数形结合论文
目 录
摘 要 ............................................................ 1
Abstract .......................................................... 1
第1章 前言 ....................................................... 2
第2章 数形结合思想的应用 ......................................... 2
2.1 基本概念 .................................................... 2
2.2 基本方法 .................................................... 2
2.2.1 数形结合思想在函数中的应用 .............................. 2
2.2.2 数形结合思想在解析几何问题中的应用 . ...................... 6
2.2.3 数形结合思想在三角函数中的应用........................... 8
2.2.4 数形结合思想在某些代数式中的应用 . ........................ 8
2.2.5 数形结合思想在立体几何中的应用.......................... 10
2.2.6 数形结合思想在线性规划中的应用.......................... 12
结 论 ......................................................... 13
参考文献 ......................................................... 13
致 谢 ......................................................... 14
数形结合在中学数学教学中的应用
刘虎
数学与信息学院 数学与应用数学 2009级 指导老师:苏海军
摘 要:中学数学中有几个重要的数学思想,其中数形结合思想在中学数学解题过程当中尤为重要。利用数形结合思想解题时,不仅能够轻松解决中学数学中较为难的题,更是在另一层面上锻炼了学生的思维能力。学生如果能够很好的运用数形结合思想解题,那么就会慢慢喜欢上数学这一门课程。本文就数形结合思想在中学数学解题的相关运用作一定归纳。
关键词:数形结合;数学思想;图形的运用
The number shape union thought
in middle school mathematics application
Liu hu
College of Mathematics and Information
Mathematics and Applied Mathematics, Grade 2009
Instructor: Su haijun
Abstract :In the high school mathematics has several important mathematical ideas, including the number shape union thought in the actual application process is particularly important. By using the number shape union thought thinking, not only can solve the problem easily, but on another level to train the students' thinking ability. If the student can use the number shape union thought problem solving, then slowly like this mathematics course. The number shape union thought in middle school mathematics problem solving related with certain induction.
Keywords :the number shape union; mathematical thinking; graphic application (把底纹阴影去掉!)
第1章 前言
数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考,是抽象思维与形象思维结合的一种数学思想方法,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而达到优化解题途径的目的。数形结合是一种重要的教学思想方法。在数学教学中, 它主要表现在把抽象的数量关系转化为适当的几何图形, 从图形的直观特征发现数量之间存在的联系, 以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的, 使问题简捷地得以解决。而函数在中学数学教学中占了很主要部分, 学好函数对于学好数学也就至关重要了。数形结合思想是培养和发展学生的空间观念和数感,进行形象思维与抽象思维的交叉运用,使多种思维互相促进、和谐发展的主要形式。重视应用数形结合思想进行教学,有助于培养学生灵活运用知识的能力,现行中小学数学教材十分重视数形结合思想的应用。在高考复习中,如果教师适当地渗透数形结合的思想,就可极大地提高学生理解问题、分析问题和解决问题的能力,提高学生数学思维能力的深度和广度,从而提高复习效率。事实上,在许多数学问题的分析技巧中巧妙运用数形结合的数学思想方法,可以起到事半功倍的效果。下面将通过几个典型的例题进行分析。
第2章 数形结合思想的应用
2.1基本概念
数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化解决数学问题的思想. 它包含“以形助数”和“以数助形”两方面,其应用大致可分为两种情形:一是借助形的生动和直观性阐明数与数之间的联系,即以形作为手段,以数作为目的;二是借助数的精确性和规范严密性阐明形的某些属性,即以数作为手段,以形作为目的。
2.2基本方法
2.2.1数形结合思想在函数中的应用
例1:已知函数f (x ) =3x 2+a , g (x ) =2ax +1(a ∈R )
(I ) 证明: 方程f (x ) =g (x ) 恒有两个不相等的实数根;
(II )若函数f (x ) 在(0, 2) 上无零点,请你探究函数y =g (x ) 在(0,2)上的单调性; (III )设F (x ) =f (x ) -g (x ) ,若对任意的x ∈(0,1),恒有-1
解析: (I ) 该问题的证明比较简单, 同学们通常会有以下两个基本思路:
(1) 考虑函数方程F (x ) =f (x ) -g (x ) =3x 2-2ax +a -1=0的判别式
34a 2-12(a -1) =4(a -) 2+3>0恒成立即可; 2
(2)考虑二次函数F (x ) =f (x ) -g (x ) =3x 2-2ax +a -1=0开口向上, 且a a 2131F () =-+a -1=-(a -) 2-
(II ) 该问题首先是二次函数零点问题,由此求出参数a 的范围,然后就可以解决函数y =g (x ) 在(0,2)上的单调性问题了.零点问题的解决有两个基本思路:正面与反面.
