01--13年广西理科数学高考卷(全国1卷)

2001年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有1．若siniθcosθ＞0，则θ在 A．第一、二象限

B．第一、三象限

( )

C．第一、四象限

D．第二、四象限

( )

2．过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是 A．(x－3) 2＋(y＋1) 2 = 4 C．(x－1) 2＋(y－1) 2 = 4

B．(x＋3) 2＋(y－1) 2 = 4 D．(x＋1) 2＋(y＋1) 2 = 4

3．设｛an｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( ) A．1

B．2

C．4

D．6

4．若定义在区间(－1，0)的函数f(x)log2a(x1)满足f(x)0，则a的取值范围是 ( ) A．(0)

12

B．0

2



1

C．(

1

，＋∞) 2

D．(0，＋∞)

5．极坐标方程2sin(



4

)的图形是

(

)

6．函数y = cos x＋1(－π≤x≤0)的反函数是 A．y =－arc cos (x－1)(0≤x≤2) C．y = arc cos (x－1)(0≤x≤2)

( )

B．y = π－arc cos (x－1)(0≤x≤2) D．y = π＋arc cos (x－1)(0≤x≤2)

7． 若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1，0)， F2 (3，0)，则其离心率为 ( )

A．

3 4

B．

2 3

C．

1 2

D．

1 4

8． 若0＜α＜β＜ A．a＜b



，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则 4

B．a＞b

C．ab＜1

( ) D．ab＞2

9． 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB ( ) A．60°

B．90°

2BB1，则AB1 与C1B所成的角的大小为

C．105° D．75°

10．设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题：

① 若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递增； ② 若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递增； ③ 若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减； ④ 若f (x)单调递减，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递减． 其中，正确的命题是 A．①③

( ) B．①④

C．②③

D．②④

11． 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．

若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 A．P3＞P2＞P1

B．P3＞P2 = P1

( ) C．P3 = P2＞P1

D．P3 = P2 = P1

12． 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 A．26

( ) D．

19

B．24 C．20

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3x2y2

1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，则点P到x14．双曲线

916

15．设｛an｝是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若｛Sn｝是等差数列，则 q = 16．圆周上有2n个等分点(n＞1)

三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC = 90°，

SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，AD(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；

1

． 2

(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． 18． (本小题满分12分)

已知复数z1 = i (1－i) 3．

(Ⅰ)求arg z1及z1；

(Ⅱ)当复数z满足z1=1，求zz1的最大值． 19． (本小题满分12分)

设抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛

物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O． 20． (本小题满分12分)

已知i，m

，n是正整数，且1＜i≤m＜n．

i

(Ⅰ)证明niPmmiPni；

(Ⅱ)证明(1＋m) n＞ (1＋n) m． 21． (本小题满分12分)

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根

据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少

1

．本年度当地旅游业收入估计5

为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

1． 4

(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式；

(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 22． (本小题满分14分)

设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x1，x2∈[0，

1]2

都有f (x1＋x2) = f (x1) · f (x2)．且f (1) = a＞0． (Ⅰ)求f (

11

) 及f ()； 24

1

)，求limlnan．

n2n

(Ⅱ)证明f (x) 是周期函数； (Ⅲ)记an = f (2n＋

2002年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．圆(x

1)y1的圆心到直线y

2

2

x的距离是 3

A．

1

2

B．

3

2

C．1

D．3

2．复数(

123

i)的值是 2

B．i

C．1

D．1

A．i

3．不等式(1x)(1|x|)0的解集是 A．{x|0x1} C．{x|1x1}

B．{x|x0且x1} D．{x|x1且x1}

4．在(0,2)内，使sinxcosx成立的x的取值范围是

5

,)(,) B．(,) 4244553

) ,) C．(, D．(,)(44442

k1k1

5．设集合M{x|x,kZ}，N{x|x,kZ}，则

2442

A．MN B．MN C．MN D．MN

A．(



xt26．点P(1,0)到曲线（其中参数tR）上的点的最短距离为

y2t

A．0

B．1

C．2

D．2

7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 A．

3

4

B．

4

5

C．

3

5

D．

3 5

8．正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是 A．90

2

B．60 C．45 D．30

9．函数yxbxc（[0,)）是单调函数的充要条件是 A．b0

B．b0 C．b0 D．b0

10．函数y1

1

的图象是 x1

11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7．3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为 A．115000亿元 B．120000亿元 C．127000亿元 D．135000亿元

