自动控制原理课后习题答案于希宁版

第二部分 古典控制理论基础习题详解

一 概述

2-1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点。 【解】：

2-1-2 试列举几个日常生活中的开环和闭环控制系统的例子，并说明其工作原理。

【解】：

开环控制——半自动、全自动洗衣机的洗衣过程。

工作原理：被控制量为衣服的干净度。洗衣人先观察衣服的脏污程度，根据自己的经验，设定洗涤、漂洗时间，洗衣机按照设定程序完成洗涤漂洗任务。系统输出量（即衣服的干净度）的信息没有通过任何装置反馈到输入端，对系统的控制不起作用，因此为开环控制。

闭环控制——卫生间蓄水箱的蓄水量控制系统和空调、冰箱的温度控制系统。 工作原理：以卫生间蓄水箱蓄水量控制为例，系统的被控制量（输出量）为蓄水箱水位（反应蓄水量）。水位由浮子测量，并通过杠杆作用于供水阀门（即反馈至输入端），控制供水量，形成闭环控制。当水位达到蓄水量上限高度时，阀门全关（按要求事先设计好杠杆比例），系统处于平衡状态。一旦用水，水位降低，浮子随之下沉，通过杠杆打开供水阀门，下沉越深，阀门开度越大，供水量越大，直到水位升至蓄水量上限高度，阀门全关，系统再次处于平衡状态。

2-1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属何种类型（线性、非线性；定常、时变）。

【解】：

（1）线性定常系统；（2）线性时变系统；（3）非线性定常系统；（4）线性定常系统。

1

2-1-4 根据题2-1-1图所示的电动机速度控制系统工作原理图：

（1）将a，b与c，d用线连接成负反馈系统；

（2）画出系统方框图。 【解】：

（1）a-d连接，b-c连接。 （2）系统方框图

给题2-1-4解图

抽头移动，电动机获得一个正电压，通过齿轮减速器传递，使阀门打开，从而增加入水流量使水位上升，当水位回到给定值时，电动机的输入电压又会回到零，系统重新达到平衡状态。反之易然。

水位

题2-1-5解图

2

2-1-6 仓库大门自动控制系统如图所示，试分析系统的工作原理，绘制系统的方框图，指出各实际元件的功能及输入、输出量。

【解】：

当给定电位器和测量电位器输出相等时，放大器无输出，门的位置不变。假设门的原始平衡位置在关状态，门要打开时，“关门”开关打开，“开门”开关闭合。给定电位器与测量电位器输出不相等，其电信号经放大器比较放大，再经伺服电机和绞盘带动门改变位置，直到门完全打开，其测量电位器输出与给定电位器输出相等，放大器无输出，门的位置停止改变，系统处于新的平衡状态。系统方框图如解图所示。 元件功能

电位器组——将给定“开”、“关”信号和门的位置信号变成电信号。为给定、测量元件。

放大器、伺服电机——将给定信号和测量信号进行比较、放大。为比较、放大元件。

绞盘——改变门的位置。为执行元件。 门——被控对象。

系统的输入量为“开”、“关”信号；输出量为门的位置。

二 控制系统的数学模型

3

2-2-1 试建立下图所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压ur(t)和位移xr(t)为输入量；电压uc(t)和位移xc(t)为输出量；k,k1和k2为弹簧弹性系数；f为阻尼系数。

【解】：(a)

方法一：设回路电流为i，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：

1

idtucurC

uRic



削去中间变量，整理得：

RC

ducdt

ucRC

durdt

方法二：

Uc(s)Ur(s)



RR

1Cs



RCsRCs1



cucRCurRCu

(b)由于无质量，各受力点任何时刻均满足F0，则有：

rxc)kxcf(x1Cs

1Cs



R2Cs1



fk

cxcx

fkrx

(c)

Uc(s)Ur(s)

R2

R1R2

R1R2Cs

1



cucR2Curur(R1R2)Cu

4

(d) 设阻尼器输入位移为xa，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程

k1(xrxc)k2(xrxa)

a

k2(xcxa)fx



k1k2k1k2

cxcfx

fk2

rxrx

结论：(a)、(b)互为相似系统，(c)、(d)互为相似系统。四个系统均为一阶系统。

【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。

(a) 9

R1//

1

(R1//

1C1s

1C1s

1C2s



R1R2C1C2sR1R2C1C2s

2

2

(b)

Uc(s)Ur(s)

(R1C1R2C2)s1

)R2

(R1C1R2C2R1C2)s1

1

(c)

Uc(s)Ur(s)



R1

//(R2Ls)1Cs



//(R2Ls)

R1LCs

2

R2Ls

(R1R2CL)sR1R2

1

(d)

Uc(s)Ur(s)

(R

C2s1C1s

2

(R

1C2s

(R

1C1s

1C1s

)//R

1C2s



RR

1C1s

)//R)//R



RC1C2sRC1C2s

2

2

2

2RC1s1

(2RC1RC2)s1

2-2-3 工业上常用孔板和差压变送器测量流体的流量。通过孔板的流量Q与孔

5

近作微小变化，试将流量方程线性化。

【解】：取静态工作点(P0,Q0)，将函数在静态工作点附近展开成泰勒级数，并近似取前两项

QQ0Q1R

k2P0

PP0

(PP0)Q0

12

kP0

(PP0)



QQ0

k2P0

(PP0)

设



（R为流动阻力），并简化增量方程为

1R

QP

【解】：对微分方程组进行零初始条件下的Laplace变换得：

X1(s)R(s)C(s)T1sX2(s)k1X1(s)X2(s)X3(s)X2(s)k3C(s)T2sC(s)C(s)k2X3(s)

绘制方框图

题2-2-4图

C(s)R(s)

k1k2

T2T1s(T2T1k3k2T1)s(k1k2k3k21)

2

传递函数为



2-2-5 用运算放大器组成的有源电网络如题2-2-5图所示，试采用复阻抗法写出它们的传递函数。

6

【解】：利用理想运算放大器及其复阻抗的特性求解。

(a)

Uc(s)R2

1C2s





Ur(s)R1//

1C1s



Uc(s)Ur(s)

(

R2R1



C1C2

R2C1s

1R1C2s

)

(b)

Uc(s)R2//

1Cs

Ur(s)R1

Uc(s)Ur(s)



R2R1



1R2Cs1

2-2-6

(a) (b)

(c

)

(d) 题2-2-6图

【解】：(a)

7

(1)

(2)

(3)

(4)

（b）

(1)

(2)

8

(3)

(4)

（c）

(1)

(2)

(3)

(4)

(d)

9

(1)

(2)

(3)

