NO.6分式的恒等变形
高一数学校本课程NO.6
---分式的恒等变形
分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。
分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。
一．知识方法梳理：
1. 分式的运算规律
a b a ±b ±=(同分母) c c c a d ac ±bd
(异分母) ±=
b c bc a c ac
（2）乘法：∙=
b d bd a c ad
（3）除法：÷=
b d bc
（1）加减法：
a n a n
（4）乘方：() =n
b b
2. 分式的基本性质
a am a a ÷m
, =(m ≠0) （1）=
b bm b b ÷m
（2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3. 比例的重要性质
a d d f a f
（1）如果=, =那么=（传递性）
b c c e b e a d
（2）如果=那么ac =bd （内项积等于外项积）
b c a c a ±b c ±d
=(合比性质) （3）如果=那么
b d b c a c a +c b +d
=(合分比性质) （4）如果=, (b -d ≠0) 那么
b d a -c b -d a c m
（5）如果= =, 且b +d + +n ≠0,
b d n a +c + +m a
=(等比性质) 那么
b +d + +n b
4. 倒数性质
（1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。
（2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。 （3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。 二．典型例题
1．有关分式的运算求值问题
例1. 已知1-1=32x +3xy -2y
x y , 求x -2xy -y
的值
例2. 已知三个正数a 、b 、c 满足abc=1, 求a ab +a +1+b bc +b +1+c
ac +c +1
的值
例3. 已知x +y +z =1, a +b +c a
b
c
x
y
z
=0,
求x 2y 2z 2
a 2+b 2+c
2的值。
例4. 已知x+y+z=3a (a ≠0, 且x 、y 、z 不全相等) ， 求(x -a )(y -a ) +(y -a )(z -a ) +(z -a )(x -a )
(x -a ) 2+(y -a ) 2+(z -a ) 2
的值
。
例5. 已知三个不全为零的数x 、y 、z 满足4x -3y -6z =0，
2x 2+3y 2+6z 2
x +2y -7z =0。求2的值。 22
x +5y +7z
例6. 已知a 、b 、c 互不相等，且满足a+b+c=0,
a 2b 2c 2
++ 求2的值。
2a +bc 2b 2+ac 2c 2+ab
例7. 若
a +b -c a -b +c -a +b +c (a +b )(a +c )(b +c )
==，求的值。 c b a abc
2、有关分式的化简问题 例8. 化简
x 3x n x 2
++ +
x 1(x 1+x 2) (x 1+x 2)(x 1+x 2+x 3) (x 1+x 2+ +x n -1)(x 1+x 2+ +x n )
3、有关分式的证明问题
例9. 已知有理数a 、b 、c 满足a+b+c=0，abc=8.试判断++是 正数、负数、还是零。
例10. 设n 为正整数，求证：
1111
++ +
1
a
1b
1c