点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
x 2y 2
定理 在椭圆2+2=1（a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点P (x 0, y 0)
a b
是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为k MN ，则k MN
y 0b 2
⋅=-2. x 0a
证明：设M 、N 两点的坐标分别为(x 1, y 1) 、(x 2, y 2) ，
⎧x 12y 12
⎪2+2=1, (1) ⎪a b 则有⎨
22
⎪x 2+y 2=1. (2) ⎪b 2⎩a 2
x -x y -y
(1) -(2) ，得122+122=0.
a b
2
2
2
2
y 2-y 1y 2+y 1b 2
∴⋅=-2. x 2-x 1x 2+x 1a
又 k MN
y 2-y 1y 1+y 22y y y b 2
=, ==. ∴k MN ⋅=-2.
x x 2-x 1x 1+x 22x x a
x 2y 2
同理可证，在椭圆2+2=1（a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点P (x 0, y 0)
b a
是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为k MN ，则k MN
y 0a 2
⋅=-2. x 0b
典题妙解
y 2
=1，过点M (0, 1) 的例1 设椭圆方程为x +4
2
直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足
1 ⎛11⎫
OP =(OA +OB ) ，点N 的坐标为 , ⎪. 当l 绕点
2⎝22⎭
M 旋转时，求：
（1）动点P 的轨迹方程；
（2）|NP |的最大值和最小值.
解：（1）设动点P 的坐标为(x , y ) . 由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点
.
焦点在y 上，a 2=4, b 2=1. 假设直线l 的斜率存在.
y a 2y -1y
⋅=-4. 由k AB ⋅=-2得：x x x b
整理，得：4x 2+y 2-y =0.
当直线l 的斜率不存在时，弦AB 的中点P 为坐标原点O (0, 0) ，也满足方程。
∴所求的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0.
1(y -) 2
x =1. ∴-1≤x ≤1. （2）配方，得：+1144164
2
11
∴||2=(x -) 2+(y -) 2
22
11
=(x -) 2+-x 2
2417
=-3(x +) 2+
612
∴当x =
11121
时，|NP |min =；当x =-时，||max =. 4466
x 2
+y 2=1有两个不同例2 在直角坐标系xOy 中，经过点(0, 2) 且斜率为k 的直线l 与椭圆2
的交点P 和Q.
（1）求k 的取值范围；
y 轴正半轴的交点分别为A 、（2）设椭圆与x 轴正半轴、B ，是否存在常数k ，使得向量+与AB 共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.
解：（1）直线l 的方程为y =kx +2.
⎧y =kx +2,
⎪由⎨x 2得：(2k 2+1) x 2+42kx +2=0.
2
⎪+y =1. ⎩2x 2
+y 2=1有两个不同的交点， 直线l 与椭圆2
∴∆=32k 2-8(2k 2+1) ＞0. 解之得：k ＜-
22或k ＞. 22
⎛⎫2⎫⎛2
⎪ ⎪. k 的取值范围是-∞, - , +∞∴ ⎪ ⎪2⎭⎝2⎝⎭
x 2
+y 2=1中，（2）在椭圆焦点在x 轴上，a =2, b =1，∴A (2, 0), B (0, 1), AB =(-2, 1). 2
设弦PQ 的中点为M (x 0, y 0) ，则=(x 0, y 10). 由平行四边形法则可知：OP +OQ =2OM .
OP +OQ 与AB 共线，∴OM 与AB 共线. ∴
x 0-2
=
y 0y 2，从而0=-. 1x 02
⎛y 02⎫1b 2
⎪=-，∴k =2. -由k PQ ⋅=-2得：k ⋅ 2⎪22x 0a ⎝⎭
由（1）可知k =
2
时，直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k . 2
x 2y 22
例3已知椭圆2+2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e =，右准
2a b
线方程为x =2.
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；
(Ⅱ) 过点F 1的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且|F 2M +F 2N |=解：（Ⅰ）根据题意，得
226
，求直线l 的方程. 3
⎧c 2e ==, 2⎪⎪a 2∴a =2, b =1, c =1. ∴所求的椭圆方程为x +y 2=1. ⎨22⎪x =a =2. ⎪c ⎩
（Ⅱ）椭圆的焦点为F 1(-1, 0) 、F 2(1, 0) . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为P (x , y ) . 由平行四边形法则知：F 2+F 2=2F 2. 由|F 2+F 2|=
262262622
. ……………① 得：|F 2|=. ∴(x -1) +y =933
若直线l 的斜率不存在，则l ⊥x 轴，这时点P 与F 1(-1, 0) 重合，|F 2+F 2|=|2F 2F 1|=4，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在. 由k MN
y b 2y y 11
⋅=-. ∴y 2=-(x 2+x ). ………② ⋅=-2得：
x +1x 22x a
1226(x +x ) =. 29
2
②代入①，得(x -1) -
172，或x =-. 33
1721y
=±1. 由②可知，x =不合题意. ∴x =-，从而y =±. ∴k =
333x +1
整理，得：9x 2-45x -17=0. 解之得：x =
∴所求的直线l 方程为y =x +1，或y =-x -1.
x 2y 2例4 已知椭圆C :2+2=1（a ＞b ＞0）的离心率为，过右焦点F 的直线l 与C 相交于
3a b
A 、B 两点. 当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为（1）求a , b 的值；
（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP =OA +OB 成立？若存在，求出所有点P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由.
解：（1）椭圆的右焦点为F (c , 0) ，直线l 的斜率为1时，则其方程为y =x -c ，即x -y -c =0.
