欧式信用价差期权的定价
第３８卷第９期同济大学学报（自然科学版）
２０１０年９月
ＪＯＩｍＮＡＩ．ＯＦＨ）ＮＧＪＩ
ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（删ＲＡＬ
Ｖ０１．３８Ｎｏ．９ＳＣＩＤ屺Ｅ）Ｓｅｐ．２０１０
文章编号：０２５３．３７４Ｘ（２０１０）０９．１３９２．０５ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．０２５３・３７４ｘ．２０１０．０９．０２７
欧式信用价差期权的定价
任学敏，边保军
（同济大学数学系，上海２０００９２）
摘要：除了利率风险外，投资者购买企业债券后可能会因企司在债券到期前不违约等．为克服这些缺陷，Ｂｌａｃｋ业破产和经营不善而遭受损失．许多金融机构推出了类似保和Ｃｏｘ［３Ｊ提出首次通过模型．它假定公司资产在存续险的违约互换和信用价差期权为投资者因企业破产和经营期内一旦达到违约边界Ｋｅ吖汀叫’（Ｋ，ｙ为常数，Ｔ不善而遭受的损失提供保护．利用首次通过模型，把信用价为债券到期日，ｔ为到期日前任一时刻）时即违约．差期权看成是公司资产值和短期利率的带障碍的复合期权，Ｌｏｎｇｓｔａｆｆ和ＳｃｈｗａｒｔｚＥ４］引入随机利率，假定违约边用偏微分方程的方法给出显式定价公式并用数值方法分析了其金融意义．
界是常数，这时债券价格不存在显式解，Ｂｒｉｙｓ和ｄｅＶａｒｅｎｎｅ［５］对其作了改进，假定违约边界为ＫＤ（ｔ，关键词：企业债券；信用价差期权；首次通过模型ｒ，Ｔ），Ｄ（ｔ，ｒ，Ｔ）为具有同样到期日的国债零息中图分类号：Ｆ
８３
文献标识码：Ａ
票．约化方法由Ｊａｒｒｏｗ，Ｄｕｆｆｌｅ等［６。７］提出，直接对违约时间给出模型，把违约看成是完全不可预料的．
ＰｒｉｃｉｎｇＥｕｒｏｐｅａｎＳｔｙｌｅＣｒｅｄｉｔＳｐｒｅａｄＯｐｔｉｏｎ
公司债券既有利率风险，也有信用风险．作为管Ｒ剧Ｘｕｅｍｉｎ，ＢＩＡＮｔ蚴ｕｎ
理信用风险的工具，信用衍生物受到市场的欢迎．可（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＴｏｎｇｊｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ
２０００９２，
分为两类，一是违约互换合约，购买者在公司债券违Ｃｈｉｎａ）
约时，其损失部分将由合约出售方偿付；二是信用价差期权，它不对违约进行保护，而对信用等级下降导Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｅｓｉｄｅｓｔｈｅｒｉｓｋｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅ，ｉｎｖｅｓｔｏｔｓｍａｙａｌｓｏ致投资人的损失提供保护．Ｄａｓ［８］利用Ｍｅｒｔｏｎ模型ｓｕｆｆｅｒｅｃｏｎｏｍｉｃｌｏｓｓｅｓｄｕｅｔｏ
ａｎ
ｅｎｔｅｒｐｒｉｓｅ’ｓｂａｎｋｒｕｐｔｃｙａｎｄ
