高考数学回归课本基础知识整理
回归课本基础知识整理
第一部分 函数、导数与不等式
（一）函数
1．函数定义域的求法：①函数解析式有意义；②符合实际意义； 注意：做函数题注意定义域优先原则。忽视定义域，苦头吃不尽！！
函数解析式的求法：①待定系数法，②配方法，③换元法，④函数方程法等 函数值域的求法：①配方法 ；②利用函数单调性 ；③换元法 ；
a +b
≤④利用均值不等式 ab ≤2
x
a 2+b 2
； 2
⑤利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；
⑥利用函数有界性（a 、sin x 、cos x 等）；⑦利用导数 2．分段函数：先分段解决，再下结论。
注意：分段函数的表达式必须写成用大括号联结的形式。 3．复合函数
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a ，b ］, 则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数y =f [g (x )]分解为基本函数：内函数u =g (x ) 与外函数y =f (u ) ；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数y =f (u ) 的定义域是内函数u =g (x ) 的值域。 4．函数的奇偶性
⑴f (x ) 是奇函数⇔f (-x ) =-f (x ) ⇔f (-x ) +f (x ) =0； ⑵f (x ) 是偶函数⇔f (-x ) =f (x ) ⇔f (-x ) -f (x ) =0 ； 注意：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 ．．．．
⑶奇函数f (x ) 在原点有定义，必有f (0) =0；
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，等价变形，再判断其奇偶性； 5．函数的单调性
⑴单调性的定义：用定义判断单调性时，必须将差值f (x 1) -f (x 2) 分解因式到可以判断正负为止；
⑵判定单调性的常用方法：
①定义法；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（见4（2）同增异减）；④图像法。 注意：①证明单调性要用定义法或导数法；②单调区间必须是定义域的子集；
③多个单调区间之间不能用“并集”符号，也不能用“或”联结； ④单调区间不能用集合或不等式表示。
6．函数的周期性
(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有f (x +T ) =f (x ) （其中T 为非零常数），
则称函数f (x ) 为周期函数，T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期
①y =sin x :T =2π ；②y =cos x :T =2π ；③y =tan x :T =π；
④y =A sin(ωx +ϕ), y =A cos(ωx +ϕ) :T =
π2π
；⑤y =tan ωx :T =；
|ω||ω|
⑶函数周期的判定：①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）
⑷与周期有关的结论：
1、或f (x +a ) f (x ) =m （a 、f (x )
，都可以得出f (x ) 的周期为2a ； m 均为非零常数，a >0）
②y =f (x ) 的图象关于点(a , 0), (b , 0) 中心对称或y =f (x ) 的图象关于直线x =a , x =b 轴对称，均可以得到f (x ) 周期2a -b
①已知条件中如果出现f (x +a ) =-f (x ) 、或f (x +a ) =7．幂、指、对的运算法则 （1）指数运算法则：①a ⋅a =a
b
m n m +n
，②(a ) =a
a >0, a ≠1, b ∈R , N >0
m n mn
，③(ab ) =a b ；
n n n
→log a N =b （2）指数式与对数式互化：a =N ←−−−−−
对数的三个性质：N >0；log a 1=0；log a a =1 对数恒等式：a
log a N
=N ；
M
=log a M -log a N . 对数运算性质：log a (MN ) =log a M +log a N . log a N
log a m M n =
8．基本初等函数的图像与性质
α
n
log a M m
⑴幂函数：y =x （α∈R )
① 在第一象限必有图像且过定点______，α>0时，函数在第一象限为增函数，α
在第一象限为减函数，
② 函数图像可能分布在一、二象限；也可能分布在一、三象限或只分布在第一象限。当图像分布
在一、二象限时，函数为偶函数，当图像分布在一、三象限时，函数为奇函数
（3）注意一个重要的函数y =x +
1．p >0时，当x >0时x +
p
x
p p
≥x
是减函数；在(-∞, -p ]、[p , +∞) 上是增函数.