第II卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． 13．函数ya在[0,1]上的最大值与最小值这和为3，则a＝22

14．椭圆5xky5的一个焦点是(0,2)，那么k

x

15．(x1)(x2)展开式中x3的系数是27

x2111

f(1)f(2)f()f(3)f()f(4)f()＝ 16．已知f(x)，那么2

2341x

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

2

17．已知sin2sin2coscos21，(0,



2

)，求sin、tg18．如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEFM在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa（0a2）

D

（1）求MN的长；

（2）a为何值时，MN的长最小；

（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角19．设点P到点(1,0)、(1,0)距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范20．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

21．设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR （1）讨论f(x)的奇偶性； （2）求f(x)22．设数列{an}满足：an1annan1，n1,2,3, （I）当a12时，求a2,a3,a4并由此猜测an的一个通项公式； （II）当a13时，证明对所的n1，有 （i）ann2 （ii）

2

11111

 1a11a21a31an2

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合要求的 1．已知x(



2

，0），osc

x

4

，则tg2x （ ） 5

A．7

242．圆锥曲线

B．7

24

C．24

7

D．

24 7

8sin

的准线方程是 （ ） 2

cos

B．cos2

C．sin2

D．sin2

A．cos2

2x1x03．设函数f(x)1 ，若f(x0)1，则x0的取值范围是 （ ） 2x0x

A．（1，1） B．（1，）

C．（，2）（0，） D．（，1）（1，） 4．函数y2sinx(sinxcosx)的最大值为 （ ） A．12

B．21

C．2

D．2

5．已知圆C：(xa)2(y2)24（a0）及直线l：xy30，当直线l被C截得的弦长为2时，则a为 （ ） A．2

B．22

C．21

D．21

6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） A．2R

2

9

B．R2

48

C．R2

3

3

D．R2

2

4

7．已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，则

|mn| （ ）

A．1

B．3

4

C．1

2

3D．

8

8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线yx1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为

22

xy A．1 34

2

，则此双曲线的方程是 （ ） 3

x2y2

B．1

43

1

x2y2

C．1

52x2y2

D．1

25

3

9．函数f(x)sinx，x[,]的反函数f

22

A．arcsinx x[1，1] C．arcsinx x[1，1]

(x) （ ）

B．arcsinx x[1，1] D．arcsinx x[1，1]

10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为（x4，0），若1x42，则tg的取值范围是 （ ） A．（1，1）

3

B．（

12

，） 33

C．（

21

，） 52

D．（2，

5

2

） 3

222C2C32C4Cn

11．lim （ ）

nn(C1C1C1C1)234n

A．3

B．1

3

C．

1

6

D．6

12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） A．3

B．4

C．

D．6

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共169

13．(x21)9的展开式中x系数是2x

14．使log2(x)x1成立的x的取值范围是 15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4

种颜色可供选择，则不同的着色方法共有

16．下列5个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）

① ② ③ ④ ⑤

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）

已知复数z的辐角为60，且|z1|是|z|和|z2|的等比中项，求|z| 18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱

AA12，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G

（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离

19．（本小题满分12分） 已知c0，设

P：函数ycx在R上单调递减 Q：不等式x|x2c|1的解集为R 如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围

20．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南

(2）方向300km的海面P处，

10

东O

并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

21．（本小题满分14分）

已知常数a0，在矩形ABCD中，

AB4，BC4a，O为AB的中点，点

E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且

BECFDG

，P为GE与OF的交点（如图），问是

BCCDDA

否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明

22．（本小题满分12分，附加题4 分）

st

（I）设{an}是集合{22| 0st且s,tZ}中所有的数从小到大排列成的数列，即

a13，a25，a36，a49，a510，a612，…

将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

35

6

91012

⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

⑵求a100

（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）

设{bn}是集合{2r2s2t|0rst，且r,s,tZ}中所有的数从小到大排列成的数列，已知bk1160，求k.