对其进行定价，但模型过于简单．Ｌｏｎｇｓｔａｆｆ和ｉｌｌ—ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅｃｒｅｄｉｔｄｅｆａｕｌｔｓｗａｐａｎｄｃｒｅｄｉｔ
Ｓｃｈｗａｒｔｚｔ９ｊ直接根据公司债券与国债的收益率价差ｓｐｒｅａｄｏｐｔｉｏｎａｒｅ
ｐｕｔｆｏｒｗａｒｄｆｏｒｔｈｅｓａｋｅｏｆｔｈｅｉｎｖｅｓｔｅｒｓ．
Ｂａｓｅｄ
ｏｎ
ｔｈｅｆｉｒｓｔｐａｓｓａｇｅｍｏｄｅｌａｎｄＰＤＥ．ｔｈｅｃｌｏｓｅｄ－ｆｏｒｍ
建立模型，给出了该类欧式期权的定价公式，但模型ｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓ
ｏｂｔａｉｎｅｄ谢ｔｌｌｔｈｅｃｒｅｄｉｔ
ｓｐｒｅａｄｏｐｔｉｏｎ
ａｓ
ｔｈｅ
中的参数不可直接观察．本文利用结构化方法中的ｃｏｍｐｏｕｎｄｏｐｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｉｒｍｖａｌｕｅａｎｄｔｈｅｓｈｏｒｔｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅ
首次通过模型，把该期权看成是公司资产值和短期、＾，ｉｔｈ
ｂａｒｒｉｅｒ．１１１ｅｆｉｎａｎｃｉａｌｍｅａｎｉｎｇｓ
ａｒｅ
ａｎａｌｙｚｅｄ
ｂｙｎｕｍｅｒｉｃａｌ
利率的带障碍的复合期权，给出显式定价公式，其参ｒｅｓｕｌｔｓ．
数可从公司财务报表和公司股票价格中推出．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｒｐｏｒａｔｅｂｏｎｄ；ｃｒｅｄｉｔｓｐｒｅａｄ
ｏｐｔｉｏｎ；ｆｉｒｓｔ
ｐａＳＳａｇｅｔｈｎｅｍｏｄｅｌ
１
数学模型
１．１基本假定（对发行债券的公司）
目前对企业债的定价主要有两种方法：结构化（１）假定发行债券的公司的资产值ｙ在风险中方法和约化方法．结构化方法把公司资产值作为衡性测度下满足随机微分方程
量标准．如果资不抵债，公司资产将被拍卖以偿债．ｄＶ＝Ｖｒｄｔ＋盯ＶｄＺｌ
结构化方法最早是由Ｍｅｒｔｏｎ等人‘卜２３提出的．但这式中：ｒ为短期利率；盯为波动率，是常数；Ｚ・是标准
个简单模型加了一些很强的假设，如利率是常数，公
Ｗｉｅｎｅｒ过程．
收稿日期：２００９—０６—０８
基金项日：国家“九七三”重点基础研究发展计划资助项日（２００７ＣＢ８１４９０３）；国家自然科学基金资助项目（１０６７１１０３）
作者简介：任学敏（１９６２一），男，副教授．硕士生导师，理学博士，主要研究方向为金融数学．Ｅ－ｍａｉｌ：ｒｅｎｘｕｅｍｉｎ＠ｃｉｔｉｚ．ｎｅｔ
边保军（１９６２一），男，教授，博士生导师．理学博士，主要研究方向为金融数学．Ｅ－ｍａｉｌ：ｂｉａｎｂｊ＠ｔｏｎｇｊｉ．ｅｄｕ．ｃｎ
万方数据
第９期任学敏，等：欧式信用价差期权的定价
１３９３
（２）短期利率ｒ的模型为Ｖａｓｉｃｅｋ［１０］模型
ｄｒｔ＝（口一ｐｒｔ）ｄｔ＋１７ｄＺ２
（２）
式中：口，ｐ，叩是常数；Ｚ２是标准Ｗｉｅｎｅｒ过程，
Ｃｏｖ（ｄＺｌ，ｄ易）＝ｐｄｔ（Ｊ
ＩＤ
Ｊ＜１）．
（３）公司发行了总面值为Ｋ到期日为Ｔ的零息票企业债券，违约边界为ＫＤ（ｒ，ｔ；Ｔ）．