正面: 即直接考虑函数f (x ) 在(0,2)上无零点的情况, 该情况可以分下列两方面.(1)f (x ) 在R 上无零点,当然就满足在(0,2)上无零点,此时,参数a >0;
(2) f (x ) 在R 上有零点,但不在(0,2)上,此时,参数a ≤0, 而且零点为x =±-a a a , 所以-=0或-≥2,解得a =0或a ≤-12.由(1)(2)得a ≥0333
或a ≤-12.
反面: 即先考虑函数f (x ) 在(0,2)上有零点的参数a 的范围, 然后再求出在(0,2)上无零点参数a 的范围.因为f (x ) 在(0,2)上有零点, 故参数a ≤0, 而且零点为x =±-a a , 所以0在(0,2)上无零点时a ≥0 或a ≤-12.在得到了参数a 的范围后, 函数y =g (x ) 在(0,2)上的单调性就比较容易求了.当a ≥0 时,如图1 所示,函数y =g (x ) 在(0,2)上单调递增;
11当a ≤-12 时,如图2 所示,函数y =g (x ) 在(0, -a ) 单调递减,在(-a , 2) 单22
调递增.
(III ) 解决本小题非常重要的一点是理解题中条件“对任意的x ∈(0,1),恒有-1
a 用函数F(x)的对称轴x =与区间(0,1)的位置关系分类讨论解决. 3
a (1)如图3,当≤0时,F(x)在(0,1)递增,所以需要 3
⎧F (
0) =a -1, a 无解; ⎨F (1) =2-a , ⎩
(2)如图4,当⎧F (
0) =a -1≤1, a a 无解; ≥1时,F (x ) 在(0,1)递减,所以需⎨3⎩F (1) =2-a ≥-1,
(3)如图5,当0
⎧⎪F (0) =a -1≤1, ⎪⎪得1≤a
≤2 ⎨F (1) =2-a ≤1,
⎪2a a ⎪F () =-+a -1>-1⎪3⎩3
综上(1)(2)(3)得1≤a ≤2.
评注:通过上面这一例题,充分说明了在解决有关函数的图像问题的时候,联系到其图形,会给我们带来很大的效益,首先理解了图像的意思,带着图像去思考和解决问题。所谓数缺形时少直观,行缺数时难入微!由此数形结合思想,在很大程度上给我们的理解与思考带来了方便。
例2:方程log 2(x +2) =-x 的实数解有( )
(A ) 0个 (B )1个
(C ) 2个 (D )3个 解:令y 1=log 2(x +2), y 2=-x 。在同一坐标系中,分别画出这两个函数图像。 如图6所示,两个函数图像只有一个交点,所以方程只有一个解,故选 B
图6
评注:本题中的方程属于超越方程,没有其直接解法。利用数形结合可从图象上观察到两函数图象的交点个数,从而推出方程解的个数。关键是较准确地作出函数图象。
以上两个简单的例子,充分展现了数形结合思想在函数中的应用,通过对函数图像的研究,不断提取图像中有用的信息,然后运用到实际的解题过程当中,方便了我们对问题的探讨途径。
2.2.2 数形结合思想在解析几何问题中的应用
解析几何问题往往综合许多知识点, 在知识网络的交汇处命题, 备受出题者的青睐, 求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来, 达到研究解决问题的目的.