0)、2．p
（4）二次函数
㈠解析式：①一般式：f (x ) =ax +bx +c ；②顶点式：f (x ) =a (x -h ) +k ，(h , k ) 为顶点；③零点式：f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2) 。
㈡二次函数问题解决需考虑的因素
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。 ㈢解决二次函数问题的常用方法：①数形结合；②分类讨论。 9．图象的变换 （1）平移变换
①函数y =f (x ±a )(a >0) 的图象：由y =f (x ) 的图象左右平移而得； ②函数y ±a =f (x ) (a >0) 的图象：由y =f (x ) 的图象上下平移而得； （2）对称变换
①函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x=0对称；
函数y =f (x ) 与函数y =-f (x ) 的图象关于直线y=0对称； 函数y =f (x ) 与函数y =-f (-x ) 的图象关于坐标原点对称； ②y =f (x ) →y =f (x )
③y =f (x ) →y =f (|x |)
（3）伸缩变换（主要在三角函数的图象变换中） 与函数图像的对称性有关的常用结论：
①曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：f(2a－x,2b －y)=0; ②曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C 2方程为：f(2a－x, y)=0; ③曲线C 1：f(x,y)=0,关于y=x+a(
或
y=
－
x+a)的对称曲线C 2的方程为 f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0); ④函数y=f(x－a) 与y=f(b－x) 的图像关于直线x=
2
2
a +b
对称； 2
特别地：函数y =f (a +x ) 与函数y =f (a -x ) 的图象关于直线x =0对称。
⑤f(a+x)=f(b－x) （x ∈R ）−−→y=f(x)图像关于直线x=
a +b
对称； 2
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x ∈R ）−−→y=f(x)图像关于直线x=a对称； ⑥如果函数y =f (x ) 对于一切x ∈R , 都有f (a +x ) = f (a -x ) ，那么y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称；如果函数y =f (x ) 对于一切x ∈R , 都有f (a +x ) +f (a -x ) =2b ，那么y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称。
10．函数零点的求法：⑴直接法（求f (x ) =0的根）；⑵图象法；⑶二分法.
（二）导数
11．导数： ⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作y '⑵常见函数的导数公式: ①C =0；②(x ) =nx
'
n '
n -1
x =x 0
=f '(x 0) =lim
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ；
∆x
x ) ' =c o s x ；(cosx ) ' =-sin x ；11x ' x x ' x ' '
⑤(a ) =a ln a ；⑥(e ) =e ；⑦(loga x ) =；⑧(lnx ) = 。
x ln a x
s i (；③n
/
/
⑶导数的四则运算法则：(f (x ) ±g (x ) ) '=f (x ) /±g (x ) /；
f (x ) f (x ) /g (x ) -f (x ) g (x ) /
(f (x ) g (x ) ) '=f (x ) g (x ) +f (x ) g (x ) ；() '=
g (x ) g 2(x )
'' ⑷（理科）复合函数的导数：y 'x =y u ⋅u x ;
⑸导数的应用：
① 利用导数求切线：y -f (x 0) =f (x 0)(x -x 0)
其中P (x 0, f (x 0)) 为切点，f (x 0) 是切线的斜率
在具体问题中应注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？
② 利用导数判断函数单调性：ⅰ f '(x ) >0⇒f (x ) 是增函数；
ⅱ f '(x )
③利用导数求极值：ⅰ求导数f '(x ) ；ⅱ求方程f '(x ) =0的根；ⅲ列表得极值。
④利用导数最大值与最小值：先求极值，再求区间端点的函数值，最后得最大最小值；
/
/
（三）不等式
a +b
≤12．均值不等式：ab ≤2
a 2+b 2
2
a +b 2a 2+b 2
注意：①积定和最小，和定积最大，一正二定三相等；②变形，ab ≤(。 ) ≤
22
2
13．一元二次不等式ax +bx +c >0, (a >0) 的解法：
（1）步骤：一看开口方向（a 的符号），二看判别式 ∆=b -4ac 的符号，三看方程的根写解集. （2）重要结论：ax +bx +c >0(a ≠0) 解集为R （即ax +bx +c >0对x ∈R 恒成立），则
2
2
2
a >0, ∆
注意：若二次项的系数含参数且未指出不为零时，需验证为零的特殊情形！ 14．绝对值不等式
（1）转化法：f (x ) >g (x ) ⇒f (x ) >g (x ) 或f (x ) 0）
f (x ) 0）
（2）性质：||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b | 15．不等式的证明
（1）比较法①作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号；
②作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小. （分母要为正的） ③综合法——由因导果（由前面结论）； ④分析法——执果索因
注意：（1）一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法；
（2）还可以用放缩法、换元法等综合证明不等式.
第二部分 三角函数
一、三角函数的基本概念
1．终边相同的角的表示方法（终边在x 轴上；终边在y 轴上；终边在直线y =x 上；终边在第一
象限等），理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算； ⑴角度制与弧度制的互化： π弧度=180 ，1 =
π
18011
⑵弧长公式：l =θR ；扇形面积公式：S =θR 2=Rl 。
22
弧度，1弧度=(
180
π
) ≈57 18'
2．任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同
角三角函数的关系式（三个：平方关系、商数关系、倒数关系）、诱导公式（奇变．．
偶不变，符号看象限π-α、π+α、-α、2π-α、2k π+α(k ∈Z ) 、．．．．．．．．．
⑴三角函数定义：角α中边上任意一点P 为(x , y ) ，设|OP |=r s i n α=⑵三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦； ⑶同角三角函数的基本关系：sin 2x +cos 2x =1;
π
2
； -α）
y x y
, c o s α=, t a n α= r r x
sin x
=tan x cos x
3．有用的结论
⑴半角所在的象限：
⑵sin α+cos α和sin α-cos α的符号规律：
二、两角和与差的三角函数
1．和（差）角公式
①sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β;
②cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β; ③tan(α±β) =2．二倍角公式
二倍角公式：①sin 2α=2sin αcos α；
②cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；③tan 2α=
3．有用的公式
⑴升（降）幂公式：sin α=
2
tan α±tan β
1 tan αtan β
2tan α
2
1-tan α
1-cos 2α1+cos 2α12
、cos α=、sin αcos α=sin 2α；
222
α+ϕ) （ϕ由a , b 具体的值确定）；
⑶正切公式的变形：tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan α⋅tan β) .
