成才之路人教A版数学必修1练习第1章

第一章综合素能检测

本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)

1．已知集合A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,6,9}，C ＝{3,7,8}，则(A ∩B ) ∪C 等于( ) A ．{0,1,2,6,8} C ．{1,3,7,8} [答案] C

[解析] A ∩B ＝{1,3}，(A ∩B ) ∪C ＝{1,3,7,8}，故选C.

2．(09·陕西文) 定义在R 上的偶函数f (x ) 满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2) ，有f (x 2) －f (x 1)

x 2－x 1

A ．f (3)

[解析] 若x 2－x 1>0，则f (x 2) －f (x 1)

∴f (x ) 在[0，＋∞) 上是减函数， ∵3>2>1，∴f (3)

则f (g (1))的值为( ) A ．－1 C ．1 [答案] C

B ．{3,7,8} D ．{1,3,6,7,8}

B ．f (1)

B ．0 D ．不存在

[解析] ∵g (1)＝0，f (0)＝1，∴f (g (1))＝1.

4．已知函数f (x ＋1) ＝3x ＋2，则f (x ) 的解析式是( ) A ．3x ＋2 C ．3x －1 [答案] C

[解析] 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t ) ＝3(t －1) ＋2＝3t －1，∴f (x ) ＝3x －1.

⎧⎪2x －1 (x ≥2)

5．已知f (x ) ＝⎨2，则f (－1) ＋f (4)的值为( )

⎪－x ＋3x (x

B ．3x ＋1 D ．3x ＋4

A ．－7 C ．－8 [答案] B

B ．3 D ．4

[解析] f (4)＝2×4－1＝7，f (－1) ＝－(－1) 2＋3×(－1) ＝－4，∴f (4)＋f (－1) ＝3，故选B.

6．f (x ) ＝－x 2＋mx 在(－∞，1]上是增函数，则m 的取值范围是( ) A ．{2}

B ．(－∞，2] D ．(－∞，1]

C ．[2，＋∞) [答案] C

m 2m 2m m

[解析] f (x ) ＝－(x －＋(－∞，]，由条件知1，∴m ≥2，故选C.

24227．定义集合A 、B 的运算A *B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B ，且x ∉A ∩B }，则(A *B )*A 等于( ) A ．A ∩B C ．A [答案] D

[解析] A *B 的本质就是集合A 与B 的并集中除去它们的公共元素后，剩余元素组成的集合．

因此(A *B )*A 是图中阴影部分与A 的并集，除去A 中阴影部分后剩余部分即B ，故选D.

[点评] 可取特殊集合求解．

如取A ＝{1,2,3}，B ＝{1,5}，则A *B ＝{2,3,5}，(A *B )*A ＝{1,5}＝B . 8．(广东梅县东山中学2009～2010高一期末) 定义两种运算：a (a －b ) ，则函数f (x ) ＝A ．奇函数 B ．偶函数

B ．A ∪B D ．B

b ＝a －b ，a ⊗b ＝

为( )

C ．奇函数且为偶函数 D ．非奇函数且非偶函数 [答案] A

[解析] 由运算 与⊗的定义知， f (x ) ＝

，

(x －2) －24－x ∵4－x 2≥0，∴－2≤x ≤2， 4－x 4－x ∴f (x ) ＝＝－，

x (2－x ) －2

∴f (x ) 的定义域为{x |－2≤x

⎧⎪x ＋2， x ≤0，

9．(08·天津文) 已知函数f (x ) ＝⎨则不等式f (x ) ≥x 2的解集为( )

⎪－x ＋2， x >0，⎩

A ．[－1,1] C ．[－2,1] [答案] A

B ．[－2,2] D ．[－1,2]

[解析] 解法1：当x ＝2时，f (x ) ＝0，f (x ) ≥x 2不成立，排除B 、D ；当x ＝－2时，f (x ) ＝0，也不满足f (x ) ≥x 2，排除C ，故选A.

⎧⎧x >0⎪x ≤0⎪

⎨解法2：不等式化为⎨2， 2或⎪⎪x ＋2≥x ⎩－x ＋2≥x ⎩

解之得，－1≤x ≤0或0

10．调查了某校高一一班的50名学生参加课外活动小组的情况，有32人参加了数学兴趣小组，有27人参加了英语兴趣小组，对于既参加数学兴趣小组，又参加英语兴趣小组的人数统计中，下列说法正确的是( )

A ．最多32人 C ．最少27人 [答案] D

[解析] ∵27＋32－50＝9，故两项兴趣小组都参加的至多有27人，至少有9人． 1

11．设函数f (x )(x ∈R ) 为奇函数，f (1)＝，f (x ＋2) ＝f (x ) ＋f (2)，则f (5)＝( )

2A ．0 5

C. 2[答案] C

B ．1 D ．5

B ．最多13人 D ．最少9人

11

[解析] f (1)＝f (－1＋2) ＝f (－1) ＋f (2)，又f (－1) ＝－f (1)＝－∴f (2)＝1，

225

∴f (5)＝f (3)＋f (2)＝f (1)＋2f (2)＝.