例3:如果实数x , y 满足等式x 2+y 2-4x +1=0,那么y 的最大值为_______。
x
图7
分析:初看此题, 形式上是一道代数题, 站在代数的角度看, 令人茫然无措,
y 对关系式x 2+y 2-4x +1=0化为, 很自然地与圆的方程联系起来, 而恰为点x
(x , y ) 与原点连线的斜率,这便把问题与 ! 结合起来. 问题相当于如下的几何问题:动点P (x , y ) , 在圆C 上运动, 求直线OP 的斜率的最大值. 观察图形易得:当P 在第一象限, 并且OP 与圆C 相切时,OP 的斜率最大时,
PC ⊥OP , ∴tan ∠POC =PC
OP =3
2-() 22=, 即OP 的斜率的最大值为3。
x 2y 2
例4:已知椭圆C :+=1,确定m 的取值范围,使C 上有不同的两点A 、B 23
关于直线L :y =4x +m 对称
解:设A (x 1, y 1) ,B (x 2, y 2) ,AB 中点M
2222(x 0, y 0) x y x y 则有 1+1=1(1) 2+2=1(2) 2323
(1)-(2)得 11y 1-y 2y 0+⋅⋅=0 23x 1-x 2x 0
A、B 关于L 对称
∴ K AB =y 1-y 21=-x 1-x 24
∴ y 0=6x 0 图8 于是以-
点。 1为斜率的平行弦中点轨迹是直线y =6x 在椭圆内部的一段,不包括端4
x 2y 2262262+=1联立得两交点A 1(与, ) , B 1(-, -) , y =6x 555523
⎛22⎫⎪-问题转化为L 与线段y =6x x ∈ 5, 5⎪有交点问题。
⎝⎭
由图形知,当L 过A 1点时,m 最大值为
⎛2222⎫⎪∴m ∈ -5, 5⎪
⎝⎭2222,当L 过B 1点时,m 最小值为 -, 55
上例中圆锥曲线上存在两点关于某直线对称求某参数范围问题,已经有许多文章进行了论述。通常都是用函数思想、不等式的思想解决的。即引进新参量,建立函数关系式,转化为函数值域或构造关于参量的不等式,寻求参量的范围。通过教学实践,笔者发现这类问题不仅可以用上述两种思想解决,也可以用数形结合思想解决。
2.2.3数形结合思想在三角函数中的应用
例5:函数f (x ) =sin x +2sin x , x ∈[0, 2π]的图像与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是_______。
分析:根据函数解析式,画出图像,可以直观而简明的得出答案,在有时间限制的高考中就能大大的节约时间,提高考试的效率。
图9
⎧3sin x , x ∈[0, π]解:函数f (x ) =⎨ 由图像可知:1
例6:在锐角∆ABC 中,求证 sin A +
sin B +sin C >cos A +cos B +cos C
图10
证明 作∆ABC 的三条高AD ,BE ,CF (如图9),设 ∠ACF =α, ∠CBF =β, ∠BAD =γ, , 则cos A =sin α, cos B =sin γ
cos C =sin β.
