小学数学结构化教学的探究与实施策略

作者：王世彦

教学月刊：小学版 2011年01期

　　一、缘起，结构化教学的借鉴与断想

　　偶然看到一则科学小故事，不禁引起了我的兴趣，“主人公”是一种被誉为“天才建筑师”的圆网蛛。它织网的技术可谓高明：

　　

　　从其织网过程看：巧妙的三角构思，先有框架，后有步骤；先有主干，后有细节，无愧于“天才”的美誉。蜘蛛的这种织网本能，为其构筑了理想的生存之地，而我们的教师为学生六年的学习又呈现了怎样的知识网络？在学生心中有没有留下一个清晰的知识结构呢？学生经历了数学学习过程，有没有知识技能以外的收获呢？面对将来的学习，他们会以怎样的经验和方式去应对和建构？这些都值得我们思考。

　　二、追溯，结构化数学体系的认知与梳理

　　数学固有的特点以逻辑见长，以系统为征。数和形的演绎让数学形成一个完美的整体。秉承数学的特质，小学数学的学科性质同样显得系统缜密、条理清晰。其基础性又表明这部分知识是整个知识体系中的一个链，它有生活的经验作前奏，也有将学的知识作延续。数学本身和数学学科为我们呈现着严谨的结构。

　　皮亚杰认为，所谓结构，就是指一个由诸种转换规律组成的整体。结构化的数学体系，需要与之相对应的教学结构。研究数学教学，我们理应运用联系、整体等观点来贯穿，用整体的教学去连接一条完整的知识链，将教学过程变成知识、能力、情感和价值的演化构筑过程。而结构化教学就是从数学教学的整体性着眼、通盘考虑、有序展开教学，它强调学习的主动建构性，但这一过程又是动态的跟进过程、生态的整体成长过程。在数学教学中，教师要利用系统的知识结构、整体的教学过程，促使学生不断完善和发展认知结构，同时不断提高吸收新知识的能力和自我生长的能力。

　　三、架构，结构化教学方式的主导与建模

　　结构化教学是非线性的，是一种综合、立体、极富动态的过程。数学学习是一个整体的认知过程，与之相对应的数学教学是一个交互的活动过程。其教学结构方式必将涉及数学自身内容、教学过程、教学主体（教师和学生），围绕知识结构到认知结构的主线，以架构知识、串联方法、贯穿思想为主导，从广度、高度、深度三个维度来综合考虑，呈示立体的结构教学模式（见下图）。

　　

　　四、探究，结构化教学实施的策略与深化

　　（一）顺应发展脉络，用知识统领全局

　　1.剖析前因后果，整体把握教材内容

　　从新课程实施的发展过程看，教师已由先前的茫然日渐变得理性，主要原因之一是有了一套完整的教材。对于编排体系和教学每个阶段“度”的把握，教师都有据可依。教师对于教材的理解和把握不仅影响课堂教学，还会制约着教师的专业技术水平。系统的数学知识按学段分布，体现着专家的深思熟虑，体恤着学生的认知规律，教师需要去体会编排的特点，体验教学的成败得失。

　　学生往往只会孤立地学习或应用数学方法，这样他们就会觉得时刻要学习方法与技能。其实一些数学问题表面变化掩盖下的实质是相同的，通常所说的建模就是对类似问题本质的一种归纳。如果用数学方法来形成统一的主题，让学生能够发现和体会隐藏在知识背后的数学思想方法，用“联”的方式，可以思考一类问题，这样就能提高效率，提高学习成效。

　　2.明晓来龙去脉，精细设计教学流程

　　教师的教学设计最能反映他们对于教学内容的理解程度。教师要学会探求知识的元认知，用“通”的思考方法去研究其出处与归处。如教学“循环小数”一课，对于这样知识性较强的内容，教学设计不妨从概念出处考虑：循环小数是一种特殊的小数，小数则是一种特殊的分数（十进分数）。但循环小数由于它的无限性而不同于一般小数，也因为它的内部规律性而不同于无理数。教学时可开门见山，由循环话题过渡，直接给出三个数11、6、3，让学生去发现、创造计算中的循环现象。但是不是所有的除法都能得出循环现象呢？问题激发了学生的探究热情。学生发现，像计算11÷3、6÷11这样的算式，商中的小数部分会呈现出规律。在学生的探索中，知识的概念本质昭然若揭。整个过程干净利落，又不失深刻。正是基于对小数、循环小数知识系统整体的认识，教师创设了良好的教学过程，充分体现了缘于知识内部的逻辑性及其背后的教学思想。

　　3.着眼深入浅出，逐步建构数学体系

　　精彩的课堂之所以令人倾心，源于教师的精到设计和对教材的通透理解。因此，教师要以学生的数学知识、方法、思想体系的建立为目标，这样就会另眼解读教学内容，使教学结构变得丰富而灵动。