（４）公司一旦破产，由于拍卖，资产值将由ＫＤ变成（１一ｃｃ，）ＫＤ，Ｏ≤∞≤１．常数叫称破产成本．即每份债券在违约日可得（１一∞）Ｄ，或等价地在到期日得（１一∞）．
１．２关于信用价差期权的假定
（１）期权是欧式的，到期日Ｔ－＜Ｔ，Ｔ为公司债券的到期日．
（２）对企业债和国债设定一个收益率价差，记Ｐ（ｙ，ｒ，ｔ；Ｔ）为公司债券在ｔ时刻的价值．当Ｐ（ｙ，ｒ，Ｔ１；Ｔ）低于Ｄ（ｒ，Ｔ１；Ｔ）ｅ—ｋ（Ｔ－Ｔ１’（常数ｋ为敲定的收益率价差）时，期权购买人将获得它们之间差额部分的赔偿．由于同样到期日和收益率的企业债券的价格一定低于国债的价格，从而ｋ＞Ｏ；又信用价差期权不为违约提供保护，因此Ｐ（Ｖ，ｒ，Ｔ。；Ｔ）一定大于违约时债券的价值，即Ｐ（ｙ，ｒ，Ｔ－；Ｔ）＞
（１一∞）Ｄ（ｒ，Ｔ１；Ｔ），也就是尼＜一墨掣．记
』一』１
ｙ。是使Ｐ（Ｖ’，ｒ，Ｔ１；Ｔ）＝Ｄ（ｒ，Ｔ１；Ｔ）ｅ—ｋ（Ｔ－Ｔ１’成立的值，由于企业债券的价值关于其资产值是单调上升的，这样的ｙ’是唯一的．如公司在Ｔｔ前破产，则期权自然中止，其价值自然为零；否则在Ｔ，时刻，如把Ｐ（ｙ，ｒ，Ｔ】；Ｔ）表示成Ｐ（ｙ，ｒ，Ｔ１；Ｔ）＝Ｄ（ｒ，Ｔ１；Ｔ）ｅ—ｄ（Ｔ－Ｔ１’，则ｄ＞ｋ时，即与国债的收益率价差超过敲定的收益率价差，这时期权买方可获得收益为
Ｐ（ｙ。，ｒ，Ｔ１；Ｔ）一Ｐ（Ｖ，ｒ，Ｔｌ；Ｔ）
（３）
ｄ≤ｋ时为零．由于不保护违约，Ｔ－时刻的期权的收益为
日（Ｖｒ，一ＫＤ（ｒ，Ｔｌ；Ｔ））（Ｐ（ｙ‘，ｒ，Ｔ１，Ｔ）一
Ｐ（ｙ，ｒ，Ｔｌ，Ｔ））＋
（４）
这里，Ｈ（ｚ）是Ｈｅｖｉｓｉｄｅ函数．即该期权不对公司破产导致债券持有人的损失赔付．由于采用与国债的价差，它基本上不对由于利率上升导致的公司债券价格的下降提供保护．
２问题的求解
公司债券和信用价差期权显然都是公司资产ｙ
万方数据
和短期利率ｒ的衍生物，因此它们满足相同的偏微分方程，只是终值和边值的条件不同．令Ｘ＝ｙ／Ｋ，则在风险中性鞅测度下，ｄＸ＝ｒＸｄｔ＋ａＸｄＺｌ．而Ｘ可看成是公司的财务杠杆比．２．１公司债券价格的确定
设Ｐ（Ｘ，ｒ，ｔ；Ｔ）为公司零息票债券的价格，Ｄ（ｒ，ｔ；Ｔ）为相应的零息国债，则在Ｖａｓｉｃｅｋ模型下‘１０｜，可得到
Ｄ（ｒ，ｔ；丁）２
ｅ（＾（丁一。卜毋（ｒ一。）’
（５）
这里
删）＝鲤∑≮螋一警
Ｂ㈤：Ｌ芸，
ｐ
（６）
而Ｐ（Ｘ，ｒ，ｔ；Ｔ）满足
ｆＬＰ＝０，
Ｘ＞Ｄ（ｒ，ｔ；Ｔ），ｒ∈Ｒ，Ｏ≤ｔ≤Ｔ
Ｐ（Ｄ（ｒ，ｔ；Ｔ），ｒ，ｔ；Ｔ）＝（１一ｃｕ）Ｄ（ｒ，ｔ；Ｔ），
０≤ｔ≤Ｔ，ｒ∈冗
【Ｐ（Ｘ，ｒ，Ｔ；Ｔ）＝１，
Ｘ＞１，ｒ∈Ｒ
（７）
ＬＰ＝著＋譬ｘ２筹＋阳红嘉＋
ｉ７１２萨孑Ｐ＋以篆＋（口一ｐｒ）ｏＰａｒ—ｒＰ
用零息国债Ｄ（ｒ，ｔ；Ｔ）作为计价单位，令Ｐｔ＝Ｐ。／Ｄ。，Ｚｔ＝Ｘｔ／Ｄｃ，问题（７）化为一维问题
ｊ＾
ｆ善＋扫衄荔－０，ｚ＞１，０≤ｔ≤ＴＰ（ＺＴ，Ｔ；Ｔ）＝１，
Ｚ＞１
Ｉ＾
【Ｐ（１，ｔ；Ｔ）＝１一甜，０≤ｔ≤Ｔ
（８）
这蚧㈩＝面１（等）２牡卜２．ｏ砸丢等＝
Ｂ２（Ｔ—ｔ）叩２＋ｔＹ２＋２ｐ砸Ｂ（Ｔ—ｔ）．
