高中数学基本公式
高中数学基本公式
指数运算:a ⋅a =a
m
n
m +n
;a
m
÷a n =a m -n ;(a m ) n =a mn ;
1。 a n
分数指数幂:a
m n
=a m ;负数指数幂:a -n =
对数运算:log a (M ⋅N ) =log a M +log a N ;log a
M
=log a M -log a N ;N
log a M n =n log a M ;
对数恒等式:a
log a N
=N ;换底公式:log a N =
log b N
;
log b a
log a a n =n ;log a b =
n 1n
;log a N =log a n N n ;log a m N =log a N 。
m log b a
+∞) ;a =1,函数图象经过指数函数:y =a x (a >0,a ≠1) ; 定义域为R ,值域为(0,
1) ; 点(0,
01时,y =a x 在(-∞,+∞) 上
为增函数。
+∞) ,值域为R ;log a 1=0,函数对数函数:y =log a x (a >0,a ≠1) ;定义域为(0,
,0) ; 图象经过点(1
01时,y =log a x 在(0,+∞) 上为减函数;+∞)
上为增函数。 幂函数:y =x ;
α
α0时,y =x α在[0,+∞) 上为增
函数。
一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 求根公式:x 1,2
2
-b ±b 2-4ac
(其中=
2a
∆=b 2-4ac ≥0)。
对称轴:f (x +a ) =f (-x +b ) ,则函数f (x ) 的对称轴为x =
a +b
。 2
周期:f (x +a ) =-f (x +b )(a >b ) ,则函数f (x ) 的周期T =2(a -b ) 。
弧度制与角度制:2π=360︒;π=180︒;任意角的三角函数:
π
2
=90︒。
sin α=
y x y
;cos α=;tan α=(α终边上一点P (x ,y ) 到原点的距离为r (r >0) )。 r r x 1ππ3;cos =;tan =; 26263
特殊角的三角函数值:
sin
π
6
=
sin
π
3
=
π1π;cos =;tan =3;
3232
sin
π
4
=
π2π2;cos =;tan =1;
4242
sin 0=0;cos 0=1;tan 0=0;
sin
π
2
=1;cos
π
2
=0。
sin x
。 cos x
22
同角三角函数的基本关系:sin α+cos α=1;tan α=
诱导公式:(记忆规律:奇变偶不变,符号看象限。)
-α) =-tan α; 负角:sin(-α) =-sin α;cos(-α) =cos α;tan(
余角:sin(
π
2
-α) =cos α;cos(
π
2
-α) =sin α;
π-α) =-tan α; 补角:sin(π-α) =sin α;cos(π-α) =-cos α;tan(
sin(
π
2
+α) =cos α;cos(
π
2
+α) =-sin α;
sin(π+α) =-sin α;cos(π+α) =-cos α;tan(π+α) =tan α。
三角恒等变换: 两
角
和
与
差
的
余
弦
:
cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β
;
cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β。
两
角
和
与
差
的
正
弦
:
s i α+n β) (=s αi c n βo +c s αo s s βi n ;
sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β。
α+β) =两角和与差的正切:tan(
tan α+tan βtan α-tan β
α-β) =;tan(。
1-tan α⋅tan β1+tan α⋅tan β
2222
二倍角:sin 2α=2sin αcos α;cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α;
2tan α
。
1-tan 2α1-cos 2α1+cos 2α22
降幂:sin α=;cos α=。
22
tan 2α=
升幂:1+cos α=2cos
2
α
2
; 1-cos α=2sin
2
α
2
。
辅助角:a sin α+b cos α=
(其中tan ϕ=
a 2+b 2sin(α+ϕ)
b
,ϕ的终边所在的象限由a ,b 的符号确定)。 a a b c
===2R (其中R 为∆ABC 的外接圆的半径)正弦定理:。 sin A sin B sin C
余弦定理:
b 2+c 2-a 2
a =b +c -2bc ⋅cos A ;cos A =;
2bc
2
2
2
a 2+c 2-b 2
b =a +c -2ac ⋅cos B ;cos B =;
2ac
2
2
2
a 2+b 2-c 2
c =a +b -2ab ⋅cos C ;cos C =。
2ab
2
2
2
三角形面积:
S =
111
ab sin C ;S =ac sin B ;S =bc sin A 222
已知前n 项和S n 求通项公式:
⎧S 1,n =1
(需要验证n =1时能否合并成一个式子) a n =⎨
⎩S n -S n -1,n ≥2
通项公式:a n =a 1+(n -1) d ;a n =a m +(n -m ) d 。 前n 项和公式:S n =na 1+
n (a 1+a n ) n (n -1)
d ;S n =。 22
等差中项:a ,A ,b 成等差数列,则2A =a +b 。 若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q 。 通项公式:a n =a 1q n -1;a n =a m q
n -m
。
⎧na 1,q =1
⎪n
前n 项和公式:S n =⎨a 1(1-q ) 。
,q ≠1
⎪⎩1-q
等比中项:a ,G ,b 成等比数列,则G =ab 。 若m +n =p +q ,则a m ⋅a n =a p ⋅a q 。 常用的拆项公式:
2
111
; =-
n (n +1) n n +1
1111
=(-) ;
(2n -1)(2n +1) 22n -12n +1
1n +n +1
=n +1-n 。
含有绝对值的不等式:
a >0,则|x |a ⇔x a 。