(4)

(a)

(

b)

题2-2-7图

2-2-7 【解】：（a）

（1）该图有一个回路

l1

30s(s1)



1

30s(s1)

（2）该图有三条前向通路

10

10s(s1)

1s

10s1

30s(s1)

P1P2P3P4

所有前向通路均与l1回路相接触，故12341。

（3）系统的传递函数为

G(s)

C(s)R(s)

1

(P11P22P33P44)

11s41s

2

s30

（b）

（1）为简化计算，先求局部传递函数G(s)有四条前向通路：P11G1G2

（2）

G(s)

C(s)R(s)



G(s)1G(s)



G1G2G3G4G1G2G3G41G1G2G3G4G1G2G3G4

C(s)E(s)

。该局部没有回路，即1，

P44G3G4

P221P33G1G2G3G4

所以 G(s)G1G2G3G4G1G2G3G41

2-2-8 设线性系统结构图如题2-2-8图所示，试

（1） 画出系统的信号流图； （2）

【解】：

（1） 系统信号流图如图： （2） ① 求传递函数有三个回路：l1



C(s)R1(s)

1

。令R2(s)0。

l2

K(s1)(s2)

l3

Ks(s1)

1s2

Ks(s1)(s2)

l1和l3互不接触：l1l3

K



Ks(s1)(s2)

因此

1

1s2



K(s1)(s2)

1s1

K



s(s1)

Ks(s1)(s2)

21

有三条前向通路：P1

11

Ks(s1)31

P2

P3

(s1)(s2)

C(s)R1(s)



s

3

2

s(1K)

2

s4s3s3K

② 求传递函数

C(s)R2(s)

。令R1(s)0。



Ks(s1)

11

1s2

P2

Ks1

21

求解过程同①，不变。P1

C(s)R2(s)



K(s

3

2

3s3)

2

s4s3s3K

2-2-9 系统的动态结构图如图所示，试求

（1

（2）若要求消除干扰对输出的影响，求Gc(s)?

【解】：（1）根据梅森增益公式得

k1k2k3

C(s)R(s)



s(Ts1)1

k1k2k3s(Ts1)

Ts

k1k2k3

2

sk1k2k3

C(s)N(s)

Gc(s)

k1k2k3s(Ts1)



k3k4Ts1



k1k2k3Gc(s)k3k4sTs

2

1

k1k2k3s(Ts1)

sk1k2k3

（2）根据题意

C(s)N(s)

0

k1k2k3Gc(s)k3k4s0



Gc(s)

k4sk1k2

2-2-10

题2-2-10图

【解】：根据梅森增益公式得：

K(s1)

C(s)R(s)



s

3



s1

ss

3



s1

sKs

2



Ks

1s

2

1

1s

K(s1)KsssK(s1)Ksss

33

22

1

K(s1)

1

2-2-11 系统微分方程如下：

(t)K1n(t)x1(t)r(t)cx2(t)K0x1(t)

x3(t)x2(t)n(t)x5(t)4(t)x3(t)Tx

x5(t)x4(t)c(t)(t)x5(t)c(t)c

数。

【解】：（1）对微分方程组进行零初始条件下的Laplace变换,并加以整理得

X1(s)R(s)sC(s)K1N(s)X2(t)K0X1(s)

X3(s)X2(s)N(s)X5(s)X4(s)

1Ts

X3(s)

X5(s)X4(s)C(s)C(s)

1s1

X5(s)

（2

题2-2-11解图

（3）求传递函数

C(s)R(s)

，令N(s)0

K0

C(s)R(s)

1

Ts(s1)1Ts



1s1



K0sTs(s1)

Ts

K0

2

(2TK01)s1

（4）求传递函数

C(s)N(s)

，令R(s)0

C(s)N(s)

(K0K11)1

1Ts



1s1

1Ts(s1)

K0sTs(s1)

Ts

K0K11

2

(2TK01)s1

2-2-12 已知系统方框图如图所示，试求各典型传递函数

题2-2-12图

【解】：（1）求

C(s)R(s)

,

E(s)R(s)

。令N(s)0



F(s)0

C(s)R(s)E(s)R(s)

G1G2G3

1G1G2G3G2G3G6

1G2G3G6

1G1G2G3G2G3G6



（2）求

C(s)N(s)

,

E(s)N(s)

。令R(s)0

C(s)N(s)E(s)N(s)



F(s)0

G2G3

1G1G2G3G2G3G6

G2G3

1G1G2G3G2G3G6



（3）求

C(s)F(s)

,

E(s)F(s)

。令R(s)0

C(s)F(s)E(s)F(s)



N(s)0 G1G2G3G5G3G4

1G1G2G3G2G3G6

G1G2G3G5G3G41G1G2G3G2G3G6



三 时域分析法

2-3-1 若某系统，当零初始条件下的单位阶跃响应为c(t)1e2tet试求系统的传递函数和脉冲响应。

【解】 传递函数：

2

c(s)Lc(t)

c(s)R(s)

s

2

4s2

s(s1)(s2)s

4s2

,

R(s)Lr(t)

1s

G(s)

(s1)(s2)

单位脉冲响应： g(t)L1[G(s)](t)et2e2t

(t0)

2-3-2 二阶系统单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统开环传递函数。设系统为单位负反馈式。

【解】





1

2

1

.

100%0.2

%e

tp

0.456



n

2

题2-3-2图

0.1

n35.23

系统的开环传递函数为：

Gk(s)

n

2

n)

s(s2



1246s(s32.2)

2-2-3 已知系统的结构图如图所示

（1）当kd0时，求系统的阻尼比，无阻尼振荡频率n和单位斜坡输入时的稳态误差；

（2）确定kd以使差。

【解】（1）kd0时

GK(s)

8s(s2)

0.707

，并求此时当输入为单位斜坡函数时系统的稳态误

22

2nn8

 2

22n

4

8s(s2)

s(

412s1)

GK(s)

系统为Ⅰ型

KV4ess

1KV

0.25

（2）k

d0时

8

8s(s2)

GK(s)

8kds[s2(14kd)]1

(s2)GK(s)

8s(s4)



2s(0.25s1)



2n8

2n2(14kd)

0.707

222.83n1kd

4

1KV

v1,

Ⅰ型系统，KV

2,

ess

0.5

3-4

的水温，发现需30s时间指出实际水温的95%的数值。试求：

（1）把容器的水温加热到100°C，温度计的温度指示误差ess；

（2）给容器加热，使水温依6°C/min的速度线性变化时，温度计的稳态指示误差ess。

【解】： 根据题意得 ts3T30(5%)T10 单位反馈系统的开环传函数为

GB(s)