　　关于“百分数意义”的数学，教师利用“学生人数是老师的1000%”，反过来引导“老师人数是学生的10%”，再将“1000%”换个说法是什么？10倍。这些简短的对话，将倍数、分数这两种都可以表示两者关系的数量，用不同的说法联系起来。教师这一看似不经意的“启”，实则用意深远。超越一般过程中百分数与分数的比较，显然其实质与反映两个数的倍数关系更为相近。被我们疏忽的倍数关系一下子与百分数完成了有效的联构。教学实践证明，这样的“启”用，是有直接建构意义的。

　　只有教师对教学体系的“入乎其内”，才有学生对认知的“出乎其外”，我们不要过分地割舍与学生今后学习内容的联系，也不能将过去的知识无端地摒弃，思前顾后，才能使知识结构有连续性，使认知结构有发展性。

　　（二）启迪智慧思辨，用方法串联核心

　　数学教学不应把零碎的、无联系的、不分巨细的内容塞给学生。教师在讲授知识结构的同时，还要教学这类知识的方法结构。

　　1.授之以鱼，授之以渔

　　学生知识技能的习得一贯是教师所重视的，在结构化的教学中，这种方法就不只是一时的解题方式，它更是环环相扣结构下的节点。数学方法的习得应是一个融会贯通的过程。

　　例如，有这样一道题：一个圆柱的侧面积是12.56平方厘米，底面半径是2厘米，那么这个圆柱的体积是多少？如果用一般的思考方法，繁杂的计算令学生头疼。这时，一位学生的建议忽然让课堂变得轻松起来：“老师，我觉得这道题还可以这样解，用侧面积的一半乘半径就是圆柱的体积。我们学习圆柱体积公式推导时，把圆柱沿着底面半径进行平均切分，拼成一个近似长方形。如果把这个长方形侧过来放，这时还是一个近似长方形，它的底面就是圆柱侧面积的一半，高就是圆柱底面半径。”

　　

　　一个简单的动作，为我们开启了智慧的大门。学生将“底面积乘高”这一方法构筑于一般意义之上，灵活而巧妙地将其延伸，并自然扩大。我们的教学理应启迪学生这般思考问题、活用方法，以此引导数学思维的历练。

　　2.有所作为，有所不为

　　“有所作为，有所不为”应该是教学的至高境界，如果教师做足工夫，接下来的教学也会水到渠成，甚至出乎想象。

　　“分数的认识”单元教学中，概念显得多而繁杂。在偶然的教学生成中，笔者发现了一条涌动于分数知识间的暗线。

　　［片段1］分数的大小比较

　　

　　A、同分母分数比较，因为分数单位相同，只要比较分数单位的个数即可。分子哪个大，那个分数就大。

　　B、同分子分数比较，分数单位不同，分数单位大的那个数就大。

　　C、有些分数只与单位“1”差一个分数单位，分数单位越小，这个分数就越大。

　　这些解释皆用分数单位贯穿，言简意赅，让人耳目一新。

　　［片段2］分数四则计算

　　学生的理解是：同分母分数加减法，即是相同分数单位的个数（分子）相加减；异分母分数相加减，则需要通分，把它们的分数单位化成统一再计算。学生还由此想到了整数、小数的加减法，只有相同单位上的数才能相加这一计算方法，完成了从整数、小数到分数一系列的统一。

　　

　　这样，学生深刻地理解了分数单位并且有了数运算的整体感，前后联系，就把运算的本质特性理清了。数学理解的高境界就是回归简洁，这种看似“无为”的境界，其实与最初的“有为”教学不无关系。

　　3.既见树木，又见森林

　　整体规划，统筹兼顾。在教学的起始可以将知识全面地展现在学生面前，让他们获得一种整体的感性认识，再深入到具体内容，这样的教学充分体现了结构思想在教学中的应用。其优点是学生在通晓知识范畴的前提下，加强了学习的针对性，便于运用体系间的关联来完成整体的认知，教学的部分与总体间照应及时，部分与整体间转换自如，博观而约取，有助于提高学习效果。如对于数的认识，尤其是百以内数学习之后，大量的生活数据信息已被学生所接受，在教学时各种数据的第一时间出现并不一定拘泥于所教内容，可让学生在大视野范围内进行初步感知，再在学习过程中体味其中的一脉相承。

　　（三）凸显数学本质，用思想贯穿过程

　　结构的思想其本质也是一种重要的数学思想。教师要把学生放在终身发展的链条上，不断渗透数学思想，以使学生获得对数学整体而深刻的理解，明确其作用及特征，起承转合、由点连线及面地将数学思想融于结构化的数学教学中。下面就以几种常见的数学思想为例，一起感受数学思想由简单运用到发展成熟的系统化过程。

