导数.复数

第十二讲 导数及其应用和数系的扩充与复数

导数及其应用（1）

一、考试要求

二、考点回顾 1、 2、

函数f (x ) 在区间[x 1, x 2]上的平均变化率为（导数的背景：切线的斜率、瞬时速度、边际成本）

定义：设函数y =f (x ) 在区间(a , b )上有定义，x 0∈(a , b ), 当∆x 无限趋近于0时比值

∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)

无限趋近于一个常数A ，则称f (x ) 在点x =x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x ) 在点x =x 0处的=

∆x ∆x

导数，记作f '(x 0) ．

注：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）导数f '(x 0) 的几何意义就是曲线y =f (x )

（x 0, f (x 0) ）在点处的切线的斜率．

3、

若f (x ) 对于区间(a , b )内的任一点都可导，则f (x ) 在各点的导数也随着自变量x 的函数，该函数称为f (x ) 的导函数，

记作f '(x ) ．

①v (t ) =s '(t ) 表示瞬时速度；a (t ) =v '(t ) 表示瞬时加速度；②在经济学中，生产x 件产品的成本称为成本函数，记为C （x ）；出售x 件产品的收益称为收益函数，记为R （x ）；R （x ）—C （x ）称为利润函数，记为P （x ）；相应地C '（x ）, R '（x ）, P (x )

分别称为边际成本函数、边际收益函数和边际利润函数．C （x ）在x =a 处的与导数C '(a ) 称为生产规模为a 时的边际成本值；③f '(x ) 与f '(x 0) 是不同的概念：f '(x 0) 是一个常数，f '(x ) 是一个函数；f '(x 0) 是f '(x ) 在x =x 0处的函数值 4、

基本初等函数求导公式

α

'=α为常数） 幂函数：（x ）

指数函数：(a ) '=（a >0，且a ≠1） 特例：(e ) '=x

x

'=对数函数：(loga x ) '=a >0，且a ≠1） 特例：（ln x ）

正弦函数：(sinx ) '= 余弦函数：(cosx ) '=

导数及其应用（2）

一、考试要求

（1）导数与函数的单调性：若f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；若f '(x )

（2）利用导数求函数单调区间的步骤：①求f '(x ) ；②求方程f '(x ) =0的根，设为x 1, x 2, x n ；③x 1, x 2, x n 将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断f '(x ) 的符号，由此确定每一子区间的单调性．

（3）求函数y =f (x ) 在某个区间上的极值的步骤：（i ）求导数f '(x ) ；（ii ）求方程f '(x ) =0的根x 0；（iii ）检查f '(x ) 在方程

f '(x ) =0的根x 0的左右的符号：”左正右负”⇔f (x ) 在x 0处取极大值；”左负右正”⇔f (x ) 在x 0处取极小值．

特别提醒：①x 0是极值点的充要条件是x 0点两侧导数异号，而不仅是f '(x 0)＝0，f '(x 0)＝0是x 0为极值点的必要而不充分条件．②给出函数极大(小) 值的条件，一定要既考虑f '(x 0) =0，又要考虑检验”左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！

（4）求函数y =f (x ) 在[a , b ]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y =f (x ) 在（a , b ）内的极值；②将y =f (x ) 的各极值与f (a ) ，f (b ) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

特别注意：①利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要注意列表！②要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值) ，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题．

（5）导数的三大应用：

①求斜率：在曲线的某点有切线，则求导后把横坐标代进去，则为其切线的斜率； ②有关极值：就是某处有极值，则把它代入其导数，则为0；

③单调性的判断： f '(x ) >0，f (x ) 单调递增；f '(x )

数系的扩充与复数

一. 复数的定义 1. 复数的定义：形如复数集，用字母C 表示。 说明

（1）虚数单位：（1）它的平方等于－1，即有加、乘运算律仍然成立。

（2）与－1的关系： 就是－1的一个平方根，即方程x 2＝－1的一个根，方程x 2＝－1的另一个根是－。 （3）的周期性：

4n ＋1

的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做

；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原

＝i ，

4n ＋2

＝－1，

4n ＋3

＝－i ，

4n

＝1。

，把复数表示成a ＋bi 的形式，叫做复

（4）复数的代数形式： 复数通常用字母z 表示，即数的代数形式。

（5）复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数

，当且仅当b ＝0时，复数a ＋bi （a 、b

∈R ）是实数a ；当b ≠0时，复数z ＝a ＋bi 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，z ＝bi 叫做纯虚数；当且仅当a ＝b ＝0时，z 就是实数0。

（6）复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 。 （7）两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a ＋bi ＝c ＋di a ＝c ，b ＝d 。

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小。只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。 二. 复数的四则运算

1. 复数z 1与z 2的加法法则：z 1＋z 2＝（a ＋bi ）＋（c ＋di ）＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i 。 复数的加法运算满足交换律： z 1＋z 2＝z 2＋z 1。

复数的加法运算满足结合律： （z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）。

2. 复数z 1与z 2的减法法则：z 1－z 2＝（a ＋bi ）－（c ＋di ）＝（a －c ）＋（b －d ）i 。 3. 乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di （a 、b 、c 、d ∈R ）是任意两个复数，那么它们的积（a ＋bi ）（c ＋di ）＝（ac －bd ）＋（bc ＋ad ）i 。

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 乘法运算律：

（1）z 1（z 2z 3）＝（z 1z 2）z 3 （2）z 1（z 2＋z 3）＝z 1z 2＋z 1z 3 （3）z 1（z 2＋z 3）＝z 1z 2＋z 1z 3 4. 复数除法定义：满足（c ＋di ）（x ＋yi ）＝（a ＋bi ）的复数x ＋yi （x ，y ∈R ）叫复数a ＋bi 除以复数c ＋di 的商，记为：（a ＋bi ）（c ＋di ）或者三. 复数的几何意义 复平面、实轴、虚轴：

点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋bi （a 、b ∈R ）可用点Z （a ，b ）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0）， 它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数

复平面内的点

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义。也是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。