[解析几何]练习题
《解析几何》练习题
一、 单项选择题
1、在直角坐标系{O;i , j , k }下,下列等式正确的是( ).
(A) k ⨯j =i
(C) i ⋅i =k ⋅k (B ) i ⨯j =-k (D ) k ⨯k =k ⋅k
a ⨯b =a b sin a , ∧b 2、以下结论正确的是( ) 2 2 2a ⋅b =a ⋅b A. ()
( B. () C. 若a ⋅b =a ⋅c 或a ⨯b =a ⨯c ,且a ≠0,则b =c
D. a +b ⨯a -b =-2a ⨯b )(
)3、三向量a , b , c 满足a +b +c =0,则a ⨯b =( ). (A )b ⨯a (B ) c ⨯b (C ) b ⨯c (D ) a ⨯c
4、若a ⋅b =a ⋅c 且a ≠0, 则下列结论正确的是( ).
(A) a , b , c 共面 (B) a ⊥(b -c ) (C ) a ∥(b -c ) (D ) b =c =0
5已知, , 是单位矢量,且满足++=,则+·+的值是( )
3A 、- 23 2 B 、 C 、1 D 、0
⎧2x 2+y 2+z 2=166、曲线⎨2在xoy 面的射影曲线方程是( ). 22x -y +z =0⎩
(A) 3x+2z =16 (B) 3y-z =16 2222 (C) x+2y =16 22⎧x 2+2y 2=16, (D) ⎨ z =0. ⎩
7、通过原点并与向量a =i +j +k 垂直的平面方程是( )
(A )x +y +z=0 (B )y +z=0 (C )x +y=0 (D ) x +y=0
⎧3x -y +2z -6=08、直线⎨与z 轴相交,则d 值是( )。 ⎩x +4y -z +d =0
A 、0 C 、2 D 、1
ππ2π9、通过点(1, -5,3) 且方向角为, , 的直线方程是( ). 343
B 、3
(A) x -1==z -3 (B
=y +5=z -3 1-11-1
(C
)x -1=-1z -3 =1 (D )
x -1z -3 ==1110、两直线的方向向量的向量积为零向量,该两直线的位置关系是( ).
(A )垂直 (B )平行 (C ) 斜交 (D ) 不垂直的异面直线
11、直线x=-t ,y=1+t,z=1+2t.与平面:2x +y -z -3=0的夹角是( ).
ππππ (B ) (C ) (D ) 64322212、x +y =0在空间表示的图形( )
(A ) 原点 (B )y 轴 (C ) x 轴 (D ) z 轴
13、平面x+ky-2z = 9与原点相距3个单位的参数k 的取值为( ).
(A) 2 (B)±2 (C) -2 (D) 3 (A )
222⎧⎪2x +y +z =16⎨222⎪x -y +z =0 关于xoy 面的投影柱面的方程为 ( ) ⎩14、曲线
22223y -z =16 3x +2z =16A. B.
⎧x 2+2y 2=16⎨22x +2y =16C. D. ⎩z =0
二、 填空题
1、 向量a =4i -4j +7k 的终点B 的坐标为(2,-1,7), 则它的起点A 的坐标
为___________,与a 平行的单位向量为__________________.
2、点(x , y , z )关于原点的对称点是 ; 关于yoz 面的对称点是 ;关于ox
轴的对称点是 .
2、设a , b 为不共线的向量, 则a +b =a -b 的充要条件是________________.
3、与xoz 坐标面平行交y 轴与点A(0,4,0)的平面方程为__________________.
⎧y 2z 2
+=1, ⎪4、⎨9-λ4-λ(λ≠4,9) 绕OZ 轴旋转所得的旋转曲面方程为
⎪x =0. ⎩
______________.当λ的值取___________时, 曲面为旋转椭球面, 当λ的值
取__________时, 曲面为单叶旋转双曲面.
5. 已知两点M 14, 2, 1和M 2(3, 0, 2),则向量M 1M 2在三个坐标轴上的投影分别是
、 ,在坐标轴方向上的分量分别是、、
, ()=,
方向余弦 cos α=、 cos β=、cos γ= , 方向角α=、 β= γ=与M 1M 2同方向的单位向量是 .
6. 向量a =4i -4j +7k 的终点B 的坐标为(2,–1,7),则它的起点A 的坐标为
a ,与平行的单位向量为 .
x 2y 2
7、用平行平面族y=t(t为参数) 来截割双曲抛物面2-2=2z 所得截线族为a b
___________________(抛物线族), 抛物线族顶点的轨迹为
_________________.
8、次曲线x 2+axy+4y2-7x+y+3=0,当a 值取___________时, 曲线为椭圆型曲
线,
当a 值取__________时, 曲线为双曲型曲线, 当a 值取_______时, 曲线为抛物型
曲线.
三、解答计算题
x y z x -1y -2z -3==1、求通过点P(1,1,1)且与两直线 L 1:==, L 2: 都相123214
交的直线方程.
2、设一条二次曲线通过两条二次曲线x 2+xy-2y 2+6x-1=0 与 2x 2-y 2-x -
y=0的交点,并且还通过点(2,-2),(1)求这二次曲线的方程,(2)判断
该二次曲线是否为中心二次曲线,若是,求其中心,(3)求在点(2,-2)
的切线方程.
3、P 105例5,P 111习题4,P 172习题1(2),P 183习题5,P 194例5,P 220习题6,
P 258例1,P 268习题5.
四、证明题
1、一直线与三坐标轴间的角分别为α, β, γ. 则有
sin 2α+sin2β+sin2γ=2
⎧f (x , y ) =0, 2、 求证:以原点为顶点,准线为⎨(h 为常数且≠0)的z =h . ⎩
hx hy 锥面方程为f (, ) =0. z z
3、应用向量求证:三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.
五、画出下列各曲面所围几何体的图形,并在图中用阴影表示出其在xoy 面上的投影.
1.由x=0,y=0,z=0 及x+y+z=1所围成的立体Ω .
2.由x +y =1及上半球面z =22R 2-x 2-y 2所围成的立体Ω .