2. 2
原点O 到l 的距离：d =
|0-0-c |
2
=
2c 2
，∴c =1. =
22
又e =
c 3
，∴a =3. 从而b =2. ∴a =3， b =2. =
a 3
x 2y 2
+=1. 设弦AB 的中点为Q (x , y ) . 由OP =OA +OB 可知，点Q （2）椭圆的方程为324x 2
+2y 2=1. …………………① 是线段OP 的中点，点P 的坐标为(2x , 2y ) . ∴3
若直线l 的斜率不存在，则l ⊥x 轴，这时点Q 与F (1, 0) 重合，=(2, 0) ，点P 不在椭圆上，故直线l 的斜率存在.
y b 2y y 22
⋅=-. ∴y 2=-(x 2-x ) . ………………………② 由k AB ⋅=-2得：
x -1x 33x a
由①和②解得：x =
32
. , y =±
44
∴当x =
y 3232
=-2，点P 的坐标为(, 时，k AB =, y =) ，直线l 的方程为x -14422
2x +y -2=0；
当x =
y 3232
=2，点P 的坐标为(, -时，k AB =) ，直线l 的方程为, y =-
x -12244
2x -y -2=0.
金指点睛
1. 已知椭圆x +2y =4，则以(1, 1) 为中点的弦的长度为（ ）
2
2
A. 32 B. 2 C.
36
D. 32
x 2y 2
2. （06江西）椭圆Q :2+2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F (c , 0) ，过点F 的一动直线m 绕点F
a b
转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点.
（1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）略.
3．（05上海）（1）求右焦点坐标是(2, 0) 且过点(-2, -2) 的椭圆的标准方程；
x 2y 2
（2）已知椭圆C 的方程为2+2=1（a ＞b ＞0）. 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A 、B
a b
两点，AB 的中点为M. 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；
（3）略.
4. (05湖北) 设A 、B 是椭圆3x +y =λ上的两点，点N (1, 3) 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.
（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程； （2）略.
2
2
y 2x 2
-=1的焦点为焦点，以抛物线x 2=-66y 的准线为5. 椭圆C 的中心在原点，并以双曲线42
其中一条准线.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l :y =kx +2(k ≠0) 与椭圆C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线
l ' :y =mx +1(m ≠0) 对称，求k 的值.
参考答案
x 2y 2
+=1，∴a 2=4, b 2=2. 1. 解：由x +2y =4得42
2
2
弦MN 的中点(1, 1) ，由k MN 即x =-2y +3. k =-.
y b 211
⋅=-2得k MN =-，∴直线MN 的方程为y -1=-(x -1) .
22x a
1
2
⎧x 2+2y 2=4由⎨得：6y 2-12y +5=0. ⎩x =-2y +3
设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) ，则y 1+y 2=2, y 1y 2=
5. 6
|MN |=(1+=5⨯(4-=
303
1
) (y 1+y 2) 2-4y 1y 22k
[]
10) 3
故答案选C.
y b 2y y b 2
⋅=-2， 2. 解：（1）设点P 的坐标为(x , y ) ，由k AB ⋅=-2得：
x x -c x a a
整理，得：b x +a y -b cx =0.
2
2
2
2
2
∴点P 的轨迹H 的方程为b 2x 2+a 2y 2-b 2cx =0.
3．解：（1） 右焦点坐标是(2, 0) ，∴左焦点坐标是(-2, 0) . c =2. 由椭圆的第一定义知，2a =
222
∴b =a -c =4.
(-2-2) 2+(-2) 2+(-2+2) 2+(-2) 2=42，∴a =22.
x 2y 2+=1. ∴所求椭圆的标准方程为84
y b 2y b 2
（2）设点M 的坐标为(x , y ) ，由k AB ⋅=-2得：k ⋅=-2，整理得：b 2x +a 2ky =0.
x x a a
a 、b 、k 为定值，
∴当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线b 2x +a 2ky =0上.
4. 解：（1） 点N (1, 3) 在椭圆3x 2+y 2=λ内，∴3⨯12+32＜λ，即λ＞12.
∴λ的取值范围是(12, +∞) .
由3x +y =λ得
2
2
y 2
λ
+
x 2
3
=1，∴a 2=λ, b 2=
λ
3
，焦点在y 轴上.
若直线AB 的斜率不存在，则直线AB ⊥x 轴，根据椭圆的对称性，线段AB 的中点N 在x 轴上，
不合题意，故直线AB 的斜率存在.
3λy a 2
由k AB ⋅=-2得：k AB ⋅=-，∴k AB =-1.
1x b
3
∴所求直线AB 的方程为y -3=-1⋅(x -1) ，即x +y -4=0.
从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为y -3=1⋅(x -1) ，即x -y +2=0.
y 2x 2
-=1中，a =2, b =2, c =a 2+b 2=6， 5. 解：（1）在双曲线42∴焦点为F 1(0, -6), F 2(,6) .
在抛物线x 2=-26y 中，p =6，∴准线为y =
. 2
a 26
. 从而a =3, b =3. =∴在椭圆中，
c 2
y 2x 2
+=1. ∴所求椭圆C 的方程为93
' '
（2）设弦AB 的中点为P (x 0, y 0) ，则点P 是直线l 与直线l 的交点，且直线l ⊥l . ∴m =-
1
. k
y y 0a 2
由k AB ⋅=-2得：k ⋅0=-3，∴ky 0=-3x 0. …………………………………………①
x 0x 0b
1
⋅x 0+1得：ky 0=-x 0+k . …………………………………………………………② k
k 3
由①、②得：x 0=-, y 0=.
22
由y 0=-
又 y 0=kx 0+2，
∴
3k
=-k ⋅+2，即k 2=1. 22∴k =±1.
在y =kx +2中，当x =0时，y =2，即直线l 经过定点M (0, 2) . 而定点M (0, 2) 在椭圆的内部，
故直线l 与椭圆一定相交于两个不同的交点. ∴k 的值为±1.