§2.3.2 圆的一般方程导学案 新人教B版必修2
§2.3.2 圆的一般方程
◆ 课前导学
（一）学习目标
1． 能记住圆的一般方程，及系数满足的条件；
2． 会判断一个二元二次方程是否是圆的方程；
3． 能通过配方把圆的一般方程化成标准方程，并说出圆心和半径；
4． 会利用待定系数法求圆的方程；
5． 会用直接法求点的轨迹方程.
（二）重点难点
重点：待定系数法求圆的方程；
难点：与圆有关的轨迹问题的求法.
（三）温故知新
以(a , b ) 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是_____________________.
◆ 课中导学
◎学习目标一：能记住圆的一般方程，及系数满足的条件.
（一） 问题引入
问题1 ：(x -1) 2+(y +2) 2=4表示什么图形？_____________________
问题2 ：x 2+y 2-2x +4y +1=0表示什么图形？_____________________
问题3 ：x 2+y 2-2x -4y +6=0表示什么图形？_____________________
（二） 合作探究
问题4：方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0在什么条件下表示圆？
[探究]把x 2+y 2+Dx +Ey +F =0配方，得___________________________.
（1） 当_____________________时，方程表示以___________为圆心，
_____________________为半径的圆；
（2） 当_____________________时，方程表示____________________；
（3） 当_____________________时，方程____________________.
结论：方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示圆的条件是_________________.
二元二次方程Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0表示圆的条件是
__________________，_________________，___________________.
（一） 巩固提升
◎ 学习目标二：会判断一个二元二次方程是否是圆的方程.
例1 （1）已知方程x 2+y 2-2x -4y +m =0表示圆，求m 的取值范围；
（2）若点A (2,3)在这个圆外，求m 的取值范围.
◎ 学习目标三：能通过配方把圆的一般方程化成标准方程，并说出圆心和半径.
例2．将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径.
①x 2+y 2+4x -6y -12=0； ②4x 2+4y 2-8x +4y -15=0
◎学习目标四：会利用待定系数法求圆的方程.
例3. 求过三点A (0,5),B (1,-2), C (-3, -4) 的圆的方程.
◎学习目标五：会用直接法求点的轨迹方程.
例4. 已知一曲线是与两个定点O (0,0),A (3,0)距离的比为
程.
1的点的轨迹，求这个曲线的方2
◆ 课后导学
一、选择题
1．方程x 2+y 2-2x +4y -6=0表示的图形是( )
A ．圆心(-
1, 2) 的圆 B. 圆心(1,-
2) 的圆
C. 圆心(-1, -
2) 的圆 D. 圆心(1,2)
的圆
2. 如果方程x 2+y 2-x -y +4a =0表示的曲线是圆，则( ) A. a ≤1111 B. a
3. 圆2x 2+2y 2=4x -2y +3的圆心坐标为( ) A. (1, -) B. (-2, 1) C. (2, -1) D. (-1, )
4. 方程x +y +Dx +Ey +F =0表示的曲线是以(-2, 3) 为圆心，4为半径的圆，则D 、E 、F 的值分别为( )
A. 4,-6,3 B. -4,6,3 C. -4, -6,3 D. 4, -6, -3
5. 已知圆的方程为x +y -2x +6y +8=0, 那么通过圆心的一条直线方程是( )
A. 2x -y -1=0B. 2x +y +1=0 C. 2x -y +1=0 D. 2x +y -1=0
6. 如果x +y +Dx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，则( )
A. D ≠0, E ≠0, F =0 B. D ≠0, E =0, F =0
C. D =0, E ≠0, F =0 C. D =0, E =0, F ≠0
7. 若x +y +(λ-1) x +2λy +λ=0表示圆，则λ的取值范围是( )
A. (0, +∞) B. [, 1] C. (1, +∞) (-∞, ) D. R
8. 圆 x +y +Dx +Ey -3=0的半径为2，圆心在坐标轴上，则当D>E时，D 的值是( ) [***********]
A. 2 B. 0 C. 2或0 D. ±2
9. 方程x 2+y 2+2ax -2ay =0表示的圆( )
A. 关于直线y =x 对称 B. 关于直线x +y =0对称
C ．其圆心在x 轴上，且过原点 D. 其圆心在y 轴上，且过原点
二、填空题
10. 经过圆x 2-2x +y 2=0的圆心C ，且与直线x -y =0垂直的直线方程是_____.
11. 已知圆x 2-4x -4+y 2=0的圆心是P ，则点P 到直线x -y -1=0的距离是_______.
12. 若点(2a , a -1) 在圆x 2+y 2-2y -4=0的内部，则a 的取值范围是_______.
13. 已知圆C ：x 2+y 2-2x -ay -3=0(a ∈R ) 上任意一点关于直线l :x +y +2=0的对称点都在圆C 上，则a =_________
三、解答题
14．求过三点O (0, 0) , A (1, 1) , B (4, 2) 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
15. 已知方程x +y -2(m +3) x +2(1-4m ) y +16m +9=0表示一个圆
(1) 求实数m 的取值范围； (2) 求该圆半径r 的取值范围。
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