2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共1．(1－i)2·i=

A．2－2i

B．2+2i

C．－2

D．2 D．－

（ ）

2．已知函数f(x)lg

A．b

1x

.若f(a)b.则f(a) 1x

1

B．－b C．

b

（ ）

1 b

（ ）

aa3．已知、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|+3b|=

A．

B．

C．

D．4

4．函数y

x11(x1)的反函数是

（ ）

A．y=x2－2x+2(x

3

B．y=x2－2x+2(x≥1) D．y=x2－2x (x≥1)

（ ）

5．(2x

1x

)7的展开式中常数项是

A．14 B．－14 C．42 D．－42

6．设A、B、I均为非空集合，且满足AB I，则下列各式中错误的是 ．．

A．(CIA)∪B=I C．A∩(CIB)=

B．(CIA)∪(CIB)=I D．(CIA)(CIB)= CIB

（ ）

x2

y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点 7．椭圆4

为P，则|PF2|=

A．

（ ）

3 2

B．3

C．

7 2

D．4

8．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是

A．[－

C．[－1，1]

D．[－4，4]

（ ） （ ）

11，] 22

B．[－2，2]

9．为了得到函数ysin(2x

A．向右平移



6

)的图象，可以将函数ycos2x的图象



个单位长度 6

C．向左平移个单位长度

6

T

等于 S

4B．

9



个单位长度 3

D．向左平移个单位长度

3

B．向右平移

10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH

的表面积为T，则

A．

C．

（ ）

1

91 4

D．

1 3

11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位

数字之和等于9的概率为

A．

2

C．

2

（ ）

13 125

2

2

2

B．

16 125

2

18 125

D．

19 125

（ ）

12．ab1,bc2,ca2,则abbcca的最小值为

A．－

1 2

B．

1

－3 2

C．－

1

－ 2

D．

1

+ 2

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x+2|≥|x|的解集是14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P

的轨迹方程为 .

15．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+„+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项 an

n11

___n2

16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .

①两条平行直线 ③同一条直线

②两条互相垂直的直线 ④一条直线及其外一点

在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

sin4xcos4xsin2xcos2x

求函数f(x)的最小正周期、最大值和最小值.

2sin2x

18．（本小题满分12分）

一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分）

已知aR,求函数f(x)xe的单调区间.

20．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（I）求点P到平面ABCD的距离，

（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小. 21．（本小题满分12分）

2ax

x22

设双曲线C：2y1(a0)与直线l:xy1相交于两个不同的点A、B.

a

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围： （II）设直线l与y轴的交点为P，且PA22．（本小题满分14分）

已知数列{an}中a11，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,„„. （I）求a3, a5；

（II）求{ an}的通项公式.

5

PB.求a的值. 12

2005年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一、选择题 （1）复数

2i312i

=

（A）i （B）i

（C）22i

（D）22i

（2）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1S2S3I，则下面论断正确的是

（A）CIS1（S2S3） （C）CIS1CIS2CIS3

（B）S1 （CIS2CIS3）

（D）S1 （CIS2CIS3）

（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为

（A）82

（B）8

2

（C）42

2

（D）4

（2，0）（4）已知直线l过点，当直线l与圆xy2x有两个交点时，其斜率k的取值

范围是

2211

（D） （））

8844

（5）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为

（22）（2222）（A） （B）

（C）（

（A）

42 （B） （C）

333

（D）

3

2

x2

（6）已知双曲线2y21 (a0)的一条准线与抛物线

a

y6x的准线重合，则该双曲线的离心率为

（A）

2

3 2

（B）3

2

（C）

6 2

（D）

2

3

1cos2x8sin2x

（7）当0x时，函数f(x)的最小值为

2sin2x

（A）2

（B）23

（C）4

（D）43



（8）设b0，二次函数yax2bxa21的图像为下列之一

则a的值为 （A）1

（B）1

（C）

1 2

（D）15

2

（9）设0a1，函数f(x)loga(a2x2ax2)，则使f(x)0的x的取值范围是

（A）(,0)

（B）(0,)

（C）(,loga3)

（D）(loga3,)