1Ts1



GK(s)

1Ts

0.1s



v1,K0.1

（1） 阶跃输入时系统稳态无差。

（2） 斜坡输入时，输入信号速率为r0

6(C/min)0.1(C/s)

ess

r0K0.10.1

1C

（注：也可以用给定输入下输出响应的终值与给定值之间的偏差计算。） 2-3-5 闭环特征方程根的区域：

（1）0.7071,n2rad/s （2）00.5,2rad/sn4rad/s （3）0.50.707,n2rad/s

【解】：根据阻尼比和无阻尼自然振荡角频率与特征根在平面上位置的关系可知 （1）0

45,

s1,22

。满足要求的闭环特征根的区域如解图（1）所示。

。满足要求的闭环特征根的区域如解图（2）所

（2）60示。

90,

2s1,24

（3）45

60,

s1,22

。满足要求的闭环特征根的区域如解图（3）所示。

2-3-6

（1）系统的单位阶跃响应和单位斜坡响应； （2）峰值时间tp、调节时间ts和超调量%。

2n4

2n2

【解】：（1）



n2



0.5

典型二阶系统欠阻尼情况，可以利用公式直接计算。 单位阶跃响应为：

h(t)1

e

nt

2



1

e

t

sin(1nt)

2

10.5

1

233e

t

2

sin(20.5tcos

21

0.5)

sin(3t60)(t0)

单位斜坡响应为：

c(t)t

2

n



e

nt

2

n

33e

t

sin(nt2)

2

t120)

(t0)

t0.5sin(

（2）系统性能指标为：

tp



n

2

1.81s

3

4

ts



3s

n

(5%)

ts



4s

n

(2%)





1

2

%e100%16.3%

2-3-7 系统方框图如题2-3-7图所示，若系统的

%15%,tp0.8s。试求：

（1）K1、K2值；

（2）r(t)1(t)时：调节时间ts、上升时间tr。 递函数为

k1

Gk(s)

1

s(s1)k1s(s1)

k2s



k1

s[s(1k1k2)]

【解】：（1）利用方框图等效变换化系统为单位反馈的典型结构形式后得开环传



2nk1

2n1k1k2

根据题意：



2

%e100%15%tp0.8s

2n





0.517

n4.588



k121

k20.18

（2）

tstr

3

n

1.27s(5%)

ts

4

n

1.69s(2%)

n

2

0.54s

2-3-8 已知闭环系统特征方程式如下，试用劳斯判据判定系统的稳定性及根的分布情况。

（1）s320s29s1000 （2）s320s29s2000

（3）s42s38s24s30 （4）s512s444s348s25s10 【解】：（1）劳斯表为

ssss

3210

1204100

9100

劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统三个特征根均位于s的左半平面。

（2）劳斯表为

ssss

3210

1201200

9200

劳斯表第一列符号改变二次，该系统特征方程二个根位于右半平面，一个根位于左半平面，系统不稳定。

（3） 劳斯表为

sssss

43210

12633

843

3

劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统四个特征根均位于s的左半平面。

（4） 劳斯表为

ssssss

543

[1**********]4.061

444859121

51

210

劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统五个特征根均位于s的左半平面。

2-3-9 已知闭环系统特征方程式如下

（1）s420s315s22sK0 （2）s3(K1)s2Ks500 试确定参数K的取值范围确保闭环系统稳定。 【解】：（1）根据特征方程列写出劳斯表为：

sssss

43210

12014.920K2

14.9K

152K

K

系统稳定的充分必要条件为

K0

20K

02

14.9



0K1.49

（2）由三阶系统稳定的充分必要条件得

K0

(K1)K50



K6.59

2-3-10 具有速度反馈的电动控制系统如题2-3-10图所示，试确定系统稳定的Ki的取值范围。

【解】：系统的特征方程为

1

100Kiss(s5.6)(s10)

3

2



1000s(s5.6)(s10)

0

s15.6s

(100Ki56)s10000

系统稳定的条件是

100Ki560



15.6(100Ki56)1000



Ki

0.081

。

2-3-11 已知系统的结构图如图所示，分别求该系统的静态位置误差系数、速度误差系数和加速度误差系数。当系统的输入分别为（1）求每种情况下系统的稳态误差。

【解】：系统的开环传递函数为

100

5K



v1,

KK

5K100Kt1

Gk(s)K

100Kt10.2s1

100Kt0.220s

s(s1)1

1100Kt0.2s11

KK

为开环增益。在系统稳定的前提条件下有

k

p

,

kv

5K100Kt1

11k

p

,

ka0

（1）r(t)1(t)（2）r(t)（3）



ess

0

；

；

t1(t)

ess

1kv



100Kt1

5K

r(t)

12

t1(t)

2



ess

2-3-12 已知系统的结构图如图所示。 （1）确定K和Kt满足闭环系统稳定的条件；

（2）求当r(t)t1(t)和n(t)0时，系统的稳态误差ess； （3）求当r(t)0和n(t)1(t)时，系统的稳态误差ess。

【解】：（1）系统的特征方程为

1

KKtss(s25)

2

3

2



K(0.02s1)s(s25)

2

0s25s

K(Kt0.02)sK0

系统稳定时

K0



K(Kt0.02)025K(K0.02)K

t



K0



K0.02t

（2）方法一 系统开环传递函数为

K(0.02s1)

GK(s)

s(s25)1

KK

t

2

1

s(

Kt1KK

t

(0.02s1)s

2

s(s25)



25KK

t

v1,

s1)

K

K



1Kt

，

KK

为开环增益。 Ⅰ型系统，kp

,

kvK

K



1Kt

,

ka0，根据题意R(s)

1s

2

，N(s)0,

essessr0Kt

方法二

1

E(s)R(s)

1

2

KKtss(s25)

2

KKtss(s25)



K(0.02s1)s(s25)

2



s(s

s25s

3

2

2

25sKKt)

K(Kt0.02)sK

essessrlimsE(s)lims

s0

s0

s(s

s25s

3

2

2

25sKKt)

1

2

K(Kt0.02)sKs

Kt

（3）方法一

n(t)1(t)。由G（0.02s1得0,K1,1s）

essnlim

s

1

s1

1 1s

s0

K

N(s)lim

s0

方法二

K

E(s)N(s)



1

2

s(s25)KKtss(s25)



K(0.02s1)s(s25)

2

2



K

s25s

3

2

K(Kt0.02)sK

essessnlims

s0

E(s)N(s)

N(s)lims[

s0

K

s

3

25s

2

]

1s

K(Kt0.02)sK

1

R(s)N(s)