　　1.“启”——开启数形结合

　　虽然小学生的逻辑思维能力在不断发展，但要催生学生的数学思想，就要从整体出发，高屋建瓴，挖掘不同知识表层下的同一性，以达成教学目标。

　　综观教材，曾多次出现一组系列立体图（见下图），从数的认识到形的计算，它的作用显露无遗。

　　

　　如果以此为载体，用有意义的“形”来帮助学生认识和理解与此相关的“意”，这样的数形结合不仅是一种思想的传递，也是对本质的剖析。完成对整数1、10、100、1000的认识，在出示的过程中体会计算单位的进率。若把每个个体看做单位“1”，则运用到小数1、0.1、0.01、0.001的认识，与整数如出一辙，小数的性质也在形体变化中得以体现。长度、面积、体积等知识正是在这些有形的物的构造中实现了意义的认知。

　　有位数学家说过：代数是有序的逻辑，几何是看得见的逻辑。通过这组几何模型将本质反映出来，数量之间的进率也就一览无余。学生如果认为诸多独立的知识间存在着统一的思想或是管用的方法，那么数学学习对他来说就会变得轻松而又清晰。

　　2.“承”——传承数学文化

　　数学文化不是数学课堂的点缀，它是贯穿数学学习的一种思想浸润。教师把数学文化知识穿插在学科知识技能的教学中，其所承载的不只是让学生获得一种文化的认同、共鸣，还要最大限度地感染、推动学生的数学思考，是一种内涵的感悟。所以对于数学文化内容的选择和加盟，也是一个富有结构且有计划的过程。叶中豪先生曾说：“数学是一种文化，而文化就是要被继承的东西。继承的东西就是数学思想。”

　　教学“分数意义”一课时，笔者尝试作了这样的文化渗透：

　　

　　如此安排，教师是想通过特定的图形开始数学游戏，锻炼学生的数形想象能力，来唤醒数的意识。而采用的七巧板，则是我国传统的游戏工具，里面蕴含着不少数学知识，各板块间的面积大小就是很好的学习分数的资源。如此这般，数的学习放置于一定的时空，充分让学生体会数学根植于生活、源于人们的智慧、有着厚重的过去，而且整节课的基调和范围呈现自然。

　　内容与形式的有效结合，将浓浓的数学味置于有趣的游戏中，在无斧凿痕迹之下，融入了数学的元素，有了文化的支撑，平添了数学味，使数学文化与数学教学交相辉映，让学生感受数学的魅力，徜徉于数学演变的历史长河中。

　　3.“转”——化转等积守恒

　　一种数学思想也只有在广泛的应用之后才被认可或是推广。等积守恒是小学数学中运用频繁的一种解题策略和思想。“不变”的约定正是通过部分间的守恒，达到平衡状态。最初的形成是在几何图形的求解中，通过面积不变将图形分割、拼补转化成已有的形状，一系列的经验使转化守恒有了丰富的基础。扩而广之，运算中“积商和差”的不变性、运算定律的不变、基本性质的守恒，几乎将这一思想遍布于数学之中。

　　“资之深，则取之左右逢其源”，转化思想的运用，依赖于师生在教学过程中积累的经验和知识间的有效关联。其组建的网络越发达，转化的空间越通畅，后续的发展意义也就越宽泛。等积守恒也可回归于“做数学”的过程中，当已有的认知与新知发生冲突时，内在需求的平衡，迫使产生求知的需求。

　　4.“合”——暗合以简驭繁

　　张奠宙教授曾说：“数学教学设计的核心是如何体现数学的本质、精中求简、返璞归真……”教师一方面要将教学过程丰富，另一方面还要将教材教薄，将数学精简、清爽的特性借助于数学思想体系反映出来。

　　化难为易，投石问路，是数学思想体现于方法的典例。用数学解决实际问题，需要我们看透知识表层背后规律性的内容。植树问题、鸡兔同笼等这些经典的数学问题，正是我们借助小数据的帮助，用样本探究规律，发掘解决问题的方法，用建模的思想推广应用。

　　网络图、知识树是复习课常用的模式，用此将要点突显出来，用互相联系的整体帮助识记。它的简单而连贯的形式，方便了学生的回顾和记忆。用知识的延伸经历，将数的整除的概念网罗起来；用形的特性与联系，将平面几何内容描画成一幅动态图示；用分类的思想，将数的集合一览无余……正是这种提纲挈领的描述，我们除识记之外，更应利用所体现的简单本真的数学思想方法，将学生的思维引向更高的层次，用简洁的结构丰盈我们的视野。

作者介绍：王世彦，浙江省宁波市镇海区炼化小学(315200)。