简单的盈亏问题
专题一 简单的盈亏问题
一、基础知识
在我们的日常生活中，会遇到这样的应用题：小朋友分糖果，若每人分4颗则多9颗；若每人分5颗则少6颗，问有多少个小朋友分多少颗糖果？ 这道应用题，是已知两个分配方案，一次分配有余，另一次分配不足，求参加分配的人数及被分配的总量，这类解答分配过程中出现的剩余（盈）或不足（亏）问题的应用题叫做盈亏问题。这里，有剩余简称盈，不足简称亏。这一节里，我们将学习解答盈亏问题的应用题。
解答这类问题通常用比较对应法，弄清楚盈与亏及两种分配方案的差的关系，以此求解。那么，什么叫做比较对应法呢？有些应用题中存在着数量之间的对应关系，根据这种对应关系，可以通过比较已知条件，研究对应数量的关系，找到解题的线索，这种解题的思维方法通常叫做比较对应法。
二、例题选讲
【例1】小朋友们分苹果，如果每人分5个还剩8个，如果每人分7个恰好分完。
同学们，你们能猜一猜有多少个小朋友？有多少个苹果？
【分析与解】列出已知条件： 每人5个，还剩8个；
每人7个，恰好分完。
由题目条件可以知道，小朋友的人数与苹果的个数是不变的。比较两种分配方案，可以清楚的发现，两次分苹果的方式不同，结果也不同，但在变化中也有着对应关系，原来“还剩8个”，现在“恰好分完”我们可以理解为是在第一次每人5个的基础上，把剩下的8个每人再分给2个。这样就可以得到小朋友的人数是4人。
（1）小朋友的人数：8÷（7－5）＝4（人）
（2）苹果的数量：5×4＋8＝28（个）或7×4＝28（个） 答：一共有4个小朋友，28个苹果。
【小结】我们通常把上面题目称之为“盈0”问题，它的基本数量关系是：
人数＝盈÷两次分配差
【例2】三年级同学去植树，如果每人植5棵树苗，恰好种完全部的树苗，如果
每人种7棵树苗，则还差60棵树苗，参加植树的同学有多少人？有多少棵树苗？
【分析与解】列出已知条件： 每人5棵，恰好种完；
每人7棵，还差60棵。
本题的关键是对“还差60棵树苗”的理解，简单的说就是“亏”了60棵，这是一道典型的“亏0”问题。借助刚才分析的“盈0”问题，我们可以得到“还差60棵苗”是因为第二次比第一次每人多种了2棵树苗。因此可以得到参加植树的共有30人。
（1）参加植树的人数：60÷（7－5）＝30（人）
（2）树苗的数量：5×30＝150（棵）或7×30－60＝150（棵） 答：一共有30个同学，150棵树苗。
【小结】我们通常把上面题目称之为“亏0”问题，它的基本数量关系是：
人数＝亏÷两次分配差
【例3】老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分5本，则多了14
本；如果每人分7本，则多了2本。优秀少先队员有几人？买来多少本练习本？
【分析与解】列出已知条件： 每人5本，多了14本；
每人7本，多了2本。
从上面可知第二种分法比第一种分法每人多分了7－5＝2本，这样就从原来的多14本变为多2本，两种分配方法的结果相差了14－2＝12本，每人多分了2本，多少人会多分了12本呢？根据这一对应关系，可求出优秀少先队员的人数为：12÷2＝6（人），练习本的本数为：5×6＋14＝44（本）。
（1）优秀少先队员的人数：（14－2）÷（7－5）＝6（人）
（2）练习本的数量：5×6＋14＝44（本）或7×6＋2＝44（本） 答：一共有6名优秀少先队员，买来44个练习本。
【小结】我们通常把上面题目称之为“双盈”问题，它的基本数量关系是：
人数＝（大盈－小盈）÷两次分配差