解三角形高考题汇编

解三角形

一、选择题

1. 若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a +b )

A ．

2

-c 2=4，且C=60°，则ab 的值为

D ．

4

B ．8-4 C ． 1 32 3

2. 在∆ABC 中，D 是边 A ．

AC 上的点，且AB =AD , 2AB =BD , BC =2BD ，则sin C 的值为

3

D.

B. 3 C.

63

2

6

6

3. 在∆ABC 中, sin

A ．（0，

A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C ．则A 的取值范围是

π

6

] B ．[

π6

，π） C ．（0，

πππ

] D ．[ ，） 33

A sin B +b cos 2A =2a ，则

b

= a

4. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a , b , c ，a sin （A

） （B

） （C

（D

5. 如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE =1，连接EC 、ED 则sin ∠CED =（ ） A

B

C

D

6. 在∆ABC 中，角

A , B , C 所对边长分别为a , b , c ，若a 2+b 2=2c 2，则

cos C 的最小值为（ ）

C. 1 D. 1

B. -22

222

7. 在∆ABC 中，若sin A +sin B

A.

A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定

, 则tan 2α= 2

43A. B. C.-3 D.-4 3443

π

8 ．已知α∈R , sin α

+2cos α=

9. 在△ABC 中

, ∠ABC =4

, AB =BC =3, 则sin ∠BAC =

10 ．在∆ABC , 内角A , B , C 所对的边长分别为a , b , c . a sin B cos C +c sin B cos A =A.

1且a >b , 则

∠B = b ,

2

π B.π C.2π633

D.5π

6

11．在锐角中∆ABC , 角A , B 所对的边长分别为a , b .

若2a sin B =A.

, 则角A 等于

π B.π

612

C.

π D.π

34

二、填空题：

1. 在相距2千米的A , B 两点处测量目标C ，若∠CAB =750, ∠CBA =600，则A , C 两点之间的距离是 千米。 2. 已知∆ABC 的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则∆ABC 的面积为_______________. 3. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若(a +b -c )(a +b +c ) =ab ，则角C =．

︒

4. 设∆ABC 的内角A , B , C 所对的边为a , b , c ；则下列命题正确的是_____

①若ab

>c 2；则C

3

②若a +b

>2c ；则C

2

3

③若a

3

+b 3=c 3；则C

3

2

④若(a +b ) c π ⑤若(a

2

+b 2) c 2π

5．∆ABC 中, ∠C =900, M 是BC 的中点, 若sin ∠BAM =1, 则sin ∠BAC =________.

36. 已知△ABC

的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.

A =

35，cos B =, b =3则c = 513

7. 设∆ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且cos

22

, AB =32, AD =3则BD 的长为_______________ 3

b c , 若a =5，9．在∆ABC 中, 角A 、 b =8， B =60 , 则b=_______ B 、 C 所对边长分别为a 、、

8．如图∆ABC 中, 已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC, sin ∠BAC =10. 设∆ABC 的内角A , B , C 所对边的长分别为a , b , c . 若b +c 则角C

=2a , 则3sin A =5sin B ,

=_____.

11. 在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若

三、解答题

1. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为a , b , c （1）若sin(A +

b -c )c o s

o s 则c A =a c o s C ，A =_________________。

π

6

) =2cos A , 求A 的值； （2）若cos A =

1

, b =ac ，求sin C 的值. 3

2. 设∆ABC 的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知a =1, b =2, cos C =

1 4

（Ⅰ）求∆ABC 的周长 （Ⅱ）求cos(A -C ) 的值

3. 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a , b , c 。且满足c sin （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A -cos(B +

A =a cos C

π的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小。 )

4

4. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a , b , c ．己知A —C=90°，a +c

=2b ，求 C．

cos A -2cos C 2c -a

=

cos B b

sin C 的值； （II ）若cos B =1, b =2，求∆ABC 的面积S 。

（I ）求

4sin A

5. 在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a , b , c 已知．

6. 已知a , b , c 分别为∆ABC 三个内角A , B , C

的对边，a cos C （1）求A （2）若a

7. 在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a , b , c ．已知cos A ＝

sin C -b -c =0

=2，∆ABC 的面积为；求b , c .

2

，sin B

cos C ． 3

(Ⅰ) 求tan C 的值； (Ⅱ) 若a

∆ABC 的面积．

8. 在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a , b , c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ) 求cos B 的值； (Ⅱ) 边a , b , c 成等比数列，求sin

A sin C 的值。

9. 在△ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a ，b ，c 。已知A =（1）求证： B -C =π

10. 三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a , b , c ，已知cos(A -C ) +cos B =1, a =2c ，求C.