1s

2

K(s1)Ts

2

C(s)R(s)

Kds(Ts1)(Tds1)(Ts

2

2

N(s)

Kds(Ts1)(Tds1)TssK

2

sksK)R(s)

N(s)]

E(s)R(s)C(s)R(s)[

K(s1)Tssk

esslimsE(s)

s0

1KKd

K1Kd

K1Kd

K

0

ess0



ess



1

20

s

(0.1s1)(s1)

0



0.1s1.1ss200

3

2

1.10.120

题2-3-14图

该系统不稳定，所以稳态误差没有意义。

（3）若将积分因子移到扰动作用点之前，系统的稳态误差如何变化？

【解】：系统稳定的充分必要条件是K1，K2>0。

（1）R(s)

4s6s

2

题2-3-15图

N(s)

1s

方法一 开环传递函数为

K1K2

GK(s)

K1K2s(s4)



4

s(0.25s1)



v1,

Ⅰ型系统

KV

K1K2

4

essr

24K1K2

G1(s)K1s

v1

n(t)1(t)essnlim

s

v

v0,1K1

KK1

s0

K

N(s)lim

s0

K

essessressn

1K1K2

(24K2)

方法二

E(s)

s(s4)s(s4)K1K2

R(s)

K2

s(s4)K1K2

N(s)

K2s(s4)4611

esslimsE(s)lims()()(24K2)

2s0s0s(s4)KKss(s4)KKsKKs121212

（2）由essn



1K1

可知，若要减小essn则应增大K1。

（3）扰动输入时，系统型别为1，所以阶跃扰动时静态无差。

essessr

24K1K2

2-3-16

的超调量%

16.3%

； 若误差e(t)r(t)c(t)，当输入r(t)(10t)1(t)时其稳态

误差ess0.1。试求：

（1）K值；

（2）单位阶跃响应的调节时间ts；

（3）当r(t)(10tt2)1(t)时的稳态误差ess。 【解】：（1）

Gk(s)

0.1Ks(0.1s1)



v1

kp101k

p

kv1kv

10K

K100.1

ka0

essr

K100

又G(s)

Ks(s10)

2nK



2n10%16.3%

n10

0.5

K100

∴

K100

时符合题意

ts

3

（2） （3）



0.6

n

(s)(5%);

ts

4



0.8(s)

n

(2%)

R(s)

10s



1s

2



2s

3

时

ess

101k

p



1kv



2ka



2-3-17

题2-3-17图

（1）确定当K和a满足什么条件时，闭环系统是稳定的。 （2）求当r(t)t1(t),【解】：（1）1

n(t)1(t)时系统的稳态误差ess

。

k(sa)(s3)s(s1)

2

0

32

sks[k(a3)1]s3ak0

系统稳定的充分必要条件是

a0

3a1k

a3

（2）方法一

r(t)t1(t)

输入时，

3aK(

1as1)(

2

13

GK(s)

K(sa)(s3)s(s

2

s1)

1;

1)s(s1)

KK3aK

Ⅰ型系统：kp

kv3aK

ka0

1kv

13aK

essr



n(t)1(t) 输入时，

(sa)s

a(

1as1)s

G1(s)

1Ka

1



essnlim

s

s0

K

N(s)lim

s0

s

K

0

essessressn

13aK

方法二

C(s)

s(s

K(sa)(s1)

2

R(s)

s(s

Ks(s3)

2

N(s)

1)K(sa)(s3)1)K(sa)(s3)

E(s)R(s)C(s)

1s

2

K(sa)(s1)Ks(s3)11222

ss(s1)K(sa)(s3)ss(s1)K(sa)(s3)

13aK

esslimsE(s)

s0

2-3-18 设控制系统结构图如图所示，要求：

（1）计算当测速反馈校正（10,20.1）时，系统的动态性能指标（%,ts）和单位斜坡输入作用下的稳态误差ess；

（2）计算当比例-微分校正（10.1,20）时，系统的动态性能指标（%,ts）和单位斜坡输入作用下的稳态误差ess。 【解】：（1）

10

Gk(s)

s(s1)1

r(t)t,

2n10

2n2

102s1ess



10s(s2)



5s(0.5s1)

v1,k5

15

0.2



n0.316

%35.1%,

ts3(s)

(5%)

（2）根据题意，系统的闭环传递函数为

10

G(s)

C(s)R(s)

s(s1)1



100.1ss(s1)

ss10

2

10s(s1)



10(0.1s1)s

2

s10s10

3.16n

0.158

0.1z10

2

22l(zn)n10





2

n

18.1950.318(rad)arctan

zn



()

1

2

%e100%63.6%

ts(3ln

l

zn

)

1

6(s)(5%)

E(s)

ss(s1)

2

10R(s)ss101

s(s1)

1s

2

1

10s1

2

E(s)

s

2

2

ss10

R(s)

根据题意R(s)

esslimsE(s)lims

s0

s0

ss

2

2

1

2

0

s10s

2-3-19 系统结构如图3-46所示，试求当r(t)1t,n(t)0.1sin100t同时作用下的稳态误差（erc）。

题2-3-19图 【解】：R(s)

1s1s

2

单独作用时，

1

1

C(s)11s1s1s(s1)s1

Er(s)R(s)C(s)R(s)1(2)221R(s)sssss11

s(s1)essrlimsEr(s)0

s0



N(s)

单独作用时

1

En(s)

C(s)N(s)

N(s)

s11



1

s1

N(s)01



essn0

s(s1)

essessressn0

【解】：零点z14.9和极点p35.1可视为一对偶极子，对系统动态性能的影响可以抵消；极点p450远离原点，其作用也可以忽略。为化简后不改变系统的开环增益得

G(s)

13014.95.150(s5s25)

2



25(s5s25)

2

0.5



n5%16.3%

(5%)ts

1.2(s)

四 根轨迹分析法

2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。

题2-4-1图

【解】：

题2-4-1解图

2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下： （1）G(s)（3）G(s)

(s

K

(s0.2)(s0.5)(s1)K(s2)

2

（2）G(s)



K(s1)s(2s1)

K

2s5)

（4）G(s)

(s1)(s5)(s6s13)

2

试绘制K由0

①

n3,



变化的闭环根轨迹图。

，有三条根轨迹，均趋于无穷远。



0.20.51

33

0.57

【解】：（1）系统有三个开环极点 p10.2,p20.5,p31。

m0

② 实轴上的根轨迹在区间(,10.5,0.2。 ③ 渐近线



2k1180

60,180k0,1,2

④ 分离点。

方法一 由P(s)Q(s)P(s)Q(s)0得

3s

2

题2-4-2（1）解图



s1,20.8,0.33

3.4s0.80

s10.8不在根轨迹上，舍去。分离点为0.33

。

Q(s)P(s)

s0.33

分离点处K值为

K0.014

方法二 特征方程为：s31.7s20.8s0.1K0

重合点处特征方程：(sa)2(sb)s3(2ab)s2(2aba2)sa2b令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。