注意到；２（ｔ）与ｒ无关，由极值原理，Ｐ（Ｚ，￡，Ｔ）只在区域三边界上取最大最小值，即在区域内部有１一ｃ￡，＜Ｐ（Ｚ，ｔ；Ｔ）＜１．敲定收益率差ｋ满足１一∞＜ｅ—ｋ（Ｔ－ｑ’＜１．由连续性，一定有Ｚ使Ｐ（Ｚ，Ｔ１；Ｔ）＝ｅ—ｋｉＴ－ＴＩ’，且这样的Ｚ是唯一的，因为Ｐ（Ｚ，
ｔ；Ｔ）关于Ｚ单调上升，这同样可由极值原理得到．
１３９４
同济大学学报（自然科学版）第３８卷
令ｒ：ｆ２；ｚ（ｅ）ｄ拿，Ｔ＊：ｆ丁；ｚ（ｅ）ｄｓ，∞：１ｎｚ，亭：
Ｊ
０
Ｊ０
由前面证明过程，Ｐ（ｘ，Ｔ。；Ｔ）关于刃单调上升，记刃。为使Ｐ（ｘ’，Ｔｌ；Ｔ）＝ｅ吨汀一ｎ’成立的值，注意到在Ｔｌ时刻有
；Ｔ）＝（１一
Ｔ。一ｒ并取命＝ｅ一（詈一喜）［ｐ一（１一∞）］，ＮＪＮ（８）
化为
删Ｐ（ｘ眦ＴｔＨ…ｏＪ）叫（Ｎ斟２一ｅ童２・
丢警－０＇刃＞０，０≤ｅ≤Ｔ’
㈤Ｎ［季－－Ｘ－－－虿陋，
＋叫（Ｉ“Ｉ一。・
０）２ｅ－ｘ／２∞，０＜∞＜∞
．拼一苗．№．啪
拿）＝０，０≤车≤Ｔ。
谚（∞，ｓ）：＿：兰ｒｅ一掣Ⅳ（ｓ，０）ｄｓ：瓣：一
叫［ｅ一号＋；Ｎ（∞一丢）一ｅ量＋；Ｎ（一∞一喜）］
％卜卑Ｎ（∞一孚）一
声辛Ｎ（一刃一竿）］
式枇＿ｌｎ去一肛④张Ｔ。＝ｐ④以
ｆＬＷ＝０，
Ｘ＞Ｄ（ｒ，ｔ，Ｔ），０≤ｔ≤Ｔ１，，．∈Ｒ
Ｗ（Ｄ，ｒ，ｔ；Ｔ１）＝０，０≤ｔ≤Ｔ１，ｒ∈Ｒ
１Ⅳ（ｘ＿ｒ．，ｒ，Ｔ１；Ｔ１）＝Ｈ（ｘＬ—ＤＴ，）・
【
（Ｐ（Ｘ；，，ｒ，Ｔ１；Ｔ）一Ｐ（Ｘｎ，ｒ，Ｔｌ；Ｔ））＋
ｅ州ｒ一＿’冷咖＝罟，ｐ。＝瓦Ｐｔ，ｚ。＝瓦Ｘｔ，再令∞＝
ｆ髻一丢磬＝。
｛谚ｃ。，亭，＝。
万方数据
ｅ州Ｈ吲一ｈ（Ⅳ［季卜
鼬（莩］）
（１２）
这里Ｐ＝Ｔ’一Ｔ：＝Ｉ１；ｚ（ｓ）ｄｓ，于是可知形（∞，
０）在区间Ｅ０，刃’］外为零．类似地，对方程（１１）先作奇延拓化为柯西问题，
求解后再把解限制在ｚ≥０可得
形（茁，亭）：—ｌ＿ｆ。（ｅ－哮一ｅ一譬）帚（ｓ，０）ｄ８：
瓜：ｏ
０１ｅ一号＋专［Ｎ（ｄ１）一Ｎ（ｄ２）］一ａ１蔷＋｛［Ｎ（ｄ３）一
Ｎ（ｄ４）］一埘ｅ－詈＋言［Ⅳ（ｄｌ，ｄ１１）～Ｎ（ｄ２，ｄ１１）］＋（ｃＪｅ薹＋言［Ｎ（ｄ３，ｄ１２）一Ⅳ（ｄ４，ｄ１２）］＋（ｃ，ｅ号＋言［Ｎ（ｄ５，ｄ２１）一Ｎ（一ｄ４，ｄ２１）］一叫ｅ－号＋言［Ｎ（ｄ６，ｄ２２）一Ⅳ（一ｄ２，ｄ２）］
式中：０１＝ｅ－ｋ（Ｔ－Ｔｌ’一（１一ｃｏ）；ｄ１
５————＿＝一；
刃－一ｚ＋妻
ｄ２＝
害溅：≤溅：害；ｄ５
５
≤溅：等涵。：８店…三２一鲁
一；ｄｅ
２手；ｄ－－２拿下＝Ｔ‘一矸．回到原变量可得
ｗ（老＾ｔ）＝
第９期任学敏．等：欧式信用价差期权的定价
。。辰ｅ一学形（・ｎ妄ｐ㈤ｄｓ）
３数值结果和分析
由期权和公司债券的特性可知，当期权的到期日与债券的到期日非常接近时，期权价值几乎为零，原因是债券是否违约的不确定性大为降低且在两个到期日相同时期权价值为零，而期权价值关于其到期日是连续的．为了清楚地看出某个因素对期
１，
权价值的影响，取参数值为口＝０．２，７＝０．１，古＝Ａ
２，七，（ｕ＝０．４，ｌＤ＝０．４，ａ＝０．３７９，ｒｏ＝０．０５，Ｔ＝