11．在△ABC中, a =3, b =2(I)求cos

12错误！未指定书签。．在△ABC中, 内角A , B , C 的对边分别是a , b , c ,

且a (1)求C ; (2)

设cos A cos B =

13错误！未指定书签。．设∆ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , (a +b +c )(a -b +c ) =ac . (I)求B (II)

若sin A sin C =

2

π

, b sin(+C ) -c sin(+B ) =a

444

ππ

2

（2

）若a =△ABC 的面积。

6, B =2A

A 的值; (II)求c 的值.

+b 2=c 2.

cos (α+A )cos (

α+B ), 求tan α的值. =

5cos 2α5

求C .

14错误！未指定书签。．）在

∆ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 且

2cos 2

A -B 3

cos B -sin(A -B )sin B +cos(A +C ) =-. 25

(Ⅰ)求cos

A 的值; (

Ⅱ)若a

=b =5, 求向量BA 在BC 方向上的投影.

→

→

15．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 且a +c

=6, b =2, cos B =

7

. 9

(Ⅰ)求a , c 的值; (Ⅱ)求sin(A -B ) 的值.

16．在∆ABC 中, 角

A , B , C 对应的边分别是a , b , c . 已知cos2A -3cos (B +C )=1.

=b =5, 求sin B sin C 的值.

(I)求角A 的大小; (II)若∆

ABC 的面积S 17．△

ABC 在内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 已知a =b cos C +c sin B .

=2, 求△ABC 面积的最大值.

(Ⅰ)求B ; (Ⅱ)若b

18．在△ABC中, 角A,B,C 所对的边分别为a , b , c , 已知cos C +(cosA -sin A ) cos B =0

(1) 求角B 的大小; (2)若, a +c =1求b 的取值范围

19．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a , b , c ．已知cos A ＝2，sin B ＝cos C ．

3(Ⅰ) 求tan C 的值； (Ⅱ) 若a =

20. 在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，已知sin A +sin C =p sin B (p ∈R ), 且ac =（Ⅰ）当p =

21. 在∆ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ．已知cos 2C =-1

4

(I)求sinC 的值； (Ⅱ) 当a=2．2sinA=sinC时．求b 及c 的长．

22. 已知△

ABC

1，且sin A +sin B C ．

（I ）求边AB 的长； （II ）若△ABC 的面积为1sin C ，求角C 的度数.

6

2，求∆ABC 的面积．

12b . 4

5

, b =1时，求a , c 的值； (Ⅱ) 若角B 为锐角，求p 的取值范围。 4

23. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos A =（1）求sin 2

1 3

B +C

cos 2A 的值； （2）若a =，求bc 的最大值 2

1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos B ＝( )

11

A C ．－1

22

D ．1

2

π3

2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝，b ＝1，△ABC ，则a 的值为( )

32

A ．1 B ．2 C.

3

2

D. 3

b ＋c 2A 3．在△ABC 中，cos (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边) ，则△ABC 的形状为( ) 22c

A ．正三角形 B．直角三角 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 π

4．(2013·高考天津卷) 在△ABC 中，∠ABC AB 2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )

4A. 10 10

B.

10310 510

D.

2

2

5

5

2

5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边的长分别为a ，b ，c . 若a ＋b ＝2c ，则cos C 的最小值为( ) A. 3

2

B.

21

C. 22

1

D 2

→→→→

6．直线l 1与l 2相交于点A ，点B 、C 分别在直线l 1与l 2上，若AB 与 AC 的夹角为60°，且|AB |＝2，|AC |＝4，→

则|BC |＝( )

A ．2

B ．23 C ．6

D ．27

π

7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝，3a ＝2c ＝6，则b 的值为( )

3

A. 3

B. 2 6－1

D ．1＋6

8．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )

A. 3

2

B.

333＋6

C. 22

D.

3＋39

4

9．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b . 若2a sin B 3b ，则角A 等于( )

A. π

12

ππ

B. C. 64

D. π

3

10．在斜三角形ABC 中，sin A 2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )

A. π

4

ππ

B. C. 32

D. 3π

4

11．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106 m(如图所示) ，则旗杆的高度为( )

A ．10 m

B ．30 m

C ．3 m

2

D ．6 m

12．在△ABC 中，2sin ＝3sin A ，sin(B －C ) ＝2cos B sin C ，则( )

2AB

A.

113

2

B.

13－1112

C. 22

2

2

A AC

D.

12－1

2

13．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a －c ＝2b ，且sin B ＝6cos A ·sin C ，则b 的值为________． 14．已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．

35

15．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A cos B b ＝3，则c ＝________．

51316．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b cos B ＝a cos B ＋c cos A ，且b ＝3ac ，则角A 的大小为________．

1．解析：选D. 由a cos A ＝b sin B 可得sin A cos A ＝sin B ，所以sin A cos A ＋cos B ＝sin B ＋cos B ＝1. π313222

2．解析：选D. ∵A ＝b ＝1，S △ABC ＝，∴sin A ＝c ＝2. ∴a ＝b ＋c －2bc cos A ＝3，

3222∴a ＝3.