（10）在坐标平面上，不等式组

yx1所表示的平面区域的面积为

y3x1

（A）2

（B）

3 2

（C）

32

2

（D）2

（11）在ABC中，已知tan

①tanAcotB1

AB

sinC，给出以下四个论断： 2

②0sinAsinB

2

22

③sinAcosB1 222

④cosAcosBsinC

其中正确的是 （A）①③ （B）②④ （C）①④ （12）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有

（A）18对 （B）24对 （C）30对 二、本大题共4小题，每小题4分，共16

（D）②③ （D）36对

（13）若正整数m满足10

m1

251210m，则m = 20.3010)

（14）(2x

1x

)9

（15）ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OHm(OAOBOC)，则实数m =

（16）在正方形ABCDA'B'C'D'中，过对角线BD的一个平面交AA于E，交CC'于F，则

① 四边形BFDE一定是平行四边形 ② 四边形BFDE有可能是正方形

③ 四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形 ④ 四边形BFDE有可能垂直于平面BBD

三、解答题：本大题共6小题，共74 （17）（本大题满分12分）

''

'

'

'

''

设函数f(x)sin(2x) (0),yf(x)图像的一条对称轴是直线x（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函数yf(x)的单调增区间；

（Ⅲ）证明直线5x2yc0于函数yf(x)（18）（本大题满分12分）

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=



1

AB=1，M是PB2

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC（19）（本大题满分12分） 设等比数列an的公比为q，前n项和

Sn0 (n1,2,（Ⅰ）求q的取值范围； （Ⅱ）设bnan2

3

an1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn2

（20）（本大题满分12分）

9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种; 坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数

0.01） （21）（本大题满分14分）

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于

A、B两点，与(3,1)（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且 (,R)，证明22（22）（本大题满分12分）

（Ⅰ）设函数f(x)xlog2x(1x)log2(1x) (0x1)，求f(x)的最小值； （Ⅱ）设正数p1,p2,p3,,p2n满足p1p2p3p2n1，证明

p1log2p1p2log2p2p3log2p3p2nlog2p2nn

2006年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一、选择题

⑴、设集合Mxxx0，Nxx2，则

A．MN B．MNM

C．MNM D．MNR

x

⑵、已知函数ye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，则



2





A．f2xe(xR) B．f2xln2lnx(x0)

2x

C．f2x2e(xR) D．f2xlnxln2(x0)

x

⑶、双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的2倍，则m

A．

22

11

B．4 C．4 D．

44

⑷、如果复数(mi)(1mi)是实数，则实数m

A．1 B．1 C

． ⑸、函数fxtanx

2

的单调增区间为 4



A．k,k,kZ B．k,k1,kZ

22

33

C．k,k,kZ D．k,k,kZ

4444

⑹、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB

13A． B． C

． D

．

4443

⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A．16 B．20 C．24 D．32 ⑻、抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是





478

B． C． D．3 355

⑼、设平面向量a1、a2、a3的和a1a2a30。如果向量b1、b2、b3，满足bi2ai，

A．

且ai顺时针旋转30后与bi同向，其中i1,2,3，则

A．b1b2b30 B．b1b2b30 C．b1b2b30 D．b1b2b30 ⑽、设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a1aa 1213A．120 B．105 C．90 D．75

⑾、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为

A

． B

． C

． D．20cm ⑿、设集合I1,2,3,4,5。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有

A．50种 B．49种 C．48种 D．47种

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。

⒀、已知正四棱锥的体积为12

，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于___。

⒁、设z2yx，式中变量x、y满足下列条件

2

2

2

2

o

2xy1 3x2y23 y1

则z的最大值为_____________。

⒂、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能

安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答） ⒃、设函数f

xcos

0。若f



x/fx是奇函数，则

__________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ⒄、（本小题满分12分）

ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA2cos

BC

取得最大值，2

并求出这个最大值。 ⒅、（本小题满分12分）

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为

21，服用B有效的概率为。 32

（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；

（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。 ⒆、（本小题满分12分）

如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在l1上，C在l2上，

AMMBMN。

（Ⅰ）证明AB⊥NB；

O

（Ⅱ）若ACB60，求NB与平面ABC所成角的余弦值。

⒇、（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy

中，有一个以F10,

和F2为焦点、

C，动点P在C上， 

C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OMOAOB。求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；



