培优试卷一
解析几何(一)
x 2y 21. 如图,椭圆C 1的焦点在x 轴上,左、右顶点分别为A 1、A ,上顶点为B . 抛物a 2
线C 1、C 2分别以A 、B 为焦点,其顶点均为坐标原点O ,C 1与C 2相交于直线y 2x 上一点P . (1)求椭圆C 及抛物线C 1、C 2的方程;
(2)若动直线l 与直线OP 垂直,且与椭圆C 交于不同两点M 、N ,已知点Q (2,0) , 求QM ·QN 的最小值.
2. 如图,已知定点F (-1,0) 、N (1,0),以线段FN 为对角线作周长是42的平行四边形MNEF .
平面上的动点G 满足|GO |=2(O 为坐标原点) .
(1)求点E 、M 所在曲线C 1的方程及动点G 的轨迹C 2的方程;
(2)已知过点F 的直线l 交曲线C 1于点P 、Q ,交轨迹C 2于点A 、B ,若|AB |∈(23,求△NPQ 内切圆半径的取值范围.
解析几何(一)答案
题一解:(1)由题意得,A (a, 0) ,B (02) ,
故抛物线C 1的方程可设为y 2=4ax ,抛物线C 2的方程为x 2=2y .
⎧由⎨x =4y
⎩y =2x . 2y 2=4ax , 得a =4,P (8,82) ,
x 2y 2所以椭圆C :1, 162
抛物线C 1:y 2=16x ,抛物线C 2:x 2=42y .
(2)由(1)知,直线OP 2,
所以直线l 的斜率为-22
x +b , 2可设直线l 的方程为y =-
⎧
由⎨2y =-x +b . ⎩2x 2y 2+1,162 消去y ,整理得5x 2-2bx +(8b 2-16) =0.
因为动直线l 与椭圆C 交于不同两点,
所以Δ=128b 2-20(8b 2-16)>0.
10
设M (x 1,y 1) ,N (x 2,y 2) ,
8b 2-162b 则x 1+x 2,x 1x 2, 55
22212b 2b -8y 1y 2=(-1+b )(x 2+b ) =x 1x 2-x +x ) +b =2222125
因为QM =(x 12,y 1) ,QN =(x 2+2,y 2) ,
9b 2+16b -14所以QM ·. QN =(x 1,y 1)(x 2+,y 2) =x 1x 2+x 1+x 2) +y 1y 2+2=5
10
8981681438所以当b =-时,QM ·取得最小值,其最小值等于×(2+×(--QN 9595959
题二解:(1)因为四边形EFMN 为平行四边形,周长是42,
所以E 到点F 、N 的距离之和是2,|NF |=2, 由椭圆的定义知,曲线C 1为椭圆.a 2,c =1,b =1.
x 22故椭圆C 1的方程为+y =1.(3分) 2
由|GO |=2知,动点G 的轨迹为以坐标原点O 为圆心、2为半径的圆,其方程为x 2+y 2=4.(5分)
(2)当l ⊥x 轴时,令x =-1代入x 2+y 2=4得y =3,
所以|AB |=3 ∉(23,15) .
所以直线l 不垂直于x 轴.(6分)
设直线l 的方程为y =k (x +1) .
圆C 2的圆心(0,0)到直线l 的距离d =
|k | 1+k 4-21+k 3+. 1+k 由圆的几何性质得,|AB |=2r -d =1由|AB |∈(23,15) 解得k 2>分) 3
y =k (x +1)⎧⎪2联立方程组⎨x 2y =1⎪⎩2
12消去x 得(2+y 2--1=0. k k
设P (x 1,y 1) ,Q (x 2,y 2) ,△NPQ 内切圆半径为R ,
2k 则y 1+y 2= 11+2k 2+k k 2
y 1y 2=-(9分) 11+2k 2+k 1
11∵|NF |·|y 1-y 2|=·R ·(|PN |+|PQ |+|QN |). 22
其中,|NF |=2,|PN |+|PQ |+|QN |=42,
所以R =2|y -y |.(11分) 412
2k 而|y 1-y 2|=(y 1+y 2)-4y 1y 22()+1+2k 1+2k 2[1].(12分) (1+2k )1116因为k 21-分) 3(1+2k )25
1221另外,显然有1-
21所以,△NPQ 内切圆半径的取值范围为() .(14分) 52