与圆锥曲线第2问，常涉及“一条直线交一个圈”的问题，最重要的方法就是

“设而不求”。在解决问题的过程中常用的方法是夹角向量化，向量坐标化，直线方程的形式多数情况下是点斜式，常常以k,b 为参数研究具体的问题；求参数范围时，一定要考虑所给的曲线的范围；中点弦问题用点差法，对称问题用既垂直又平分处理。

x 2y 2

1、设椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F 1(-2,0) ，左准线l 1与x 轴交于点N (-3,0) ，过点N 且倾斜a b 角为30的直线l 交椭圆于A,B 两点。（1）求直线l 和椭圆的方程，(2)求证：点F 1(-2,0) 在以线段AB 为直径的园上。

22、在抛物线y =ax -2x -1上总存在关于直线x +y =0对称的两点，求a 的取值范围。 3、已知抛物线C ：y 2=4x与动直线l ：y=k（x+1）交于A 、B 两点，O 为原点。

（1）求证：⋅是定值； （2）求满足=+的点M 的轨迹方程。

x 2y 224、已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的离心率e =，直线L 过A （a ，0）、 3a b

B （0，－b ）两点，原点O 到L 的距离是2. （Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若⋅=-23，求直线m 的方程。

。

8. ①②③

10.

11. (0,1】

40. (1,2)

58．

65.

88. 答案 （100，125］

89. 由条件知, 公比 满足 ,且 ,当 时, ;

当 时, .于是 的取值范围是 .

104. ①②③④