⑤ 根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为

D(s)s1.7s

3

2

0

0.8s0.1K0

方法一 令sj，得

j

3

1.7

2

j0.80.1K0

30.8021.70.1K0



0.8

K1.26

方法二 将特征方程列劳斯表为

ssss

3210

11.7

0.1K

0.80.1K

0.8

1.70.1K

令s1行等于0，得K

1.26

。代入s0行，得辅助方程

1.7s

2

1.360

s1,2j0.8

⑥ 系统根轨迹如题2-4-2（1）解图所示。 （2）

① 根轨迹方程

K

2

10

s(s0.5)(s1)

开环零点z11，开环极点p10,p20.5。

② 实轴上的根轨迹区间(,1][0.5,0]。 ③ 分离会合点 方法一 P(s)s1

Q(s)s

2

题2-4-2（2）解图

0.5s 

s

2

P(s)Q(s)P(s)Q(s)0

0.29,1.71

0.5s(s1)(2s0.5)0

220.29,1.71

s

2

2s0.50

s1,21

均在根轨迹上，0.29为分离点，1.71为会合点。

K2



Q(s)P(s)

ss1,2



Kd10.17Kd25.85

方法二 系统特征方程：s20.5(K1)s0.5K0 重合点处特征方程：(sa)2s22asa20 联立求解重合点坐标：

2a0.5(K1)

2a0.5K



s1a1.71

,

K5.85s2a0.29



K0.17

④ 可以证明复平面上的根轨迹是以1为圆心，以明）。根轨迹如题2-4-1（2）解图所示。

（3）

① 开环零点z12,开环极点p1,2② 实轴上的根轨迹区间为(,2] ③ 分离点

P(s)Q(s)P(s)Q(s)ss1,22

2

22

为半径的圆（教材已证

1j2

。

4s10

4.24,0.24题2-4-2（3）解图

题2-4-2（3）解图

s14.24

为分离点，s20.24不在根轨迹上，舍去。

K

Q(s)P(s)

s4.24

分离点K值

6.47

④ 出射角 P1180(1j22)(1j21j2)153.4 P2180(1j22)(1j21j2)153.4

⑤ 复平面上的根轨迹是圆心位于(2,j0)、半径为5的圆周的一部分，如题2-4-1（3）解图所示。

（4）

① 四个极点p1② 渐近线





1533

44

3

(k0,1,2,3)

1,p25,p3,43j2

。



(2k1)180

45,135,225,315

题2-4-2（4）解图

③ 实轴上的根轨迹区间为[5,1]。 ④ 分离点

P(s)1

Q(s)(s1)(s5)(s6s13)

3

2

2

3

P(s)Q(s)P(s)Q(s)4s36s108s10802(s3)0

得s1,2,3

3，均为分离点，K16。

分离角



1804

45

正好与渐近线重合。

⑤ 出射角

P3180(3j25)(3j21)(3j23j2)90 P490

⑥ 根轨迹与虚轴的交点 1,2

3

K340

K

(s1)(s4)

2

2

⑦ 系统根轨迹如题2-4-1（4）解图所示。

2-4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ：G(s)

K

试绘制

由0变化的闭环根轨迹图，并求出使系统闭环稳定的K值范围。

【解】：系统有两对重极点 p1,21,p3,44。 ① 渐近线



(2k1)180

4

1144

4

2.5

(k0,1,2,3)

45,135,225,315

s1

s5

② 实轴上的根轨迹为两点



1802

90

，也为分离点。分离角均为

。

③ 根轨迹与虚轴的交点坐标 系统特征方程

(s1)(s2)K0

2

2

即 s46s313s212s4K0 令sj代入特征方程，得



4

j6

3

13

2

j124K0

令上式实部虚部分别等于0，则有

42134K026120

2

K18

题2-4-3解图

④ 该系统根轨迹如题2-4-3解图所示。由图可知，当0定。

2-4-4 已知单位负反馈系统的开环传递函数为

G(s)

K

s(s1)(0.5s1)

K18

时，闭环系统稳

（1）试绘制K由0



变化的闭环根轨迹图；

（2）用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调时的K值范围； （3）为使系统的根轨迹通过1j1两点，拟加入串

联微分校正装置(s1)，试确定的取值。

【解】：（1）G(s)制法则求得

① 渐近线与实轴的交点：1

渐近线倾角：60,180,300。 ② 实轴上的根轨迹在区间(,2][1,0]。 ③ 分离点：s1,20.42,1.58(舍去）。 ④ 根轨迹与虚轴的交点坐标：s

j2,

2Ks(s1)(s2)

，根据一般根轨迹绘

题2-4-4解图

K0.19K3

。

⑤ 该系统根轨迹如题2-4-4解图所示。

（2）系统的阶跃响应不出现超调的条件是特征根在左半平面的实轴上。根轨迹在实轴上的分离点的K值已由（1）求得，所以在0

K0.19

时系统不产生超调。

（3）串联微分校正环节(s1)后系统的开环传递函数变为

K(s1)s(s1)(0.5s1)

2K(s

1

G(s)



)

s(s1)(s2)

系统特征方程为

s(s1)(s2)2K(s1)0

若s1j是根轨迹上的点，则必满足特征方程。代入特征方程，得：

j2j2K2K2K0

2K2K0



2K20



K1 1ass

2

2-4-5 已知单位负反馈系统的闭环传递函数为 （1）试绘制参数a由0（2）判断(

3,j)

G(s)

as16



变化的闭环根轨迹图；

点是否在根轨迹上；

（3）由根轨迹求出使闭环系统阻尼比【解】：（1）系统的特征方程为

s

2

0.5

时a的值。

as160

ass

2



s

as

2

10

16

等效开环传递函数为：G(s)

① 开环零点z③ 分离点

0

16

，a由0

j4



变化为一般根轨迹。

，开环极点p1,2

。

② 实轴上的根轨迹在区间(,0]。 由 P(s)Q(s)P(s)Q(s)0 得s2160

解得s14为分离点，s24不在根轨迹上，舍去。

K18。

④ 共轭复根的出射角

p1180(j4)(j4j4)180p2180

⑤ 复平面的根轨迹是圆心位于(0,j0)、半径为4的圆周的一部分，如题2-4-5解图所示。

（2）把(

3,j)

