逻辑与命题

命题与简易逻辑

学习目标：了解命题的定义，掌握四种命题及其关系。理解复合命题的构成，掌握判断复合命题真假的方法，

正确理解逻辑连接词的含义．掌握全称命题特称命题的否定，以及常见逻辑用语的否定。 理解充分必要条件的定义，掌握充要条件的判断方法。

学习指导：本节内容在高考中经常出现，以小题为主。 一、命题

_________________叫做命题．命题由______和 两部分组成，标准形式为：_____________, 题型1：四种命题与复合命题

1、____________叫做逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫 ，

对逻辑连接词的理解：①命题角度：_________________②集合角度：___________________

③概率事件角度：____________________________

复合命题“

“非p ”的真假判断规律为___________________________ p 且q ”、“p 或q ”、

2、将某一命题的条件与结论换位，或分别否定，或换位后再分别否定，就可得到原命题的________、 和 ．四种命题的相互关系是：

互为_________的两个命题，真假性是一致的，具有等价性，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以判断该命题的逆否命题的真假，从而确定原命题的真假，而判断四种命题的真假，只须判断其中互逆（或互否）的两个即可． “若

，其否命题为“若⌝p 则 ” ．“命p 则q ”的否定为“若p 则 ”或“若⌝p 则 ”

题的否定”与“否命题”是两个不同概念． 3、全称量词与存在量词

_________________称为全称量词，这种命题称为全称命题。 P:∀∈M, p(x）否定为______________ _________________称为存在量词，这种命题称为特称命题。 P:∃∈M, p(x）否定为________________ 4、常见逻辑用语的否定

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巩固练习

1、按要求写出下列命题并判断真假. (1) 若x (3)若x

2

2

>4， 则x >2的逆命题； (2) 若m ≥0，则方程x 2+x -m =0有实数根的否命题；

+y 2=0， 则x , y 全为0的否命题； (4) 若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；的否命题； ；

2

(5) 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等的逆否命题；若q

2、写出由下述各命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假.

（1）p ：9是144的约数，q ：9是225的约数。

3、如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题. 那么（ ）

A ．命题p 和命题q 都是假命题 B．命题p 和命题q 都是真命题 C ．命题p 和命题“非q ”真值不同 D．命题q 和命题p 的真值不同

4、命题p ：存在实数m ，使方程x ＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ） A. 存在实数m ，使得方程x ＋mx ＋1＝0无实根； B. 不存在实数m ，使得方程x ＋mx ＋1＝0有实根； C. 对任意的实数m ，使得方程x ＋mx ＋1＝0有实根； D. 至多有一个实数m ，使得方程x ＋mx ＋1＝0有实根； 5、写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p ：若x ＞y, 则5x ＞5y ； （2）p ：若x +x﹤2, 则x -x ﹤2； （3）p ：正方形的四条边相等； 6、命题“∀x ∈R ，x -x+3>0”的否定是 7、“末位数字是0或5的整数能被5整除”的

否定形式是 否命题是 8．写出下列命题的否定，并判断其真假： （1）p ：∀m ∈R ，方程x +x-m=0必有实根； （2）q ：∃∈R ，使得x +x+1≤0；

9．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假： （1）若m>1，则方程x -2x+m=0有实数根． （2）平方和为0的两个实数都为0．

（3）若∆ABC 是锐角三角形， 则∆ABC 的任何一个内角是锐角． （4）若abc=0，则a,b,c 中至少有一为0．

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22

2

2

2

2

2222

2

（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x ≠1且x ≠2．

题型2：充要条件

两个命题（语句）之间的条件关系，可分为充分关系、必要关系、充要关系以及它们的否定．

p ⇒q ，则p 是q 成立的 条件，或说q 成立的 条件是p ； 若p ⇐q ，则p 是q 成立的 条件，或说q 成立的 条件是p ；

若p ⇔q ，则p 是q 成立的 条件，或说q 成立的 条件是p ．其中“p ⇒q ”是命题充分性，“p ⇐q ”是命题的必要性．

若

判断具体命题（语句）之间的条件关系时，应从是否充分，是否必要两方面得 、 、 、 四种情况．若一个命题题设和结论的关系不易判断，则可用其等价形式进行判断． 在判断命题正确性时，严格的说对于正确的命题应__________错误的应______加以说明。 巩固练习 1、 “m

=

1

”是“直线(m +2) x +3my +1=0与直线(m -2) x +(m +2) y -3=0相互垂直”的2

（ ）

A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

2、设集合A ＝｛x |

x -1

＜0}，B ＝｛x || x －1|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠x +1

”的（ ）

A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3、a

2

+2x +1=0至少有一个负数根的（ ）

A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4、若集合P

={1, 2, 3, 4}, Q ={x 0 x 5, x ∈R }, 则：（

）

A. x ∈R 是x ∈Q 的充分条件，不是x ∈Q 的必要条件 B. x ∈R 不是x ∈Q 的充分条件，是x ∈Q 的必要条件 C x ∈R 是x ∈Q 的充分条件，又是x ∈Q 的必要条件. D. x ∈R 既不是x ∈Q 的充分条件，又不是x ∈Q 的必要条件

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综合练习

1． 命题“存在x 0∈R,

A ．不存在x 0∈R,

x

≤0”的否定是( ) ＞0 B ．存在x 0∈R,

≥0

x

C ．对任意的x ∈R,2≤0 D．对任意的x ∈R,2＞0 2． “p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的( )

A ．充要条件

B ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件

C ．必要不充分条件

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3、由命题p ：“函数y ＝是减函数”与q ：“数列a ，a ，a ，„是等比数列”构成的复合命题，下列判断正

x

确的是( )

A ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真 B．p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真 C ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假 D．p 或q 为假，p 且q 为真，非p 为真 4．下列说法错误的是( )

A ．命题“若x －4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是：“若x ≠3，则x －4x ＋3≠0” B ．“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件 C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题

D ．命题p ：“∃x ∈R使得x ＋x ＋1＜0”，则非p ：“∀x ∈R，均有x ＋x ＋1≥0” 12

5．已知命题“∃x ∈R，使2x ＋(a －1) x ＋a 的取值范围是________．

2

6． 已知命题p ：函数f (x ) ＝log 0.5(3－x ) 的定义域为(－∞，3) ；命题q ：若k ＜0，则函数h (x ) ＝ 在(0，＋∞)上是减函数．则下列结论中错误的是________．

①命题“p 且q ”为真；②命题“p 或非q ”为假；③命题“p 或q ”为假；④命题“非p 且非q ”为假．

7．设p ：函数f (x ) ＝2在区间(4，＋∞)上单调递增；q ：log a 2＜1. 如果“￢p ”是真命题，“p 或q ”也是

真命题，那么实数a 的取值范围是________．

8． 写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)q ：∀x ∈R，x 不是5x －12＝0的根；(2)r ：有些质数是奇数；(3)s ：∃x ∈R，|x |＞0.

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|x －a |

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2

2

2

9． 已知命题p ：∀x ∈R，ax ＋2x ＋3≥0，如果命题￢p 是真命题，求实数a 的取值范围．

10．命题p ：关于x 的不等式x ＋2ax ＋4＞0，对一切x ∈R恒成立，q ：函数f (x ) ＝(3－2a ) 是增函数，若p

或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．

11．已知下列三个方程：①x ＋4ax －4a ＋3＝0，②x ＋(a －1) x ＋a ＝0，③x ＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.

12、已知p ：－2＜m ＜0，0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x ＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.

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x

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