||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |。
一元二次不等式:
x 1、x 2是一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的两个根,且x 1
则ax +bx +c >0(a >0) 的解集为{x |x x 2};
ax +bx +c 0) 的解集为{x |x 1
分式不等式:
⎧f (x ) ⋅g (x ) ≥0f (x )
; ≥0⇔⎨
g (x ) ≠0g (x ) ⎩
f (x )
>0⇔f (x ) ⋅g (x ) >0。 g (x )
基本不等式:
(a +b ) 2
a +b ≥2ab ;a +b ≥2ab (a ,b >0);a +b ≥;
2
2
2
22
ab ≤(
a +b 2
) 。 2
直线、平面平行:
直线与平面平行的判定定理:
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行。 直线与平面平行的性质定理:
如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行。
平面与平面平行的判定定理:
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行。 平面与平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线互相平行。 直线、平面垂直:
直线与平面垂直的判定定理:
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直。 直线与平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行。 平面与平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直。 平面与平面垂直的性质定理:
如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。 直线的斜率:
直线方程为Ax +By +C =0,则斜率k =-过两点的直线的斜率:
A
(其中B ≠0)。 B
P 1(x 1,y 1) 、P 2(x 2,y 2) ,则经过P 1、P 2的直线的斜率k =
直线平行与垂直:
两直线平行,则两直线的斜率相等; 两直线垂直,则两直线的斜率乘积等于-1。 直线方程: 斜截式:y =kx +b 点斜式:y -y 0=k (x -x 0) 两点式:
y 2-y 1
(其中x 2-x 1≠0)。
x 2-x 1
y -y 1x -x 1
=
y 2-y 1x 2-x 1
一般式:Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0)
中点坐标:(
x 1+x 2y 1+y 2
) 22x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3
)
33
重心坐标:(
点到直线的距离:d =
|Ax 0+By 0+C |
A +B
2
2
两平行直线间的距离:d =
|D -C |A +B
2
2
圆的标准方程:(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2(其中圆心坐标为(a ,b ) ,半径为r ) 圆的一般方程: x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(其中D +E -4F >0)
2
2
D E D 2+E 2-4F
-) ,半径:圆心坐标:(-, 222
弦长:l =2r 2-d 2 空间两点的距离:|P 1P 2|=向量减法的三角形法则:
把减向量与被减向量的起点相重合,则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 向量共线(平行)的判定:
非零向量与共线(平行)的充要条件是:有且只有一个实数λ,使=λ。 向量平行(共线)的坐标表示:
(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2+(z 2-z 1) 2
=(x 1,y 1) ,=(x 2,y 2) ,则∥⇔x 1y 2-x 2y 1=0(
向量的数量积:⋅=||⋅||cos θ 向量的夹角:cos θ=
x 1y
。 =1)
x 2y 2
向量数量积的坐标表示:=(x 1,y 1) ,=(x 2,y 2) ,则⋅=x 1x 2+y 1y 2。
222
向量的模(或长度):=(x ,y ) ,则a ⋅a =a =|a |=x +y ,|a |=
2
x 2+y 2。
向量垂直:=(x 1,y 1) ,=(x 2,y 2) ,则⊥⇔x 1x 2+y 1y 2=0(⋅=0)。
x 2y 2
椭圆的标准方程:焦点在x 轴上:2+2=1(a >b >0) ;焦点在y 轴上:
a b y 2x 2
+2=1(a >b >0) 。 2a b
M 为椭圆上的点,F 1、F 2为椭圆的两个焦点,则|MF 1|+|MF 2|=2a (2a >|F 1F 2|)。
a 2=b 2+c 2;e =
c
b x 2y 2
双曲线的标准方程:焦点在x 2-2=1(a >0,b >0) ;渐近线方程:y =±x ;
a a b
a y 2x 2
焦点在y 2-2=1(a >0,b >0) ;渐近线方程:y =±x 。
b a b
M
为双曲线上的点,F 1、F 2为双曲线的两个焦点,则
||MF 1|-|MF 2||=2a (0
c 2=a 2+b 2;e =
c
>1。 a
p ; 2
p p 2
焦点在y 轴上:x =2py ;焦点:(0) ;准线:y =-。
22
p
2
2
0) ;准线:x =-抛物线的标准方程:焦点在x 轴上:y =2px ;焦点:(,
弦长公式:
A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) 为圆锥曲线上两点,
则弦长|AB |=
(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2=+k 2|x 1-x 2|=+
1
|y 1-y 2| 2k
(其中|x 1-x 2|=韦达定理:
(x 1+x 2) 2-4x 1x 2;|y 1-y 2|=(y 1+y 2) 2-4y 1y 2)。
b
x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个根,则x 1+x 2=-
a