代入相角条件中，若满足则是根轨迹上的点，反之则不是。

n

i

m

(sz

i1

)

(sp

j1

j

)(2k1)(k0,1,2)

ssj4)(sj4)

s3j

(3j)(35j)(33j)(180tg

1

13

)(180tg

1

53

)(180tg

1

33

)

150109240(2k1)

点(

3,j)

不在根轨迹上。

（3）求0.5等超调线与根轨迹的交点 方法一 

sA,Bj3

60

，设等超调线与根轨迹交点sA坐标实部为，则

(sj3)(sj3)s

2

，有

2as16

令等式两边s各次项系数分别相等，得

2a2416



2



a4

方法二 由特征方程s22as160，按照典型二阶系统近似计算得：

2n162na



n4



a4

另外，把snj2n0.5nj0.87n代入特征方程也可求得同样结果。

2-4-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为

G(s)

(sa)/4s(s1)

2

（1）试绘制参数a由0（2）求出临界阻尼比

(sa)4s(s1)

2



变化的闭环根轨迹图；

1

时的闭环传递函数。

a

s(4s

2

【解】：（1）系统特征方程为

10



4s

3

4s

2

sa010

4s1)

等效开环传递函数为： a由0



G(s)

a

s(4s4s1)

2



0.25as(s0.5)

2

变化为一般根轨迹。

0,p2,30.5。



13

① 开环极点p1

，渐近线倾

题2-4-6解图

② 渐近线与实轴的交点：

角：

60,180,300。

③ 实轴上的根轨迹在区间(,0]。 ④ 分离点

由 P(s)Q(s)P(s)Q(s)0 得 3s2s0.250 解得s10.5为起点，

a0.074

2

s2

16

0.17

为分离点。

。

j

⑤ 根轨迹与虚轴的交点 令s

，代入特征方程得

3

32

j



2

j0.250.25a0





0.2500.25a0



0.5a1

⑥ 该系统根轨迹如题2-4-6解图所示。 （2）

1

时，对应实轴上根轨迹的分离点，

s1,2

16

,a0.074

。因为

nm32，可由开环极点之和等于闭环极点之和求得另一实轴上的极点坐标

0.170.17

3

0.50.5

3



46

系统闭环传递函数为

(sa)/4

2

sas0.07s0.074s(s1)

GB(s)3232(sa)/44124s4ssa4s4ss0.07

124(s)(s)

66s(s1)

2-4-7 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ：

G(s)

K(10.5s)s(10.25s)

（1）试绘制K由0值。



变化的闭环根轨迹图；

（2）求出使系统产生相重实根和纯虚根时的K【解】：（1）根轨迹方程为

G(s)

K(10.5s)s(10.25s)

1



2K(s2)s(s4)

1

题2-4-7解图

K

由0



变化，为0根轨迹。

① 开环零点z2，开环极点p10,p24。 ② 实轴上的根轨迹在区间[4,0][2,)。 ③ 分离点和会合点

Q(s)P(s)P(s)Q(s)0



s4s(s2)(2s4)02231.46

2

s4s80

2

解得s1

2235.46

为会合点，s2

为分离点。

④ 根轨迹与虚轴的交点 特征方程为 令s

j

s(42K)s4K0

2

，代入特征方程得



2

j(42K)4K0

42K0

2

4K0



K2

22

⑤ 该系统根轨迹如题2-4-7解图所示。

（2）实轴上根轨迹的分离点和会合点即为相重实根，其K值分别为

K2

s(s4)2(s2)

s1.46

0.54

K1

s(s4)2(s2)

s5.46

7.46

纯虚根时的K值即为根轨迹与虚轴交点的K值，由（1）所求得之K2。

2-4-8 系统方框图如题2-4-8图所示，试绘制K由0

【解】：（1）根轨迹方程为

K(2s)(3s)

1



K(s2)(s3)

1



变化的闭环根轨迹图。

K

由0变化为零度根轨迹。 ① 开环极点p12,p23。

② 实轴上的根轨迹在区间(,2][3,)。 ③ 该系统根轨迹如题2-4-8解（1）图所示。 （2）根轨迹方程为

K(2s)(3s)

1



K(s2)(s3)

1

K

由0



变化为一般根轨迹。

① 开环极点p12,p23。 ② 渐近线与实轴的交点：

渐近线倾角：④ 分离点

Q(s)P(s)P(s)Q(s)0



2s50



s2.5

232

2.5，

90。

③ 实轴上的根轨迹在区间[2,3]。题2-4-8解图

⑤ 复平面上的根轨迹与渐近线重合，如题2-4-8解图（2）所示。

（1） （2）

12s(Ks1)(s1)

2-4-9 单位负反馈系统开环传递函数为 变化的闭环根轨迹图。

【解】：等效根轨迹方程为

Ks(s1)(s2)

1,

G(s)

，绘制K由0



当K由0



时为零度根轨迹。

1，有一个无穷远的

① 开环零点z10,z21，开环极点p12。nm极点。

② 实轴上的根轨迹在区间[2,3]。

③ 分离点和会合点

Q(s)P(s)P(s)Q(s)0



(2s1)(s2)ss0

2



s4s20

2

解得s14.45为分离点，s20.45为会合点。K10.10,K29.90。 ④ 根轨迹与虚轴的交点

特征方程为 Ks2(K1)s10 令s

j

2

，代入特征方程得



K102

K20



K1



2

Kj(K1)20

⑤ 复平面上的根轨迹是圆，如题2-4-9解图所示。 2-4-10 系统方框图如题2-4-10图所示，试求： （1）当闭环极点为s

1

3j

题2-4-9解图

时的K,K1值；



（2）在上面所确定的K1值下，当K由0【解】：（1）特征方程为 s2K1KsK0 闭环极点为s两

方



1

2

变化的闭环根轨迹图。

3j

时的系统特征方程为



s

2

(s1)30

2s40 得

程联

K10.5



K4

立求解

K1K2

K4

：

题2-4-10图

K(10.5s)

s

2

（2）系统开环传递函数为G(

s)H(s)等效根轨迹方程为：

0.5K(s2)

s

2

1

当K由

0时为一般根轨迹。

① 开环零点z12，开环极点p1,2

③ 会合点

Q(s)P(s)P(s)Q(s)0



0。

② 实轴上的根轨迹在区间(,2]。

s(s2)2s0

2

题2-4-10解图

s4s0

2

解得s10为起点，s24为会合点，K

16

。

④ 复平面上的根轨迹是圆，如题2-4-10解图所示。 2-4-11 系统闭环特征方程分别如下，试概略绘制K由0迹图。

（1）s3(K

3



变化的闭环根轨

1.8)s4Ks3K0

2

（2）s33s2(K

2)s10K0

【解】：（1）由系统闭环特征方程得

s1.8s

2

K(s

2

4s3)0

等效根轨迹方程为

K(s4s3)s18s

3

2

2



K(s3)(s1)s(s1.8)