0。
∴sin αcos A +cos B +cos C
2.2.4数形结合思想在某些代数式中的应用
有些代数式最值问题, 直接求解似乎无从下手, 经过变形赋于新的几何意
义, 再运用数形结合法, 便可求得最值。
3-sin x 例7:若x 为实数,求的最大值和最小值。
4-2cos x
图11
分析 把分式3-sin x 看作点A (4,3)与点B (2cos x , sin x ) 的坐标差的比值,4-2cos x
x 2
则原题转化为求斜率k AB 的最值问题。其中A 为定点,B 在椭圆+y 2=1上运动,4
分式的几何意义是椭圆上的动点与定点A 连线的斜率,观察图形容易发现,从定点A 引椭圆的两条切线的斜率即为所求的最大,最小值。
x 2
解: 设A (3, 4), B (2cos x , sin x ) ,则点B 在椭圆+y 2=1上运动,又设过点 4
A 且与椭圆相切的直线为y -3=k (x -4)
带入椭圆方程整理得:
(1+4k 2) x 2+8(3-4k ) kx +4(3-4k 2) -4=0
因为相切
∴∆=64(3-4k ) 2⋅k 2-4(1+4k 2) ⋅[4(3-4k 2) -4]=0 解得:k =1±1 3
113,最小值为1-3 33即所求的最大值为1+
上面例子说明数式问题潜存着图形背景, 而图形间题又能借助数式运算之便另辟捷径, 因此运用辩证观点, 依靠数形结合来转化问题实属一种重要的解题策略。
2.2.5数形结合思想在立体几何中的应用
引立体几何中用坐标的方法研究几何中点、线、面的性质及其相互关系,将抽象的几何问题转化为纯粹的代数计算,用空间向量来解决就是最有力的佐证。在处理立体几何问题时,经常通过翻折或割补来构建新的立体或平面图形,进而转化成新的相对简单的几何问题。通过空间想象,利用数形结合思想处理可达到意想不到的效果。
例8: 在四棱锥P-ABCD 中(如图11),PD ⊥平面ABCD ,∠CDA =∠DAB =90 CD =1, AD =2, AB =4, 且∠APD =30 , M 为PB 的中点
图12
(1)求证PB ⊥平面AMC ;
(2)求直线AM 与平面PAD 所成的角;
(3)求点A 到平面PBC 的距离。
分析:如图12,以DA 为x 轴,以DC 为y 轴,以DP 为z 轴,建立空间直角坐标系,则 D (0, 0, 0), A (2, 0, 0), B (2, 4, 0), C (0, 1, 0) ,由PD ⊥平面ABCD ,AD=2,且∠APD =30 ,得 DP =2,则P (0, 0, 2) ;由M 为PB 的中点得M (1, 2, ) 。
图13
(1)由=(-2, 1, 0), =(-1, 2, ) ,=(2, 4, -2) 得
⋅=0, ⋅=0,所以⊥, ⊥, 即AC ⊥PB , AM ⊥PB , 故PB ⊥平面AMC 。
(2)易知=(0, 1, 0) 是平面PAD 的一个法向量,且=(-1, 2, ) ,设直线AM
与平面PAD 所成角为θ
,则sin θ==22,故直线AM 与平面PAD =21⋅22
所成的角为π。 4
(3)设=(x , y , z ) 是平面PBC 的一个法向量。由=(2, 4, -2) ,=(2, 3, 0)
⎧2x +4y -23z =023n ⋅PB =0, n ⋅CB =0得⎨) ,故点A 到平,取x =1则n =(1, -, -39⎩2x +3y =0
8230 ==5233面PBC
的距离d =
例9:如图13所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点M 是对角线A 1B 上的动点,则AM +MD 1的最小值为______。
图14
分析:本题可以同过建立空间直角坐标来求解,但是计算量非常大. 如果用数形结合思想,将面ABA 1翻折到与面A 1BCD 1组成同一平面( 记翻折后的平面中点A =A ' ) ,则只需在该平面内研究∆A ' A 1D 1,也即求A ' D 1的长,与A 1B 的交点就是点M .利用余弦定理可得
A ' D =A 1D 1+A ' A 1-2A 1D 1⋅A ' A 1cos 135 22
=12+12-2⋅1⋅1⋅(-
=2+2 2) 2
评注:翻折与割补通过“形”的变化,来掌控“数”的变化,对空间想象能力的要求较高,在探究过程中一直体现数形结合思想.