１０不变，除非单独考虑该参数的影响．从图１可知，要求的敲定收益率价差越大则期权价值越低，其金融意义是明显的，因为只有超过敲定收益率价差部分才能得到赔偿．图２显示出财务杠杆比对期
１，
权价值的影响，比率古越大表示公司债务在总资产Ａ
中的比率越低，公司违约和信用等级下降的可能也越低，从而期权的价值也越低．图３显示了债券发行时的短期利率对期权价值的影响，短期利率越高，则由于信用风险导致的国债与企业债券的价差越小，从而期权价值越低．图４表明公司资产的波动率越大，则期权的价值越大，因为这时企业信用等级下降的可能增大了．特别需要指出的是，图ｌ一４的图形都呈驼峰状，这与理论和实证中发现的公司最可能在债券存续期的中间发生违约是一致的，由于在连续模型下，公司财务状况的变化是一个渐进的过程，而第二类欧式信用价差期权不保护违约情况，因此其价值的峰值出现的更早，且违约可能越大，出现的也越早．
图１敲定的收益率价差的影响
Ｆｉｇ．１
Ｉｍｐａｃｔｏｆｔｈｅｓｔｒｉｋｅｓｐｒｅａｄｏｆｔｈｅｒｅｔｕｒｎｒａｔｅ
万方数据
ｌＲ
呷
２
＼
辔￥辎踩
图２财务杠杆比的影响
Ｆｉｇ．２
Ｉｍｐａｃｔ
ｏｆｔｈｅｆｉｎａｎｃｅｌｅｖｅｒａｇｅｒａｔｉｏ
图３初始利率的影响
Ｆｉｇ．３
Ｉｍｐａｃｔｏｆｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅ
ＩＲ
叩
２
＼
鞋
Ｓ辎豢
图４公司资产波动率的影响
Ｆｉｇ．４
Ｉｍｐａｃｔ
ｏｆｔｈｅｖｏｌａｔｉｌｉｔｙｏｆｆｉｒｍａｓｓｅｔ
４结论
第二类欧式信用价差期权作为保护公司债券投资人免受在债券到期日前由于公司经营恶化（但公司未破产）引起的债券价格下跌影响的工具，其价值
可由处理公司债券定价的首次通过模型来确定，影响其价值的主要因素有公司资产波动率、初始利率、
同济大学学报（自然科学版）
第３８卷
财务杠杆比和敲定的收益率价差等．购买者可根据自身的风险承受力决定受保护的强度，即敲定的收益率价差的大小．参考文献：
［１］ＢｌａｃｋＦ，Ｓｃｈｏｌｅｓ
［６］ＪａｒｒｏｗＲ，ＴｕｒｎｂｕｌｌＳ．Ｐｒｉｃｉｎｇｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ
ｓｕｂｊｅｃｔ
ｔｏ
ｏｎ
ｆｉｎａｎｃｉａｌｓｅｃｕｒｉｔｉｅｓ
ｃｒｅｄｉｔ
ｒｉｓｋ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆ
Ｆｉｎａｎｃｅ，１９９５，５０：５３．
ｏｆ
［７］ＤｕｆｆｌｅＤ，ＳｉｎｇｌｅｔｏｎＫＪ．Ｍｏｄｅｌｉｎｇｔｅｒｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
ｄｅｆａｕｌｔａｂｌｅ
ｂｏｎｄｓ［Ｊ］．ＲｅｖｉｅｗｏｆＦｉｎａｎｃｉａｌＳｔｕｄｉｅｓ，１９９９。１２：６８７．
［８］ＤａｓＳＲ．ＣｒｅｄｉｔＲｉｓｋＤｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌｏｆｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ。
