两条直线平行(导学案)
§8.3.1两条直线平行
1、知识与技能:(1)掌握两条直线平行的条件;(2)能应用两条直线平行的条件解题. 2、过程与方法:从初中平面几何中两条直线平行的知识出发,通过“数”“形”结合的方式,讲解两条直线平行的判定方法,介绍两条直线平行的条件,学生容易接受.知识讲解的顺序为:
ìï倾斜角a 观90 斜率相等; ï两条直线平行Û同位角相等Û倾斜角相等í ïïî倾斜角a =90
? 斜率都不存在.
3、情感、态度、价值观:体会数形结合的数
学思想的地位和作用;培养学生的数学思 维能力及分析问题和解决问题的能力.
*创设情境兴趣导入
我们知道,平面内两条直线的位置关系有三种:平行、相交、重合.并且知道,两条直线都与第三条直线相交时,“同位角相等”是“这两条直线平行”的充要条件. 【问题】
两条直线平行,它们的斜率之间存在什么联系呢?
二、新课导学 ※学习探究
新知:当两条直线1、2的斜率都存在且都不为0时(如图8-11(1)),如果直线1平行于直线2,那么这两条直线与x 轴相交的同位角相等,即直线的倾角相等,故两条直线的斜率相等;反过来,如果直线的斜率相等,那么这两条直线的倾角相等,即两条直 线与x 轴相交的同位角相等,故两直线平行.
l l l
l
(1)
图8-11
当直线l 1、l 2的斜率都是0时(如图8-11(2)),
两条直线都与x 轴平行,所以l 1//l 2.
当两条直线l 1、l 2的斜率都不存在时(如图8-11(3)),直线l 1与直线l 2都与x 轴垂直,所以直线l 1// 直线l 2.
显然,当直线l 1、l 2的斜率都存在但不相等或一条直线的斜率存在而另一条直线的斜率不存在时,两条直线相交.
由上面的讨论知,当直线l 1、l 2的斜率都存在时,设l 1:y =k 1x +b 1l 2:y =k 2x +b 2
当两条直线的斜率都存在时,就可以利用两条直线的斜率及直线在y 轴上的截距,来判断两直线的位置关系.
判断两条直线平行的一般步骤是: 判断两条直线的斜率是否存在,若都不存在,则平行;若只有一个不存在,则相交.
若两条直线的斜率都存在,将它们都化成斜截式方程,若斜率不相等,则相交; 若斜率相等,比较两条直线的纵截距,相等则重合,不相等则平行.
巩固知识典型例题
例1判断下列各组直线的位置关系: (1)l 1:x +2y +1=0l 2:2x -4y =0
4
x -5l 2:4x -3y +1=0 3
(3)l 1:x +3y -4=0l 2:-2x -6y +8=0
(2)l 1:y =
分析分别将各直线的方程化成斜截式方程,通过比较斜率k 和直线在y 轴上的截距b .判断两条直线的位置关系.
11x - 22
11
直线l 1的斜率为-,在y 轴上的截距为-.
22
解(1)由x +2y +1=0得y =-由2x -4y =0得y =
11
x ,故直线l 2的斜率为,在y 轴上的截距为0.
22
因为k 1¹k 2,所以直线l 1与l 2相交. (2)由y =
44
x -5知,故直线l 1的斜率为,在y 轴上的截距为-5.
33
41
x +, 33
由4x -3y +1=0得y =故直线l 2的斜率为
41,在y 轴上的截距为. 33
因为k 1=k 2,且b 1¹b 2所以直线l 1与l 2平行. (3)由x +3y -4=0得y =-为4
. 3
141
x +,故直线l 1的斜率为-,在y 轴上的截距333
由-2x -6y +8=0得y =-
14x + 33
故直线l 2的斜率为-
14
,在y 轴上的截距为.
33
因为k 1=k 2且b 1=b 2,所以直线l 1与l 2重合.
说明例1(3)题中,将方程-2x -6y +8=0两边同时除以−2,得到x +3y -4=0,可以看到,这两个方程是同解方程,因此它们表示的是同一条直线,故l 1与l 2重合. 【注意】
如果求得两条直线的斜率相等,那么,还需要比较它们在y 轴的截距是否相等,才能确定两条直线是平行还是重合.
【知识巩固】
例2已知直线l 经过点M (2,-2) ,且与直线y =解设y =
1
x +1平行,求直线l 的方程. 2
1
x +1的斜率为k 1,则 2
k 1=
1. 2
设直线l 的斜率为k ,由于两条直线平行,故
k =k 1=
又直线l 经过点M (2,-2) ,故其方程为
1. 2
y +2=
即x -2y -6=0.
1
(x -2) , 2
※强化练习
1.判断下列各组直线的位置关系:
(1) l 1:x +y =0与l 2:2x -3y +1=0; (2)l 1:y =-x -2与l 2:2x +2y +4=0;
(3)l 1:4x =3y 与l 2:y =
4
x -1. 3
2.已知直线l 经过点P (0,-1) ,且与直线x -2y +1=0平行,求直线l 的方程..
三、总结提升
(1)本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?
(2)通过本次课的学习,你会解决哪些新问题了?
(3)你是如何进行学习的,在学习方法上有哪些体会?
※当堂检测(时量:5分钟满分:10分): 1. 判断下列各对直线的位置关系: (1)y =x 与3x -3y +5=0
(2)2x +y -4=0与x +2y -2=0
(3
)2x -+=
0-+3=0。
2. 求过点P (1,-5) 且与直线3x +y -10=0平行的直线方程?
(1) 读书部分:教材
(2) 书面作业:教材习题8.3 A 组(必做);8.3 B 组(选做)
(3) 实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的实例。