⑵辅助角公式：a sin α+b cos α=
4．有用的解题思路
⑴“变角找思路，范围保运算”； ⑵“降幂——辅助角公式——正弦型函数”； ⑶巧用sin α±cos α与sin α⋅cos α的关系；⑷巧用三角函数线——数形结合.
三、三角函数的图象与性质
1．列表综合三个三角函数y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象与性质，并挖掘：
⑴最值的情况；
⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求y =A sin(ωx +ϕ) 的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况； ．．．．．．．．．．．．．⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；
y =sin x 的对称轴是x =k π+
π
2
(k ∈Z ) ，对称中心是(k π,0) (k ∈Z ) ；
y =cos x 的对称轴是x =k π(k ∈Z ) ，对称中心是(k π+y =tan x 的对称中心是(
⑷写单调区间注意ω>0.
π
2
,0) (k ∈Z )
k π
,0)(k ∈Z ) 2
注意：单调区间不可以用并集符号！不能说正切函数在定义域上为增函数
2．了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数
y =A sin(ωx +ϕ) 的简图，并能由图象写出解析式． ⑴“五点法”作图的列表方式； ⑵求解析式y =A sin(ωx +ϕ) 时处相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式x 1=-
平移
ϕ. ω
3．正弦型函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图象变换切记：y =A sin ωx →y =A sin(ωx +ϕ) 注意图象变换有时用向量表达，注意两者之间的转译.
ϕω
四、解三角形
Ⅰ．正、余弦定理
a b c
===2R （2R 是∆ABC 外接圆直径） sin A sin B sin C
注：①a :b :c =sin A :sin B :sin C ；②a =2R sin A , b =2R sin B , c =2R sin C ；
a b c a +b +c ③。 ===
sin A sin B sin C sin A +sin B +sin C
b 2+c 2-a 2222
⑵余弦定理：a =b +c -2bc cos A 等三个；注：cos A =等三个。
2bc
⑴正弦定理Ⅱ。几个公式: ⑴三角形面积公式：
S ∆ABC =
⑵内切圆半径r=
11
ah =ab sin C =22
2S ∆ABC
p (p -a )(p -b )(p -c ) , (p =
；外接圆直径2R=
1
(a +b +c )) ； 2
a +b +c
a b c ==; sin A sin B sin C
⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B Ⅲ．已知a , b , A 时三角形解的个数的判定：
A
其中h=bsinA,⑴A 为锐角时：①a⑵A 为直角或钝角时：①a ≤ b 时，无解；②a>b时，一解（锐角）。
第三部分 立体几何
1. 平面的基本性质:三个公理，三个推论
2. 空间线面的位置关系
共面平行—没有公共点
(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点
异面()
直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内
(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面
相交—有一条公共直线(无数个公共点)
平行—没有公共点
3. 线面平行
（1）直线和平面平行的判定定理：
l ||m ⎫
⎪
l ⊄α⎬⇒l ||α m ⊂α⎪⎭
（2）直线和平面平行的性质定理：
⎫⎪
l ⊂β⎬⇒l ||m α⋂β=m ⎪⎭4．线面垂直
l ||α
图
图
（1）直线与平面垂直的定义：∀m ⊂α, l ⊥m ⇔l ⊥α
（2）直线与平面垂直的判定定理：
图
l ⊥a
⎫⎪l ⊥b ⎪⎪
a ⊂α⎬⇒l ⊥α
⎪b ⊂α
⎪
a ⋂b =O ⎪⎭
图
m ⊥α⎫
又一方法：⎬⇒l ⊥α
l ||m ⎭
（3）直线与平面垂直的性质定理：
m ⊥α⎫
⎬⇒l ||m （见上图（2）右） l ⊥α⎭
（4）过一点作已知直线的垂直平面，有且只有一个；过一点作已知平面的垂线，有且只有一条。
5．面面平行
（1）平面与平面平行的判定定理：
a ||β
b ||β⎫
⎪
a ⊂αb ⊂α⎬⇒α||β
⎪a ⋂b =O ⎭
（2）平面与平面平行的性质定理：
α||β⎫
⎪
α⋂γ=a ⎬⇒a ||b β⋂γ=b ⎪⎭
（3）利用定义可得
α||β⎫
⎬⇒a ||β(b ||α)
a ⊂αb ⊂β⎭α||β⎫②⎬⇒a ||b 或a , b 为异面直线 a ⊂αb ⊂β⎭6．面面垂直