（Ⅱ）OM的最小值。

（21）、（本小题满分14分）

已知函数fx

1xax

e。 1x

（Ⅰ）设a0，讨论yfx的单调性；

（Ⅱ）若对任意x0,1恒有fx1，求a的取值范围。 （22）、（本小题满分12分）

设数列an的前n项的和

Sn

412

an2n1，n1,2,3, 333

（Ⅰ）求首项a1与通项an；

n

32n

（Ⅱ）设Tn，n1,2,3,，证明：Ti

2Sni1

2007年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一、选择题

5

，则sin 12

1155A． B． C． D．

551313

a1i2．设a是实数，且是实数，则a 1i2

13

A． B．1 C． D．2

22



3．已知向量a(5,6)，b(6,5)，则a与b

1．是第四象限角，tan

A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 B．1 C．1 D．1 A．

[1**********]0

5．设a,bR，集合{1,ab,a}{0,

b

,b}，则ba a

A．1 B．1 C．2 D．2 6．下面给出的四个点中，到直线xy1

0的距离为平面区域内的点是

A．(1,1) B．(1,1) C．(1,1) D．(1,1) 7．如图，正棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA则异面直线A1B12AB，与AD1所成角的余弦值为

Axy10，且位于表示的

xy102

1

A．

1234 B． C． D． 5555

1

，则a 2

8．设a1，函数f(x)logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为

A

B．2 C

． D．4

9．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的

A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 10．(x)的展开式中，常数项为15，则n=

A．3 B．4 C．5 D．6

11．抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F

x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则△AKF的面积是

A．4 B

． C

． D．8 12．函数f(x)cosx2cos

A．(

2

2

2

1x

n

x

的一个单调增区间是 2

2

3,

) B．(,) C．(0,) D．(,)

623366



二、填空题

13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答） 14．函数yf(x)的图象与函数ylog3x

(x0)的图象关于直线yx对称，则

f(x)____________。

15．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，则{an}的公比为______。 2S2，3S3成等差数列，16．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为__________。 三、解答题

17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围。

18．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分

2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为

300元，表示经销一件该商品的利润。

（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； （Ⅱ）求的分布列及期望E。

19．四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知

ABC45，AB2，BC，

S

SASB

（Ⅰ）证明：SABC； （Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小。

20．设函数f(x)exex

（Ⅰ）证明：f(x)的导数f'(x)2；

（Ⅱ）若对所有x0都有f(x)ax，求a的取值范围。

C

D

B

x2y2

1的左右焦点分别为F

1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过21．已知椭圆32

F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P

x02y02

1； （Ⅰ）设P点的坐标为(x0,y0)，证明：32

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。

22．已知数列{an}中，a12，an11)(an2)，n1,2,3,

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}中，b12，bn1

3bn4

，n1,2,3,，证明：

2bn3

bna4n3，n1,2,3,

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一、选择题 1

．函数y的定义域为（ ）

A．x|x≥0



B．x|x≥1 D．x|0≤x≤1



C．x|x≥10



2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（ ） A．

B．

C．

D．



3．在△ABC中，ABc，ACb．若点D满足BD2DC，则AD（ ）

A．

21bc 33

B．c

2

5

32b 3

C．

21bc 33

D．b

1

32c 3

4．设aR，且(ai)i为正实数，则a（ ） A．2

B．1

C．0

D．1

5．已知等差数列an满足a2a44，a3a510，则它的前10项的和S10（ ） A．138

B．135

C．95

D．23

6．若函数yf(x

1)的图像与函数y1的图像关于直线yx对称，则f(x)

（ ）

A．e2x-1 7．设曲线y

A．2

B．e2x C．e2x+1 D． e2x+2

x1

在点(3，2)处的切线与直线axy10垂直，则a（ ） x1

11

B． C． D．2

22

8．为得到函数ycos2x

A．向左平移



π

的图像，只需将函数ysin2x的图像（ ） 3

B．向右平移

5π

个长度单位 125π

D．向右平移个长度单位

6

f(x)f(x)