１９９５。２（３）：７．
Ｍ．ｍ
ｏｆ
［９］ＬｏｎｇｓｔａｆｆＦ，ＳｃｈｗａｒｔｚＥ．Ｖａｌｕｉｎｇｃｒｅｄｉｔｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆＦｉｘｅｄＩｎｃｏｍｅ，１９９５，５（１）：６．
ｐｒｉｃｉｎｇｏｆ
ｏｐｔｉｏｎｓ
ａｎｄ
ｃｏｒｐｏｒａｔｅ
Ｅ１０３
ＶａｓｉｃｅｋＯ．Ａｎ
ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ
ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｅｒｍ
ｌｉａｂｉｌｉｔｉｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌＰｏｌｉｔｉｃａｌＥｃｏｎｏｍｙ，１９７３，８１：６３７．
［２］ＭｅｒｔｏｎＲ．Ｏｎｔｈｅｐｒｉｃｉｎｇｏｆｃｏｒｐｏｒａｔｅｄｅｂｔ：ｔｈｅｒｉｓｋｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
ｏｆｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｉｎａｎｃｅ，１９７４，２９：４４９．［３］ＢｌａｃｋＦ，ＣｏｘＪＣ．Ｖａｌｕｉｎｇｃｏｒｐｏｒａｔｅｓｅｃｕｒｉｔｉｅｓ：Ｓｏｍｅ
ｂｏｎｄ
ｉｎｄｅｎｔｕｒｅ
ｅｆｆｅｃｔｓ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ［Ｊ］．Ｔ１ｌｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｉｎａｎｃｉａｌＥｃｏｎｏｍｉｃｓ，１９７７，
５：１７７．
［１１］姜礼尚．期权定价的数学模型和方法Ｉ－Ｍ］．北京：高等教育出
版社，２００３．
ｏｆ
ｐｒｏｖｉｓｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆ
Ｆｉｎａｎｃｅ，１９７６，
Ｊ姗Ｌｉｓｈａｎｇ．ｎｌｅ
ｏｐｔｉｏｎ
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｓａｎｄｍｅｔｈｏｄｓｉｎ
３１：３５１．
［４］ＬｏｎｇｓｔａｆｆＦ，ＳｃｈｗａｒｔｚＥ．Ａｓｉｍｐｌｅａｐｐｒｏａｃｈ
ｆｉｘｅｄ
ｐｒｉｃｉｎｇ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＨｉｇｈｅｒＥｄｕｃａｔｉｏｎＰｒｅｓｓ，２００３．
ｔｏ
ｖａｌｕｉｎｇｒｉｓｋｙ
ａｎｄｆｌｏａｔｉｎｇｒａｔｅｄｅｂｔ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｉｎａｎｃｅ，１９９５，
［１２３姜礼尚，孙和牛，陈志浩，等．偏微分方程选讲［Ｍ］．北京：高等
教育出版社，１９９７．ＪＬ～ＮＧＬｉｓｈａｎｇ，ｓＵＮ