2.2.6数形结合思想在线性规划中的应用
⎧x ≥0, ⎪y ≥0, ⎪例10:(2008年浙江,理17)若a ≥0, b ≥0且当⎨时,恒有ax +by ≤1,则
⎪x +y ≤1
⎪⎩
以a , b 为坐标点P (a , b ) 所形成的平面区域的面积等于_________。
⎧x ≥0, ⎪y ≥0, ⎪ 解:不等式组⎨表示的平面区域为∆AOB ,如图14,0≤y
≤1
⎪x +y ≤1
⎪⎩
图15
由ax +by ≤1恒成立知,当x =0时,by ≤1恒成立,当y =0成立;
当0
形成的平面区域是一个正方形,所以面积为1。
⎧0≤x ≤⎪例11:已知平面直角坐标系xOy 上的区域D
由不等式⎨y ≤2给定,若M (x , y )为D 上
⎪⎩x ≤ M O A ⋅的动点,点A
的坐标为,则Z =O 的最大值为( B ) (2011
年普通高校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科))
A .3 B .4 C .
D .
解:本题是一个线性规划题目,几乎每一年高考中都有所考察,主要是要将给定
的不等式能够转换到具体的线性规划图,要求Z =OM ⋅OA ,即求z =(x , y
解之得z =+
y ,即求函数y =+z 与y 轴的交点.
图16
观察图形可知当直线y =+
z 平移到时,直线与y 轴交点值最大,
即z =2⨯1=4
所以z 最大值为4.
许多代数极值问题,存在着图形背景,借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法,通过图形给问题以几何直观描述,从数形结合中找出问题的逻辑关系,启发思维,难题巧解.在平时要牢记一些几何意义的概念,如复数的模、直线的斜率、导数、圆锥曲线的概念等,这样在解题时才能得心应手.
评注: 线性规划的相关知识要画出图形, 借助图形解答。
结 论
通过上述简单的例子说明了,数形结合思想解题有着你意想不到的作用,问题很快就可以得到解决。可见数形结合思想在中学数学解题中的重要性。如函数的图像,方程的曲线,几何的文氏图或数轴表示等“以形探式”;而解析结合的方程,斜率,距离公式,向量的坐标表示则是“以式论形”。在解题过程中,要善于运用数形结合的思想方法来寻求解题途径,制定解题方案,养成数形结合的习惯,解题先想图,以图助解题,注意理解概念的几何意义和图形的数量表示,导数则更是数形结合的产物,这些都提供了“数形结合”的知识平台,总之,灵活地用好数形结合思想方法,可以有效提升思维品质和数学技能,能起到事半功倍的效果。
参考文献:
[1]徐慧敏. 以形探式-以式论形-例析利用数形结合解决数学问题[J].中学数学研究,2011,
(4):35-37.
[2]陈少春. 数形结合思想在高中数学中的应用[J].数学教学与研究,2011(91):66-67.
[3]陈金寿. 数形结合法在解题中的应用[J].中学数学教学,1999(增刊):70-71.
[4]曾剑华. 浅淡数形结合在函数教学中的应用[J].科技创新导报,2009(14):254.
[5]俞新龙. 例析二次函数问题解决的基本思想—分类讨论和数形结合[J].数学有学,2011
(5):15-17.
[6]齐迪. 数学思想在对数函数中的应用[J].高中数学教与学,2012(1):3-4.
[7]于萍. 中学数学教学中“数形结合”思想的运用[J].考试. 高考数学,21-22.
[8]姚立新. 数形结合的思想方法在解题中的应用[J].教材. 教法. 学法,2005(1):46.
[9]夏敏, 郑迪华. 高考中的数形结合思想[J].中学教研(数学),2012(2):5-8.
致 谢
在论文完成过程中,得到了指导教师苏海军老师的悉心指导和帮助,并在百忙之中对论文进行了全面而细致的审阅,提出了许多修改和建议,她严谨的治学态度、活跃的思维方式以及踏踏实实的工作态度,为我树立了榜样,在此,向她致以深深的敬意,感谢她的严格要求和辛勤付出。
也感谢所有任课老师和所有同学在这四年来给自己的指导和帮助,使我获得了许多有益的启迪,在此向他们深表感谢。并祝所有的老师培养出越来越多的优秀人才,桃李满天下!
不错!!几点小意见!1、目录也不标注页码,摘要页用罗马字母标注页码!
2、论文中引用参考文献的地方要标注出来!