0的解集)上为增函数，且f(1)0，则不等式9．设奇函数f(x)在(0，

x

为（ ）

5π

个长度单位 125π

C．向左平移个长度单位

6

，0)(1，) A．(1

1)(0，1) B．(，，0)(01)， D．(1

1)(1，) C．(，

10．若直线

xy

1通过点M(cos，sin)，则（ ） ab

112222

A．ab≤1 B．ab≥1 C．22≤1

ab

D．

11

≥1 22ab

11．已知三棱柱ABCA1在底面ABC内的射影为1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A

△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）

A．

1

3

B

C

D．

2 3

12．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

xy≥0，

13．13．若x，y满足约束条件xy3≥0，则z2xy的最大值为 ．

0≤x≤3，

14．已知抛物线yax21的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．

15．在△ABC中，ABBC，cosB圆的离心率e ．

16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CAB

D7

．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭18

，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a、b、c，且acosBbcosA（Ⅰ）求tanAcotB的值； （Ⅱ）求tan(AB)的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

3

c． 5

CD四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC

2，

ABAC．

（Ⅰ）证明：ADCE；

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小．



19．（本小题满分12分）

D

E

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知函数f(x)x3ax2x1，aR． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设函数f(x)在区间，内是减函数，求a的取值范围． 20．（本小题满分12分）

2

313

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望． 21．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的



ABOB成等差数列，且BF与FA同向． 直线分别交l1，l2于A，B两点．已知OA

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设函数f(x)xxlnx．数列an满足0a11，an1f(an)． （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，1)是增函数； （Ⅱ）证明：anan11； （Ⅲ）设b(a1，1)，整数k≥

a1b

．证明：ak1b． a1lnb

2009年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一、选择题

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合[u（AB）中的元素共有

（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 （2）已知

Z

=2+I,则复数z= 1＋i

（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式

X1

＜1的解集为 X1

（A）｛x0x1

xx1 (B)x0x1



（C）x1x0 (D)xx0

x2y22

(4)设双曲线221（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心

ab

率等于

（A

（B）2 （C

（D

(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 （A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种 （6）设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则（A）2（B

2 （C）1

(D)1（7）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为

acbc的最小值为

（A

）

3（B

） （C

） (D)

4444

（8）如果函数y＝3cos2x＋的图像关于点（A）

4

，0中心对称，那么的最小值为 3



（B） （C） (D) 6432

(9) 已知直线y=x+1与曲线yln(xa)相切，则α的值为 (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

（10）已知二面角α-l-β为600 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β

Q到α

的距离为P、Q两点之间距离的最小值为

(B)2

(C) (D)4

（11）函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则 (A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数 (C) f(x)f(x2) (D) f(x3)是奇函数

x2

y21的又焦点为F，右准线为L，点AL,线段AF 交C与点B。（12）已知椭圆C: 2

若FA3FB,则AF=

(B)2

(C)

(D)3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

(13) (xy)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于(14)设等差数列an的前n项和为sn.若s9=72,则a2a4a9BAC=120，(15)直三棱柱ABC-A1B1C1各顶点都在同一球面上.若ABACAA12,∠

则此球的表面积等于 . (16)若





4

＜X＜



2

,则函数ytan2xtan3x的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．． 在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c ，已知

ac2b，且

sinAcosC3cosAsinC，求b.

18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，

DC=SD=2.点M在侧棱SC上，∠ABM=60.

(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S—AM—B的大小。

(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）

．．．．．．．．．

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设

在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率； （2）设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望。（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

．．．．．．．．．



1n＋1

. a＋’

n2n

在数列an

中， a1＝1’an＋1＝1＋

an

，求数列bnn

设bn＝

的通项公式；

求数列an的前n项和sn.

21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

2222

如图，已知抛物线E:yx与圆M:(x4)yr(r＞0）相交于A、B、C、D四个

点。

（I）求r的取值范围：

(II)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线

A、B、C、D的交点p的坐标。

22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设函数f(x)x33bx23cx有两个极值点x1，x21，0，且x21,2. （Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）和区域；

(Ⅱ)证明：10≤f(x2)≤-

1

2

2010年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一．选择题 (1)复数

32i

 23i

(A)i (B)i (C)12-13i (D) 12+13i

(2)记cos(80)k,那么tan100

B.