2

1

K

由0



变化为一般根轨迹。

① 开环零点z11,z23， 开环极点p1,20,p31.8。

② 实轴上的根轨迹在区间(,3][1,1.8]。 ③ 分离点和会合点

Q(s)P(s)P(s)Q(s)0



s8s1.8s10.8s0

4

3

2

题2-4-11（1）解图



s(s1)(s9s10.8)0

2

解得s10（起点），s21（分离点），s37.6（会合点），s41.4（舍去）。

④ 根轨迹与虚轴的交点 根据特征方程列劳斯表

ssss

3210

1K1.8

3K

4K

K1.83K

2.55

4K3K

令s1行等于零，得K

(2.551.8)s

2

，代入s2行辅助方程，得



sj3.2

32.550

⑤ 该系统根轨迹如题2-4-11（1）解图所示。

（2）由系统闭环特征方程得

s3s2sK(s10)0

3

2

等效根轨迹方程为

K

K(s10)s(s1)(s2)

1

由0



变化为一般根轨迹。

① 开环零点z110，开环极点p10,p21,p32。

② 渐近线与实轴的交点 渐近线倾角 





1210

2

3.5

(2k1)180

2

90(k0,1)

③ 实轴上的根轨迹在区间[10,2][1,0]。 ④ 分离点

Q(s)P(s)P(s)Q(s)0



2s33s60s20

3

2

解得s10.43（分离点），s21.59（舍去），s314.48（舍去）。

⑤ 根轨迹与虚轴的交点 根据特征方程列劳斯表

ssss

3210

13

(K2)

10K



K210K

10K3

令s1行等于零，得K得

3s

2

67

，代入s2行辅助方程，

10

67

0sj1.7

⑥ 该系统根轨迹如题2-4-11（2）解图所示。

题2-4-11（2）解图

G(s)

1(sa)(s1))

2-4-12 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 （1）试概略绘制a由0增幅时的a值。



和0



变化的闭环根轨迹图；

（2）求出其单位阶跃响应为单调衰减、振荡衰减、等幅振荡、增幅振荡、单调【解】：（1）特征方程为s2(a1)sa10，等效根轨迹方程为：

a(s1)(s

12)(

2

1 2)

2

（a）a由0



变化时为一般根轨迹。

p1,2

12j

32

① 开环零点z11，开环极点

② 实轴上的根轨迹在区间(,1]。 ③ 会合点

Q(s)P(s)P(s)Q(s)0



ss1(s1)(2s1)0

s

2

2



s2s0

2

解得s10（舍去），s22（会合点）。a

④ 出射角

p1180(p2150

12j

32



s1s1

s2

3

。

)90150

题2-4-12解图

⑤ 复平面的根轨迹是圆心位于(1,j0)、半径为1的圆周的一部分，如题2-4-12解图实线部分所示。

（b）a由0



变化为零度根轨迹。

1。

① 实轴上的根轨迹在区间[1,)。 ② 会合点计算同上。会合点为s10，a2-4-12解图虚线部分所示。

（2）由根轨迹看出，根轨迹与虚轴的交点在原点，a合时，a衰减；a

2-4-13 系统方框图如题2-3-13图所示，绘制a由0要求：

（1）求无局部反馈时系统单位斜坡响应的稳态误差、阻尼比及调节时间； （2）讨论a

题2-4-13图

③ 复平面的根轨迹是圆心位于(1,j0)、半径为1的圆周的另一部分，如题

1。根轨迹在实轴上重

3。根轨迹在复平面上时1a3。

取值时,为衰减振荡；a

3

结论：系统无等幅和增幅振荡。在1

1时为单调增幅。

a3

时为单调



的闭环根轨迹图，并

2时局部反馈对系统性能的影响；

（3）求临界阻尼时的a值。

【解】： 系统开环传递函数为

1

Gk(s)

s(s1)1

ass(s1)



1ssas

2

系统特征方程为 s2sas10 等效根轨迹方程为

s

a

as

2

s1

1

由0变化为一般根轨迹。 ① 开环零点z10，开环极点p1,2② 实轴上的根轨迹在区间(

,0]。

0.5j0.87

。 ③ 会合点

Q(s)P(s)P(s)Q(s)0



ss1s(2s1)0

2

s10

2

题2-4-13解图

解得s11（舍去），s21（会合点）。会合点时的a值

a

ss1

s

s1

2

1

④ 复平面的根轨迹是圆心位于(0,j0)、半径为1的圆周的一部分，如题2-4-13解图所示。

（1） 稳态误差

系统开环传递函数为Gk(s)阻尼比和调节时间 方法一：根据题意a

0

1s(s1)

，Ⅰ型系统，kv1,ess1。

，对应根轨迹起点

0.870.5

)0.5

coscos(arctg

3

30.5

ts



6(s)(5%)

方法二： 对应开环传递函数有

2n1n1



0.52n1

33

ts6(s)

n0.51

（2）由根轨迹看出，此时系统特征根为两个不相等的实根，型，开环增益减小，斜坡信号输入时稳态误差增大。

1

，系统无超

调，稳定性变好。但由于其中一个实根更靠近虚轴，使调节时间增长。系统仍为Ⅰ

（3）系统闭环根轨迹在实轴上出现会合点时为临界阻尼情况，此时a特征方程上也可以直接看出。

1。从

K(sa)s(s1)

2

2-4-14 设单位负反馈系统的开环传递函数为

G(s)

确定a值，使根轨

迹分别具有：0，1，2个分离点，画出这三种情况的根轨迹。

【解】：根轨迹分离点由下式确定

s(s1)(sa)(3s

2

2

2s)0

2

s[2s

2

(13a)s2a]0

2

s10，s2,3

(13a)(13a)16a4

s1为原点处重极点的分离点，s2,3实轴上其他的分离点和汇合点。

（1） 0个分离点

只要原点处有两个极点，无论何种情况，至少有一个分离点，所以令a0，则开环传递函数为

G(s)

Ks(s1)

当K由0变化，即零度根轨迹时没有分离点。其根轨迹如题2-2-14解图（1）所示。

（2） 1个分离点

对于一般根轨迹，s1是一个分离点。所以当s2,3不存在，即(13a)216a0，根轨迹具有一个分离点。

设a0.5

G(s)