５０：７８９．
［５］ＢｒｉｙｓＥ，ｄｅＶａｒｅｎｎｅＦ．Ｖａｌｕｉｎｇｒｉｓｋｙｆｉｘｅｄ
Ｈｅｓｈｅｎｇ，Ｃ眦ＮＺｈｉｈａｏ。ｅｔ
ａ１．Ｓｏｍｅｔｏｐｉｃｓ
ｒａｔｅｄｅｂｔ：ａｎ
ｏｎ
ｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｉｎａｎｃｉａｌａｎｄＱｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅＡｎａｌｙｓｉｓ，
１９９７，３２（２）：２３９．
ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＨｉｇｈｅｒＥｄｕｃａｔｉｏｎ
Ｐｒｅｓｓ。１９９７．
■…●…，…ｌ删■ｍ●■Ｈ…，…，ＨＨ‘●Ｈ蠼
（上接第１３６６页）
（２）通过制动试验与仿真计算对照，得到了制动过程列车车轮的瞬态温度场的实际分布状况、热量在制动车轮的传递过程、温度随时间的变化规律以及最高温度出现位置和变化范围．可进一步分析判断车轮踏面制动热容量极限和变化规律．
（３）通过选择不同的物理、技术参数，进行车轮瞬态温度场模型仿真计算，得到各要素对踏面制动过程的影响，可进一步从热容量的角度提出基础制动的基本指标和结构要求．
（４）为国内发展快速重载货物列车的制动方式、制动技术参数确定提供比较可信的理论分析，为确定车轮踏面制动极限和作用方式、列车制动距离等技术规范提供计算依据．参考文献：
［１］马大炜．铁道车辆制动热负荷的计算及应用［Ｊ］．中国铁道科
学，２０００，２１（４）：３５．
ＭＡＤａｗｅｉ．Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｎｄ
ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ｔｈｅｒｍａｌ—ｍｅｃｈａｎｉｃｓ
Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ（５）：８３．
ｃｏｕｐｌｉｎｇ
ｆｏｒｗｈｅｅｌｔｒｅａｄｏｆ
ｂｒａｋｅ［Ｊ］．
Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｃｈｉｎａ，２００７，３６
［３３虞丽娟．机车车轮瞬态温度场的有限元研究［Ｊ－Ｉ．铁道学报，
１９９３，１５（３）：１１．ＹＵ
Ｌｉｊｕａｎ．Ａｓｔｕｄｙｏｆ
ｂｙ
ｔｈｅｔｒａｎｓｉｅｎｔｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄｏｆ
ｌｏｃｏｍｏｔｉｖｅｗｈｅｅｌｓＣｈｉｎａ
ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔ
ｍｅｔｈｅｄ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌｏｆｔｌｍ
Ｒａｉｌｗａｙ
Ｓｏｃｉｅｔｙ，１９９３，１５（３）：１１．
［４３孔祥安，王琪．摩擦接触热传导有限元研究［Ｊ］．高分子材料科