①
图
（1）平面与平面垂直的定义：平面角为直角的二面角称为 直二面角，直二面角的两个半平面所在的平面互相垂直。
l ⊥α⎫
⎬⇒α⊥β（2）平面与平面垂直的判定定理：
l ⊂β⎭
α⊥β⎫
⎪l ⊂β⎪
（3）平面与平面垂直的性质定理：⎬⇒l ⊥α
α⋂β=m ⎪
l ⊥m
⎪⎭
图（2）
推论：两个平面垂直，经过其中一个平面一点作另一个平面的垂线，则垂线在第一个平面内。
7．空间平行与垂直之间的联系（尝试一下证明）
（1）直线l 在平面β外，若l ⊥平面α且平面β⊥平面α， 则直线l ∥平面β；
（2）直线l 在平面β外，若l ⊥平面α且直线l ∥平面β， 则平面β⊥平面α；
（3）直线m 在平面α外，直线l ⊥平面α，直线l ⊥直线m
图（1） 则直线m ∥平面α；
（4）直线m 在平面α外，直线l ⊥平面α，直线m ∥平面α 则直线l ⊥直线m ；
（5）平面α∥平面β，直线l ⊥平面α，则直线l ⊥平面β （6）直线l ⊥平面β，直线l ⊥平面α，则平面α∥平面β
注：（5）、（6）在几何证题中可以直接用
8．空间几何体的表面积与体积
图（3）
⑴柱体（圆柱）：
图（4） ①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S 侧=2πrh ；③体积：V=S底
h
⑵锥体（圆锥）：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S 侧=πrl ；③体积：V=⑶圆台：①侧面积：S 侧=π(r +r ) l ；②体积：V=
2
'
1
S 底h ： 3
1' '
（S+SS +S ）h ； 3
⑷球体：①表面积：S=4πR ；②体积：V=πR 3
43
9．常用几何的体的结论
（1）长方体的性质
①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为α, β, γ, 则：
α+cos2β+cos2γ=1；sin 2α+sin2β+sin2γ=2 。
②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为α, β, γ, 则有
222222
cos α+cosβ+cosγ=2；sin α+sinβ+sinγ=1 。
cos
2
（2）正四面体的性质：设棱长为a ，则正四面体的
①高：h =
626a ；②对棱间距离：a ；③内切球半径：a ；④外接球半径：a 32124
第四部分 直线与圆
一、直线的基本量
1．两点间距离公式：若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则AB =2．直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α∈[0,π) ；当α≠
(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2
特别地：AB //x 轴，则= ；AB //y 轴，则AB = .
π
2
时，直线的斜率k =tan α.
（2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化——右图 3．直线在x 轴和y 轴上的截距 （1）截距非距离；（2）“截距相等”的含义 4．直线的方向向量
（1）若直线的斜率为k ，则直线的一个方向向量是（1，k ）；(斜率不存在时为(0, 1) ) （2）若直线的方程为Ax +By +C =0，则直线的方向向量是（B ，－A ）
二、直线方程
1. 基本形式
⑴点斜式：y -y =k (x -x ) ； ⑶截距式：
⑵斜截式：y =kx +b ；
y -y 1x -x 1x y
= ； +=1 ； ⑷两点式：
y 2-y 1x 2-x 1a b
⑸一般式：Ax +By +C =0，（A ，B 不全为0）
2．一般不用“两点式”；注意每一种形式的适用条件；注意两种形式之间的转换.
三、两条直线的位置关系
四、点到直线的距离
1．点P (x 0, y 0) 到直线Ax +By +C =0的距离： d =
Ax +By +C
A +B
2
2
2．平行线间距离：若Ax +By +C 1=0、Ax +By +C 2=0，则d =
注意：x ，y 对应项系数应相等.
C 1-C 2A +B
2
2
.
五、圆
1．确定圆需三个独立的条件
（1）标准方程：(x -a ) +(y -b ) =r ， 其中圆心为(a , b ) ，半径为r . （2）一般方程：x +y +Dx +Ey +F =0（D +E -4F >0)
2
2
2
2
2
2
2
D E
其中圆心为(-, -) ，半径为r =
22
2
D 2+E 2-4F
.
2
2
2
注：圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。 2．直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系
（1）位置关系判断方法：半径比较法（首选）、判别式法. （2）求圆的弦长方法：垂径定理. （3）求圆的切线：“d =r ”.