C.

D.

y1,



(3)若变量x,y满足约束条件xy0,则zx2y的最大值为

xy20,

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=

(A)

(5)(13(15的展开式中x的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

(7)正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为

A

.

（8）设a=log32,b=In2,c=5

12

2 B C D3

333

,则

A a

22

(9)已知F、为双曲线C:Fxy1的左、右焦点，点p在C上，∠F1pF2=60，则P12

到x轴的距离为

(A)

(B)

(C) 22

(D)

（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0

(A))

(B)) (C)(3,) (D)[3,)

（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PAPB的

最小值为

(A) 4

(B)3

(C) 4

(D)3（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为

(A)

(C)

(D) 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)

(13)

x1的解集是 (14)已知为第三象限的角，cos2.

(15)直线y1与曲线yx2xa有四个交点，则a的取值范围是

(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，

3

,则tan(2)54

uuruur

且BF2FD，则C的离心率为 .

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．．．

b满足abacotAbcotB， 已知VABC的内角A，B及其对边a，求内角C． (18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知函数f(x)(x1)lnxx1.

（Ⅰ）若xf'(x)x2ax1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：(x1)f(x)0 .

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知抛物线C:y4x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D .

（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

2

8

（Ⅱ）设FAFB，求BDK的内切圆M的方程 .

9

（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知数列an中，a11,an1c

1

. an

（Ⅰ）设c

51

，求数列bn的通项公式； ,bn

2an2

（Ⅱ）求使不等式anan13成立的c的取值范围 .

2011年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一、选择题

1．复数z1i，z为z的共轭复数，则zzz1

A．2i

B．i

C．i

D．2i

2

．函数yx≥0)的反函数为

x2x2

(xR) B．y(x≥0) A．y44

C．y4x2(xR) D．y4x2(x≥0)

3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是

A．a＞b1

B．a＞b1 C．a2＞b2

D．a3＞b3

4．设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k

A．8

B．7

C．6

D．5

5．设函数f(x)cosx(＞0)，将yf(x)的图像向右平移

像与原图像重合，则的最小值等于

A．



个单位长度后，所得的图3

D．9

1

3

B．3 C．6

6．已知直二面角α− ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D为垂足．若AB=2，

AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于

A

B

C

D．1

7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1

本，则不同的赠送方法共有 A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 8．曲线y=e

A．

2x

+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为

B．

1

31

2

C．

2

3

D．1

9．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=2x(1x)，则f()=

A．-

52

1

2

2

B．

14

C．

1 4

D．

1 2

10．已知抛物线C：y4x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点．则cosAFB=

A．

4

5

B．

3 5

C．

3 5

D．

4 5

11．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N．若

该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为

A．7 B．9 C．11 D．13

12．设向量a，b，c满足a=b =1，ab=

A．2

B

1

，ac,bc=600，则c的最大值等于 2

C

D．1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 （注意：在．

试卷上作答无效） ．．．．．．．

13．（

20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为:

2

14．已知a∈（

，），

tan2α= 2x2y2

15．已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，

927

0），AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2．

16．己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，

则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．． △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，

a+c=b，求

C．

18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买

甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立

（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；

（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。

19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥SABCD中， ABCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，

ABBC2,CDSD1．

（Ⅰ）证明：SD平面SAB;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小．

20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设数列an满足a10且

11

1.

1an11an

（Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）设bn

记Snbk,证明：Sn1.

k1

n

21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

y2

1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率

已知O为坐标原点，F为椭圆C:x2

2



为的直线l与C交于A、B两点，点P满足OAOBOP0.

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．（Ⅰ）设函数f(x)ln(1x)

2x

，证明：当x＞0时，f(x)＞0； x2

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续

抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p．证明：p(

9191)2 10e

2012年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一、选择题 1、复数

13i

= 1i

A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A＝

{1.3.