2

2

2

2

2

b ＋c 2A 3．解析：选B. ∵cos 22c

1＋cos A b ＋c b ＋c －a b ＋c 222

∴，∴1＋，化简得a ＋b ＝c ，故△ABC 是直角三角形．

22c 2bc 2c 4．解析：选C. 先利用余弦定理求出AC 边的长度，再利用正弦定理求出sin ∠BAC . 由余弦定理可得AC BA ＋BC －2BA ·BC cos ∠ABC 2

22

2

2

2＋9－2×2×3×3×

2

210105

2

5， 2

＝sin ∠BAC ＝

sin ∠BAC sin ∠ABC

BC AC

a 2＋b 2－c 2c 211222

5．选C. ∵cos C ＝＝a ＋b ≥2ab ，∴2ab ≤2c . 则cos C ≥cos C 2ab 2ab 22

6．解析：选B. 由题意，在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝2，AC ＝4，由余弦定理可知BC ＝AB ＋AC －2·AB ·AC ·cos ∠A ，得BC ＝23，故选B.

222

a 2＋b 2－c 2π2＋b －3

7．解析：选D. 因为3a ＝2c ＝6，所以a ＝2，c ＝3，由余弦定理知cos C ＝cos ＝

2ab 32×2×b

2

2

2

b 2－51

＝＝b ＝16.

4b 2

8．解析：选B. 设AB ＝c ，在△ABC 中，由余弦定理知AC ＝AB ＋BC －2AB ·BC ·cos B ， 即7＝c ＋4－2×2×c ×cos 60°，c －2c －3＝0，即(c －3)(c ＋1) ＝0. 又c ＞0，∴c ＝3.

1111设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式S △ABC ＝AB ·BC ·sin B ＝·h ，知×3×2×sin 60°＝2×h ，

222233

解得h ＝.

2

9．解析：选D. 利用正弦定理将边化为角的正弦．

2

2

2

2

2

在△ABC ，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径) ∵2a sin B 3b ，∴2sin A sin B ＝3sin B . ∴sin A ＝

3π又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝. 23

10．解析：选A. 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C ) ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C 2，tan(B ＋C ) ＝

tan B ＋tan C π

＝－1＝－tan A ，所以角A ＝1－tan B tan C 4

11．解析：选B. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°.

106BC 2由正弦定理得，所以BC ＝206×203(m)，

sin 30°sin 45°2在Rt △CBD 中，CD ＝BC sin 60°＝3×

3

＝30(m)． 2

⎛π⎫12A 12．解析：选A. 由2sin ＝3sin A 可得1－cos A ＝3sin A ，cos A ＋3sin A ＝1，得sin A ＋⎪＝，

6⎭22⎝

ππ7ππ5π2π

又0＜A ＜π，A ＋＜，故A ＋＝A ＝sin(B －C ) ＝2cos B sin C ，得sin B cos C ＝

6666633cos B sin C ．设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，由余弦定理可得a ＝b ＋c －2bc cos A ＝b ＋c ＋bc ， 由sin B cos C ＝3cos B sin C 得b cos C ＝3c cos B ，

2

2

2

2

2

b （a 2＋b 2－c 2）3c （c 2＋a 2－b 2）22

从而，故可得b －bc －3c ＝0，

2ab 2ca b 2⎛b ⎫b 1＋13⎛从而可得 － ⎪－3＝0，从而＝.

c 2⎝c ⎭⎝c ⎭

b 2＋c 2－a 22

13．解析：由正弦定理与余弦定理可知，sin B ＝6cos A sin C 可化为b ＝6·c ，化简可得b ＝

2bc

3(b ＋c －a ) ，又a －c ＝2b 且b ≠0，得b ＝3. 答案：3

14．解析：设△ABC 的三边a 、b 、c 2的等比数列，∴b 2a ，c ＝2a .

2

2

2

2

2

a 2＋b 2－c 2a 2＋2a 2－4a 22

则cos C ＝＝ 2

2ab 422a

34512

15．解析：在△ABC 中，∵cos A ＝＞0，∴sin A ＝∵cos B 0，∴sin B ＝

[1**********]56

∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝××＝

51351365

b c b sin C 14

由正弦定理知＝c .

sin B sin C sin B 5

1

16．解析：依题意得，2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C ) ＝sin B ＞0，则cos B ＝，B

2＝

π33，sin B ＝又3sin A sin C ＝sin 2B ＝∴4sin A sin C ＝1，即2[cos(A －C ) －cos(A ＋C )]＝1，2[cos(A 324

π2ππ7π－C ) ＋cos B ]＝1，∴cos(A －C ) ＝0. 又－π＜A －C ＜π，∴A －C ＝±；又A ＋C ＝A ＝A ＝.

231212