六、点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离）
①d =R ⇔点在圆上；②d R ⇔点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系：（d 表示圆心到直线的距离）
①d =R ⇔相切；②d R ⇔相离。 ⑶圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距，R , r 表示两圆半径，且R >r ）
①d >R +r ⇔相离；②d =R +r ⇔外切；③R -r
七、直线系
八、圆系：
2222
⑴x +y +D 1x +E 1y +F 1+λ(x +y +D 2x +E 2y +F 2) =0, (λ≠-1) ； 注：当λ=-1时表示两圆公共弦所在直线方程。
22
⑵x +y +Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C ) =0, (λ≠-1) 九、常用结论：
2222
1、过圆x +y =r 上的点P (x 0, y 0) 的切线的方程为xx 0+yy 0=r .
过圆(x-a)+(y-b)=r上的点M(x0,y 0) 的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r； 2、以A(x1，y 2) 、B(x2,y 2) 为直径的圆的方程：(x－x 1)(x－x 2)+(y－y 1)(y－y 2)=0。
2
2
2
2
第五部分 圆锥曲线
一、椭圆
1．定义
（1）第一定义：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且PF ， 1+PF 2=2a >F 1F 2 （a 为常数）
则P 点的轨迹是椭圆。
（2）焦半径：P (x o , y o ) 为椭圆上一点，F 1、F 2 分别为左右焦点，则
a 2a 2
PF 1=e (+x 0) =a +ex 0， PF 2=e (-x 0) =a -ex 0；
c c
2．标准方程：
x 2y 2
（1）焦点在x 轴上：2+2=1 (a >b >0) ；
a b y 2x 2
焦点在y 轴上：2+2=1 (a >b >0) ；
a b
（2）焦点的位置⇔标准方程形式 3．几何性质（以焦点在x 轴上为例） （1）范围： -a ≤x ≤a 、-b ≤y ≤b ；（2）对称性；
a c （3）离心率e =，（e
c a
b 2
（4）有用的结论：PF 2=2a -PF 1，a -c ≤PF 1≤a +c ，焦点与准线距离：
c
2
2b 2
通径（过焦点与椭圆的长轴垂直的弦）长：，
a
（5）焦点三角形
．S ∆PF 1F 2=b 2tan
θ
2
，（θ=∠F 1PF 2）；
．点M 是∆PF 1F 2内心，PM 交F 1F 2于点N ，则
PM a
、余弦=注意：经常结合第一定义与正弦定理．．．．．．
MN c
定理．．，建立PF 1+PF 2、PF 1〃PF 2等关系，解决角
∠F 1PF 2、数量积PF 1⋅PF 2、焦点三角形面积等问题 二、双曲线
1．定义：
（1）第一定义：若F 1，F 2是两定点，（a 为常数）， 则动点P 的轨迹是双曲线。 2．标准方程
x 2y 2y 2x 2
（1）焦点在x 轴上：2-2=1；焦点在y 轴上：2-2=1
a b a b
3．几何性质（以焦点在x 轴上为例）
（1）范围：x ≥a 或x ≤-a 、y ∈(-∞, +∞) ；（2）对称性 ；
a c x =±（3）离心率e =，准线方程（e >1）
c a
x 2y 2b
（4）渐近线方程：2-2=0⇒y =±x .
a b a
注意与渐近线有关的结论：
2
x y x y b
①若渐近线方程为y =±x ⇒±=0⇒双曲线可设为2-2=λ；（λ≠0）
a b a b a x 2y 2x 2y 2
②若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ≠0）
a b a b
（λ>0，焦点在x 轴上；λ
（5）等轴双曲线
22
2；③渐近线互相垂直，分别为y=±x ，④方程：x 2-y 2=λ
（6）有用的结论：PF 2=PF 1+2a (或PF 2=PF 1-2a ) ，PF 1≥c -a
①a =b ；②离心率e =
2b 2
通径（过焦点与椭圆的长轴垂直的弦）长：，
a
（7）双曲线的焦点三角形： ．S ∆PF 1F 2=
b 2tan
2
，（θ=∠F 1PF 2）；
y x －=1(a＞0，b ＞0) 的左（右）支 22a b
上一点，则∆PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为-a , (或a ) ；
三、抛物线
． P是双曲线
1．定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）。 2．标准方程（以焦点在x 轴的正半轴为例）： y =2px (p >0) （其中p 为焦点到准线的距离——焦参数）； 3．几何性质
2
22
p p p
, 0) ，通径AB =2p ，准线：x =-； 焦半径：PF =x 0+，
222
p p
过焦点弦长CD =x 1++x 2+=x 1+x 2+p （x 1、x 2分别为端点的横坐标）
22
p
（2）几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=p ；
2
通径长=2p （通径是最短的焦点弦），顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
（1）焦点：(
y 22
（3）抛物线y =2px 上的动点可设为P ( , y ) 或P (2pt ,2pt ) 或P (x , y ) （y =2px ）。
2p
2
2
4．抛物线中的常用结论
p 21122
①焦点弦AB 性质：． x 1x 2=；y 1y 2=-p ；．+=；
4AF BF p
．以AB 为直径的圆与准线相切；．以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切； 2
②抛物线y =2px(p>0)，对称轴上一定点A (a , 0) ，则
．当0
2
．当a >p 时，抛物线上有关于x 轴对称的两点到点A 距离最小，最小值为2ap -p
第六部分 平面向量
一、向量的基本概念
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量.