2

⎧⎪g (x ) ，若f (x ) ≥g (x ) ，

12．已知f (x ) ＝3－2|x |，g (x ) ＝x －2x ，F (x ) ＝⎨则F (x ) 的最值是( )

⎪f (x ) ，若f (x )

2

A ．最大值为3，最小值－1 B ．最大值为7－7，无最小值 C ．最大值为3，无最小值 D ．既无最大值，又无最小值 [答案] B

[解析] 作出F (x ) 的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选

B.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2010·江苏，1) 设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.

[答案] －1

[解析] ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ， ∵a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝－1.

⎧⎪2 (n ＝1)

14．已知函数y ＝f (n ) 满足f (n ) ＝⎨，则f (3)＝________.

⎪⎩3f (n －1) (n ≥2)

[答案] 18

[解析] 由条件知，f (1)＝2，f (2)＝3f (1)＝6，f (3)＝3f (2)＝18.

15．已知函数f (x ) ＝2－ax (a ≠0) 在区间[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．

[答案] (0,2]

[解析] a 0.

2

由2－ax ≥0得，x ≤，

a 2

∴f (x ) 在(－∞上是减函数，

a 2

由条件1，∴0

a

16．国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为________．

[答案] 3800元

[解析] 由于4000×11%＝440>420，设稿费x 元，x

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分) 设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，集合B ＝{x |x 5}，分别就下列条件求实数a 的取值范围：

(1)A ∩B ≠∅，(2)A ∩B ＝A .

[解析] (1)因为A ∩B ≠∅，所以a 5，即a 2. (2)因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以a >5或a ＋35或a

(2)若f (x ) 在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求a 的取值范围． [解析] (1)∵f (x ) 为二次函数且f (0)＝f (2)， ∴对称轴为x ＝1.

又∵f (x ) 最小值为1，∴可设f (x ) ＝a (x －1) 2＋1 (a >0) ∵f (0)＝3，∴a ＝2，∴f (x ) ＝2(x －1) 2＋1， 即f (x ) ＝2x 2－4x ＋3.

1(2)由条件知2a 2

19．(本题满分12分) 图中给出了奇函数f (x ) 的局部图象，已知f (x ) 的定义域为[－5,5]，试补全其图象，并比较f (1)与f (3)的大小．

[解析] 奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象如图．显见f (3)>f (1)．

20．(本题满分12分) 一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm 与60cm 现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪法，才能使剩下的残料最少？

[解析] 如图，剪出的矩形为CDEF ，设CD ＝x ，CF ＝y ，则AF ＝40－y . ∵△AFE ∽△ACB . ∴

40－y x AF FE

＝∴＝AC BC 4060

2

∴y ＝40x . 剩下的残料面积为：

3

122S ＝×60×40－x ·y ＝x 2－40x ＋1 200x －30) 2＋600 233∵0

∴在边长60cm 的直角边CB 上截CD ＝30cm ，在边长为40cm 的直角边AC 上截CF ＝20cm 时，能使所剩残料最少．

21．(本题满分12分)

a

(1)若a

x a

(2)若a >0，判断并证明f (x ) ＝x ＋(0，a ]上的单调性．

x a

[解析] (1)∵a

x a

又y ＝x 为增函数，∴f (x ) ＝x ＋在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上都是增函数．

x a

(2)f (x ) ＝x ＋(0，a ]上单调减，

x 设0

a (x 2－x 1) a a

＝(x 1＋) －(x 2＋＝(x 1－x 2) ＋

x 1x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－

a

)>0， x 1x 2

∴f (x 1)>f (x 2) ，∴f (x ) 在(0a ]上单调减．

22．(本题满分14分) 设函数f (x ) ＝|x －a |，g (x ) ＝ax . (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式f (x )

(2)记F (x ) ＝f (x ) －g (x ) ，求函数F (x ) 在(0，a ]上的最小值(a >0)． [解析] (1)|x －2|

⎧⎧⎪x ≥2，⎪x

22∴x ≥2或.

33

(2)F (x ) ＝|x －a |－ax ，∵0

∴函数F (x ) 在(0，a ]上是单调减函数，∴当x ＝a 时，函数F (x ) 取得最小值为－a 2.

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