K(s0.5)s(s1)

2

19

a1时，

渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为

90 0.25

实轴上的根轨迹在区间[1,0.5]。

其根轨迹如题2-2-14解图（2）所示。

（3） 2个分离点

当a19或a1时，有两个分离点。其中a1对应零度根轨迹的情况。设a0.1

G(s)

K(s0.1)s(s1)

2

渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为

90 0.45

实轴上的根轨迹在区间[1,0.1]。 分离点

s1,20,0.4

会合点

s30.25

其根轨迹如题2-2-14解图（3）所示。

（1） （2）

（3）

2-2-14解图 五 题 频域分析法

2-5-1 系统单位阶跃输入下的输出c(t)11.8e4t0.8e9t

率特性表达式。

【解】： 闭环传递函数

1

G(s)

C(s)R(s)

s1.8s4

1

s



4

(t0)

,求系统的频

C(s)L[c(t)]

1

1s



1.8s4



0.8s9



0.8s9



36(s4)(s9)

G(j)

36

(j4)(j9)



36

j(tg

1

tg

1



9

)

e

2

16

2

81

2-5-2 于闭环系统时，系统的稳态输出

（1）r(t)sin(t300)； （2）r(t)2cos(2t450)；

（3）r(t)sin(t300)2cos(2t450)。 【解】：求系统闭环传递函数

4s1

4(j5)

C(s)R(s)

GK(s)1GK(s)

1

GK(s)GB(s)

4



4s5

GB(j)

jtg



5

e



2

25

根据频率特性的定义，以及线性系统的迭加性求解如下：

（1）1,

Ar1,GB(j)

130

1

A(1)e

j(1)



426

jtg

1

15

e0.78e

j11.3

cs(t)Acsin(t2)ArA(1)sint1(1)0.78sin(t18.7)

（2）2,

Ar2,

145

2

GB(j)



4425

jtg

1

25

e0.74e

j21.8

cs(t)1.48cos(2t23.2)

（3）cs(t)0.78sin(t18.7)1.48cos(2t66.8)

2-5-3 试求图2-5-3所示网络的频率特性，并绘制其幅相频率特性曲线。 【解】：（1）网络的频率特性

R2

G(j)

1jC

1jC



jR2C1j(R1R2)C1

R1







R1R2



（2）绘制频率特性曲线

G(j)

jT11jT21



(T1)1(T2)1

22

题2-5-3图

e

j(tg

1

T1tg

1

T2)

其中T1R2C,T2(R1R2)C,T2T1。

起始段，0,A()1,()0。

中间段，由于T2T1，A()减小，()先减小

后增加，即曲线先顺时针变化，再逆时针变化。

题2-5-3解图 终止段，

,



limA()

T1T2

1,

()0。

网络幅相频率特性曲线如题2-5-3解图所示。

2-5-4

【解】：系统闭环传递函数为

GB(s)

C(s)R(s)



GK(s)1GK(s)

Ts

K

2

sK

10时系统频率特性为

G(j)



K

(KT)j

K

(K100T)

22

10



10

K

K

1

100Tj10

10K100T

j()

jtg

e100

A()e

由已知条件得

A()

AcAr

1,()21



2

，则有

K

12

(K100T)100

K100T0



K10



T0.1

2-5-5 已知系统传递函数如下，试分别概略绘制各系统的幅相频率特性曲线。

【解】：对于开环增益为K的系统，其幅相频率特性曲线有两种情况：K

K0

0

和

。下面只讨论K0的情况。K0

0

时，比例环节的相角恒为180，故相应的

幅相频率特性曲线可由其K

（1）G(j)

K

的曲线绕原点顺时针旋转180得到。



2

K

[(T1)1][(T2)1]

2

(jT11)(jT21)

e

j(tgT1tg

-11

T2)

K(1T1T2)jK(T1T2)

(

22T12



1)(

2

2T2

1)



0时，limG(j)K0 ；

0

时，limG(j)0180。



特性曲线与虚轴的交点：令 Re[G(j)]0，即

1T1T20

2



11T2

题2-5-5（1）解图

代入Im[G(j)]中，

Im[G(j)]K

T1T2T1T2

该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（1）解图所示。 （2）

G(j)

Kj(j1)



K(j)

(

2

1)

0时，limG(j)90；

0

求渐近线

0

limRe[G(j)]lim

K

K

0

(

2

1)

题2-5-5（2）解图

时，limG(j)0180。



该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（2）解图所示。

（3）

G(j)

K(jT11)(jT21)

0

2



K(T1T21)Kj(T1T2)

2

(T21)

222

0时，limG(j)90；

求渐近线

0

limRe[G(j)]lim

K(T1T2)

0

(T21)

22

K(T1T2)0

时，limG(j)090。



该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（3）解图所示。 （4）

G(j)

K(jT11)(jT21)

2

K22T12T2

11

e

jtg

-1



2

2

（T1T2时，0时，limG(j)180；

0

曲线始于负实轴之上；T1T2时，曲线始于负实轴之下。）

时，limG(j)0180。



题2-5-5（4）解图

该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（4）解图所示。 （5）

G(j)

250

j(j5)(j15)



5000j250(75)

2

(

2

5)(

22

15)

2

0时，limG(j)90。

0

求渐近线

0

limRe[G(j)]lim

5000

0

(

2

5)(

22

15)

2

0.89

时，limG(j)0270，曲线顺时



针穿过负实轴。

求曲线与负实轴的交点

题2-5-5（5）解图

令Im[G(j)]0，得75。

VxRe[G(j)]

0.17

75

该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（5）解图所示。

（6）

50[j(1)]

2

G(j)

50

j(

2

j1)



[

2

(1)]

22

0时，limG(j)90；

0

求渐近线

0

limRe[G(j)]lim

50

0

[(1)]

222

50

0.5

该系统传递函数分母上有一个振荡环节，其T1，值。

r

1T

2

2

。所以当r时有最大

0.71

频率特性的最大值

G(j)

0.71

66.7215.3

时，limG(j)0270，曲线顺时针穿过负实轴。



求曲线与负实轴的交点 令Im[G(j)]0，得

1。

VxRe[G(j)]

50

1

该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（6）解图所示。 （7）

G(j)

Kj(j1)



KjK

(

2

1)

0时，limG(j)90；

0

K

求渐近线

0

limRe[G(j)]lim

K

0

(

2

1)

题2-5-5（7）解图

时，limG(j)0180，传递函数分母上有一个不稳定环节，曲线逆时



针变化，不穿越负实轴。

该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（7）解图所示。 （8）