二、加法与减法运算
1．代数运算
(1)A 1A 2+A 2A 3+ +A n -1A n =A 1A n ．
(2)若a =（x 1, y 1）, b =（x 2, y 2）则a ±b =（x 1±x 2, y 1±y 2）． 2．几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量=+,
=－, =－. 且有︱︱－︱︱≤︱±︱≤︱︱+︱︱．
3．运算律
向量加法有如下规律：＋=＋(交换律) ；+(+ c )=(+ )+ c （结合律）；
+= ＋(－)=.
三、实数与向量的积
实数λ与向量的积是一个向量。 1．︱λ︱=︱λ︱·︱︱；
(1) 当λ＞0时，当λ＜0时，当λ=0时， λa 与a 的方向相同；λa 与a 的方向相反；λa =0． (2)若=（x 1, y 1），则λ·=（λx 1, λy 1）． 2．两个向量共线的充要条件：
(1) 向量与非零向量共线的充要条件是：有且仅有一个实数λ，使得=λ． (2) 若a =（x 1, y 1）, b =（x 2, y 2）则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0．
四、平面向量基本定理
1．若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且
只有一对实数λ1，λ2，使得=λ1e 1+ λ2e 2．
2．有用的结论：若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数λ1，λ2，使得
λ1e 1+ λ2e 2=0，则λ1=λ2=0. 五、向量的数量积
00
1．向量的夹角：已知两个非零向量与b ，作=, = b , 则∠AOB=θ （0≤θ≤180）
叫做向量与b 的夹角（两个向量必须有相同的起点）。 ．．．．．
2．两个向量的数量积：两个非零向量与b ，它们的夹角为θ，则·b =︱︱·︱b ︱cos θ．
其中︱b ︱cos θ称为向量b 在方向上的投影．
3．向量的数量积的性质：若=（x 1, y 1）, b =（x 2, y 2）
=·e =︱︱cos θ (e 为单位向量) ；⊥b ⇔·e ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0；（1）（2）
x 1x 2+y 1y 2a ⋅b （3）︱a ︱
=（4）cos θ= =．
2222
a ⋅b x 1+y 1⋅x 2+y 2
4．向量的数量积的运算律：
a ·b = b ·a ；(λa ) ·b =λ(a ·b )=a ·(λb ) ；(a ＋b ) ·c =a ·c + b ·c ． 注意：①与向量a =(m , n ) 垂直且模相等的向量为b =(-n , m ) 或b =(n , -m ) ；
②在∠AOB 平分线上的向量可以记为OC =λ(
+) (λ≠0) |OA ||OB |
③向量与向量夹角为锐角⇔〃>0且、不共线； ④向量与向量夹角为钝角⇔〃
第七部分 数列
一、数列的定义和基本问题
1．通项公式：a n =f (n ) （用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性）； 2．前n 项和：S n =a 1+a 2+⋯+a n ；
3．通项公式与前n 项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：a n =⎨
n =1⎧S 1,
S -S , n ≥2n -1⎩n
注意：已知数列的前n 项和，求通项公式时常常会出现忘记讨论n =1的情形而致错。
二、等差数列
1．定义和等价定义：a n -a n -1=d (n ≥2) ⇔{a n }是等差数列；
2．通项公式：a n =a 1+(n -1) d =An +B ；推广：a n =a m +(n -m ) d ； 3．前n 项和公式：S n =4．重要性质举例
a 1+a n n (n -1)
⋅n =na 1+d =An 2+Bn ； 22
a +b
； 2
②若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q ；特别地：若m +n =2p ，则a m +a n =2a p ；
①a 与b 的等差中项A =
③奇数项a 1, a 3, a 5，„成等差数列，公差为2d ；偶数项a 2, a 4, a 6，„成等差数列，公差为2d . ③ 若有奇数项2n +1项，则S 2n +1=(2n +1) a n +1，S 奇-S 偶=a n +1，④ 若有偶数项2n 项，则S 偶-S 奇=nd ，
S 奇S 偶
=
n +1
； n
S 奇S 偶
=
a n
； a n +1
⑤设A =a 1+a 2+⋯+a n , ，B =a n +1+a n +2+⋯+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+⋯+a 3n ， 则有2B =A +C ； ⑥当a 1>0, d 0时，S n 有最小值.