学与工程，１９９６，１１（６）：１６．
ＫＯＮＧＸｉａｎｇ’ａｎ。ＷＡＮＧｔｈｅｒｍａｌ
ｃｏｎｔａｃｔ
Ｑｉ．Ｆｅｍｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒａｐｐｒｏａｃｈｆｏｒ
ｗｉｔｈ
ｆｒｉｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｐｏｌｙｍｅｒｉｃ
Ｍａｔｅｒｉａｌｓ
Ｓｃｉｅｎｃｅ
ａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９６，１１（６）：１６．
［５］ＶＥＮＪＭ．轴重２２．５ｔＵＩＣ踏面制动车轮与盘形制动车轮相比
较的数值模拟［Ｃ］／／第十一届国际轮轴会议论文集．北京：中国铁道学会，１９９７：２２２—２２５．
ＶＥＮＪ
Ｍ．Ｔｌ地ｎｍｎｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔ／ｏｎ
ｔｏ
ｏｎ
ａｘｌｅ－ｌｏａｄ
２２．５ｔＵＩｃ
ｗｈｅｅｌｔｒｅａｄｂｒａｋｉｎｇｃｏｍｐａｒｅｄ
Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ
ｄｉｓｃ
ｂｒａｋｉｎｇ［Ｃ］／／Ｅｌｅｖｅｎｔｈ
ＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅＥｓｓａｙｓ
ｏｎ
Ｗｈｅｅｌ－Ａｘｌｅ．Ｂｅｉｊｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ
ＲａｉｌｗａｙＳｏｃｉｅｔｙ，１９９７：２２２—２２５．
［６］张天孙．传热学［Ｍ］．第２版．北京：中国电力出版社，２００６．
ＺＩ－ＩＡＮＧ
Ｔｉａｎｓｕｎ．Ｈｅａｔｔｒａｎｓｆｅｒ［Ｍ］．２ｎｄｅｄ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｃｈｉｎａ
ｏｆｂｒａｋｉｎｇｈｅａｔｌｏａｄ
ＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＰｒｅｓｓ，２００６．
ｏｎ
ｒａｉｌｗａｙｃａｒ［Ｊ］．Ｃｈｉｎａ
Ｒａｉｌｗａｙ
Ｓｃｉｅｎｃｅ。２０００．２１（４）：３５．
［７］ＦｕｏｃｏＲ，ＦｅｒｒｅｉｒａＭＭ，ＡｚｅｖｅｄｏＣＲＦ．Ｆａｉｌｕｒｅ
ｃａｓｔ
ａｎａｌｙｓｉｓ
ｏｆ
ａ
［２３梁雄，卢立丽，伍晓宇，车轮踏面制动的热一机耦合数值模拟
［Ｊ］．中国制造业信息化，２００７，３６（５）：８３．
ＬＩＡＮＧ
ｓｔｅｅｌｒａｉｌｗａｙｗｈｅｅｌ［Ｊ］．ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＦａｉｌｕｒｅＡｎａｌｙｓｉｓ，２００４
（１１）：８１７．
Ｘｉｏｎｇ，ＬＵＬｉｌｉ。ＷＵＸｉａｏｙｕ．砷［１ｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆ
万方数据