}，B＝{1，m} ,AB＝A, 则m=

A 0

B 0或3 C 1

D 1或3 3、 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2

A、+=1 B +=1 C +=1 D +=1

[1**********]4

4、已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1

= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A 2

B

C D 1

1

（5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为

aann1

(A)

1009910199

(B) (C) (D) [1**********]1

（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a,b,a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)a

131332244b （B）ab (C) ab (D) ab 3553355

（7）已知α为第二象限角，sinα＋cos

=

，则cos2α=

3

(A) -

（B

）-

(C)

(D)

3993

（8）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠

F1PF2= (A)

1334 （B） (C) (D) 4545

1

2

（9）已知x=lnπ，y=log52，z=e

，则

(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x

(10) 已知函数y＝x-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝

（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1

（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有

（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种

（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝

3

7

。动点P3

从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）16（B）14（C）12 (D)10

第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

xy10

（13）若x，y满足约束条件xy30则z=3x-y的最小值为_________。

x3y30,

（14）当函数ysinxcosx0x2取得最大值时，x=_____________.

11

（15）若x的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中2的系数

xx

为_________。

（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°

则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。

三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c.

（18）（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，

PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC. （Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。

n

19. （12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。

（20）（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]。 （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围。

122

（21）（12分）已知抛物线C：yx1与圆M：x1yr2r0有一

2

个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.

（I） 求r；

（II） 设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.

22（12分）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。 （Ⅰ）证明：2 xn＜xn+1＜3； （Ⅱ）求数列{xn}的通项公式。

2

绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合A1,2,3,B4,5,Mx|xab,aA,bB,则M中元素的个数为

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

（2

）

3



（A）8 （B）8 （C）8i （D）8i （3）已知向量m1,1,n2,2,若mnmn,则=

（A）4 （B）-3 （C）2 （D）-1 （4）已知函数fx的定义域为-1,0，则函数f2x1的定义域为

（A）1,1 （B）1, （C）-1,0 （D）

121,1 2

（5）函数fx=log1

（A

11

的反函数x0fx= 

x

11xx

x0x0 （B （C） （D）21xR21x0 xx

2121

4

（6）已知数列an满足3an1an0,a2,则an的前10项和等于

3

1-10-10-10-10

（A）-61-3 （B）1-3 （C）31-3 （D）31+3

9

22

（7）1x1+y的展开式中xy的系数是

3

4

（A）56 （B）84 （C）112 （D）168

x2y2

1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范（8）椭圆C:46

围是2,1,那么直线PA1斜率的取值范围是

（A） （B） （C），1 （D），1 248424（9）若函数fx=xax

2

1333

1

3

11

在,是增函数，则a的取值范围是 x2

（A）-1，0 （B）-1， （C）0，3 （D）3，+

（10）已知正四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AA12AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于

（A）

21 （B

（C

（D） 33（11）已知抛物线C:y28x与点M2,2,过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于



A,B两点,若MAMB0,则k

（A）

1 （B

） （C

（D）2 22

（12）已知函数fx=cosxsin2x,下列结论中正确的是

（A）yfx的图像关于,0中心对称 （B）yfx的图像关于x（C）f

x

2

对称

（D）fx既是奇函数，又是周期函数 2

13

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

sina,则cota（13）已知a是第三象限角，

（14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数

字作答）

x0,

（15）记不等式组x3y4,所表示的平面区域为D.若直线

3xy4,

ya1与有公共点，则D的取值范围是ax

（16）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，

3

OK，且圆O与圆K所在的平面所成角为60，则球O的表面积等于 .

2

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

等差数列an的前n项和为Sn.已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列，求an的通项式.

18．（本小题满分12分）

设

ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,abcabcac.

（I）求B;

sinAsinC

求C.

（II

）若

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD,PAB与PAD都是等边三角形.

（I）证明：PBCD;

（II）求二面角APDC的大小.

20．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比

1

赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛

2

的结果都相互独立，第1局甲当裁判.

（I）求第4局甲当裁判的概率；

（II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.

21．（本小题满分12分）

x2y2

已知双曲线C:221a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，

直线

ab

y2与C

（I）求a,b;；

（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且

AF1BF1,证明：AF2ABBF2成等比数列.

22．（本小题满分12分）

已知函数fx=ln1x

x1x

.

1x

（I）若x0时,fx0,求的最小值;；

1111

ln2. （II）设数列an的通项an1,证明：a2nan

23n4n