⑦用一次函数理解等差数列的通项公式；用二次函数理解等差数列的前n 项和公式.
三、等比数列
a
1．定义：n =q (n ≥2, a n ≠0, q ≠0) ⇔{a n }成等比数列；
a n -1
2．通项公式：a n =a 1q
n -1
；推广a n =a m q
n -m
；
(q =1) ⎧na 1
⎪
3．前n 项和S n =⎨a 1(1-q n ) a 1-a n q ；
=(q ≠1) ⎪1-q 1-q ⎩
注意：必须先看一下公比是否等于1
4．重要性质举例
①a 与b 的等比中项
G ⇔G =ab ⇔G =（a , b 同号）；
②若m +n =p +q ，则a m ⋅a n =a p ⋅a q ；特别地：若m +n =2p ，则a m ⋅a n =a p ；
③设A =a 1+a 2+⋯+a n , ，B =a n +1+a n +2+⋯+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+⋯+a 3n ， 则有B =A ⋅C ； ④用指数函数理解等比数列（当a 1>0, q >0, q ≠1时）的通项公式.
22
2
注意:解决数列问题时, 注意整体代换思想, 如:数列{a n }的前n 项和为S n , S 10=1, S 20=3, 则
(1)当{a n }为等差数列时, S 30= ；(2)当{a n }为等比数列时, S 30= .
四、等差数列与等比数列的关系举例
a
1．{a n }成等差数列⇔{b n }成等比数列；
2．{a n }成等比数列
⇔{log a }成等差数列.
b
n
a n >0
五、数列求和的常用方法
1．等差数列与等比数列； 2．几种特殊的求和方法
1111
=(-)
(An +B )(An +C ) C -B An +B An +C
（2）错位相减法：a n =b n ⋅c n , 其中{b n }是等差数列， {c n }是等比数列
（1）裂项相消法；a n =
记S n =b 1c 1+b 2c 2+⋯+b n -1c n -1+b n c n ；则qS n =b 1c 2+⋯⋯+b n -1c n +b n c n +1，„ （3）通项分解法：a n =b n ±c n
六、递推数列与数列思想
1．递推数列
（1）能根据递推公式写出数列的前几项；
（2）常见题型：由f (S n , a n ) =0，求a n , S n . 解题思路：利用a n =S n -S n -1, (n ≥2) 2．数学思想
（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若a n -a n -1=f (n ),(n ≥2) ，则„„； （2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）； （4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）
a n
=g (n )(n ≥2) ，则„„； a n -1
第八部分 复数
1．概念：
⑴z=a+bi∈R ⇔b=0 (a,b∈R) ⇔z=⇔ z≥0； ⑵z=a+bi是虚数⇔b ≠0(a,b∈R) ；
2
⑶z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b ≠0(a,b∈R) ⇔z ＋＝0（z ≠0）⇔z
2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R) ，则：
（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z 2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd ）+ (ad+bc)i；
2
(a +bi )(c -di ) +bd bc -ad (z≠0) ; = ac 2+2i 222
(c +di )(c -di ) c +d c +d
3．几个重要的结论：
⑶z 1÷z 2 =
(1) z 1+z 2+z 1-z 2=2(z 1+z 2); (2) z ⋅=z =；⑶(1±i )
2
2
2
2
2
2
2
1+i 1-i
=i ; =-i ; =±2i ；⑷
1-i 1+i
⑸i 的性质：T=4；i
4n
=1, i 4n +1=i , i 4n +2=-1, i 4n +3=-i ；
i n +i n +1+i n +2+i n +3=0; ；i n ⋅i
（6）1的3次方根：ω=-
n +1
⋅i n +2⋅i n +3=-1;
13
±i 以3为周期，且ω0=1, ω2=, 3=1；1+ω+ω2=0；
221
（7）z =1⇔z z =1⇔=。
z
m m m n m +n m n mn m
4．运算律：（1）z ⋅z =z ; (2)(z ) =z ; (3)(z 1⋅z 2) =z 1z 2(m , n ∈N );
5．共轭的性质：⑴(z 1±z 2) =z 1±z 2 ；⑵z 1z 2=z 1⋅z 2 ；⑶(6．模的性质：
⑴||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；
z |z |n n
⑵|z 1z 2|=|z 1||z 2|；⑶|1|=1；⑷|z |=|z |；
z 2|z 2|
z 1z
) =1 ；⑷ z =z 。 z 2z 2
第九部分 集合与常用逻辑用语
1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因．．．．．变量的取值？还是曲线上的点？„ ；
2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或维恩图等．．．．工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决，特别是在集合的交、并、补的运算之中。φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意:正难则反! 补集思想的应用（反证法，对立事件，排除法等）
3．常见的包含关系：
（1）A ⊆B ⇔A B =A ⇔A B =B ; (注意：讨论的时候不要遗忘了A =φ的情况) ； （2）C I (A B ) =(C I A ) (C I B ); C I (A B ) =(C I A ) (C I B ) 。 4．四种命题的关系：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
注意：判断命题真假时常常借助其逆否命题来判断原命题真假
5．充要条件的判断：
（1）定义法----正、反方向推理；（2）利用集合间的包含关系
例如：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B，则A 是B 的充要条件；
注意：判断A 与B 的充要关系时，常常先将A 、B 化为最简。
6．含有逻辑连接词的命题：
⑴“且命题”一假全假； ⑵“或命题”一真全真；
⑶“命题p ”与“命题⌝p ”有且只有一个是真命题。 7．全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用∀表示；
全称命题p ：∀x ∈M , p (x ) ； 全称命题p 的否定⌝p ：∃x ∈M , ⌝p (x ) 。 ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用∃表示；
存在性命题p ：∃x ∈M , p (x ) ；存在性命题p 的否定⌝p ：∀x ∈M , ⌝p (x ) ；
问题：命题“若x ≥-1，则x 2≥1”的否定是什么？
第十部分 概率、统计与统计案例
一、概率
1．事件的关系：
⑴事件B 包含事件A ：事件A 发生，事件B 一定发生，记作A ⊆B ；
⑵事件A 与事件B 相等：若A ⊆B , B ⊆A ，则事件A 与B 相等，记作A=B； ⑶事件A 与事件B 互斥：若A ⋂B 为不可能事件（A ⋂B =φ），则事件A 与互斥； ⑷对立事件：A ⋂B 为不可能事件，A ⋃B 为必然事件，则A 与B 互为对立事件。 2．概率公式：
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
A 包含的基本事件的个数
；
基本事件的总数
构成事件A 的区域长度（面积或体积等）
⑶几何概型：P (A ) = ；
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
二、统计与统计案例
⑵古典概型：P (A ) =
1．抽样方法
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。 注：①每个个体被抽到的概率为
n ； N
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的 规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ； ④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数⨯2．总体特征数的估计：
n
⑴样本平均数=1(x 1+x 2+⋅⋅⋅+x n ) =1∑x i ；
n N
n n
i =1
n
⑵样本方差S 2=1[(x 1-) 2+(x 2-) 2+⋅⋅⋅+(x n -) 2]=1∑(x i -) 2 ；
n n
i =1
n
⑶样本标准差S =1[(x 1-) 2+(x 2-) 2+⋅⋅⋅+(x n -) 2]=1∑(x i -) 2 ；
n n
i =1
n
⎧
(x i -x )(y i -y ) ∑⎪
ˆi =1⎪=⎪b =n
3．线性回归方程：⎨
(x i -x ) 2∑⎪i =1
⎪
ˆx ⎪ˆ=y -b ⎩a
∑x y
i i =1
n i =1
n
i
-n x y
1n 1n
2（*） =∑x i , =∑y i 2, x -n (x ) ∑i n i =1n i =1
相关系数（判定两个变量线性相关性）：r =
∑(x
i =1
n
i
-x )(y i -y )
n
∑(x
i =1
n
i
-x ) 2∑(y i -y ) 2
i =1
注：⑴r >0时，变量x , y 正相关；r
⑵①|r | 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②|r | 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
4．独立性检验（分类变量关系）： 随机变量K 2越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
第十一部分 推理与证明
一．推理：
⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。 注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。 注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。 注：演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二．证明 ⒈直接证明
⑴综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2．间接证明------反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
附：数学归纳法（仅限理科）
一般的证明一个与正整数n 有关的一个命题，可按以下步骤进行： ⑴证明当n 取第一个值n 0是命题成立；
⑵假设当n =k (k ≥n 0, k ∈N ) 命题成立，证明当n =k +1时命题也成立。 那么由⑴⑵就可以判定命题对从n 0开始所有的正整数都成立。
注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；
*
②n 0的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。
第十二部分 算法初步
1．程序框图：
①
终端框（起止况）输入、输出框；⑥
连接点。
③处理框（执行框）；④
；
⑵程序框图分类:
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while Ⅱ．直到型（until 型）——先执行一次循环体，再判断条件。
2．基本算法语句：
⑴输入语句：“提示内容”；变量 “提示内容”；表达式 赋值语句：⑵条件语句：① ②
条件条件 THEN
语句体语句体1
语句体2
⑶循环语句：①当型： ②直到型:
条件循环体循环体
条件
3．算法案例：⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数；
⑵秦九韶算法------求多项式的值；
⑶进位制----------各进制数之间的互化