函数与极限(上)

第一章 函数与极限

第一节 映射与函数

A . 集合的表达方式：很基础，要求快速准确地写出。

注：*表数集内排除0；+表示数集内排除0和负数；真子集符号。

B . 集合运算：这些在概率里会有应用，但部分含义是有区别的。（具体内容见概率部分） 注：差集的表示A\B；集合运算的四个定律，尤其是对偶律。

C . 映射：这些内容的理解直接影响着对函数概念的深入理解。

注：构成映射的三个要素与判断函数是否相同的两个要素；逆映射和复合映射与反函数和复合函数的联系。

D . 函数：概念，参照上面C 。

E . 函数的几种特性：这些应该很Easy 了，但不要马虎。

注：有界⇔既有上界也有下界；单调性是对包含在定义域内的某个区间而言的；奇偶性的前提是函数定义域要关于原点对称；周期性的前提是函数定义域是无穷集。

F . 反函数和复合函数：参照C 。

注：复合函数经常考查的知识点，比如求解定义域，书写表达式等，这些从它的定义出发去求解是个很好的方法，详见后面例题。

G . 基本初等函数和初等函数：要对5类基本初等函数的各方面性质十分熟悉，能画草图。

例题

【课后习题】

P21第5题 ，考查函数二要素：定义域和对应法则。（3）是同一函数，其他的定义域均不同。 推荐做一下6题（画草图）、16题（复合函数）、17题（写函数表达式一定不要遗忘定义域）。

【相关真题】

90年：设函数f (x ) =⎨⎧⎪1, x ≤1

⎪⎩0, x >1, 则f[f(x)]=________。

分析：复合函数f ·g 的定义要求中间函数g 的值域要在“外”函数f 的定义域内，所以从g 的值域入手，按定义求解，这里的g 即f(x)。

解： “内”函数f(x)当|x|≤1时，其值为1，此时1属于“外”函数定义区间 |x|≤1，所以复合后的值为“外”函数|x|≤1时的值，即等于1；

“内”函数f(x)当|x|>1时，其值为0，此时0属于“外”函数定义区间 |x|≤1，所以复合后的值为“外”函数|x|≤1时的值，同样等于1。

综上，此题结果f[f(x)]=1。

注：这一节的题目大多会作为其他题目的一个解题环节，很基础，但一定要掌握扎实。

第二节 数列的极限

A . 概念：任意给定正数ε，总存在正整数N , 对于n>N的一切x n 均满足极限不等式。

注：1. 极限等于无穷只是一种极限不存在的特殊情况的描述，并非极限存在

2. 对极限定义任意方式的描述，必须满足以上三点红色字体内容。（即可以等价过来）

B . 收敛(极限存在) 数列的性质：唯一性(多用于反证) 、有界性、保号性、任一子数列同收敛 注：此处的数列极限有界性和保号性与函数极限相应性质的区别（见后）

第三节 函数的极限

A . 概念：对于自变量趋于有限值的情况，描述中重点是邻域，且可以是去心邻域，也就是某点有无定义不影响此点是否有极限；自变量趋于无穷时，表达类似于数列极限。

注：双侧极限，即左右极限，尤其在分段点处。

B . 函数极限的性质：唯一性、有界性(局部) 、保号性(局部) 及其两个推论、与数列极限的关系

注：1. 函数的有界性和保号性都是局部性质，都是指在极限存在的前提下，会存在自变量的 某个去心邻域满足有界性和保号性，且此去心邻域包含在满足极限存在的去心邻域中。

2. 函数极限与数列极限关系的三个前提条件：自变量趋于某个有限值时函数极限存在、数列为函数定义域内收敛于那个有限值的数列、数列元素不包含那个有限值。

例题

【课后习题】

P37、38第1、2、3题，建议做一下，考查函数极限定义，很基本，别马虎

P39第12题，函数极限局部有界性的定义扩展。实质是当函数极限存在时，都可以找到两个参数来描述有界：1.x 趋于有限值的两个参数：某个去心邻域，某个界定函数值M ，当x 在此邻域内函数满足有界性。2.x 趋于无穷时的两个参数：某个大X ，某个界定函数值M ，当|x|>X时函数满足有界性。

【相关真题】

此部分相关知识点的考查，大多为其他题目的一个解题环节，比如局部有界性和局部保号性（后面章节会提及），还有双侧极限的考查频率很高，但大多注意分段点及某些特殊点处求解左右极限即可，难度一般不大。

92年：当x 趋于1时，求解函数x -1

x -121e x -1的极限。（原题是选择题）

分析：显然x=1是此函数的特殊点，需要分双侧极限讨论。 lim +x -1x -1

x -1

x -12211解：x →1e x -1=lim +(x +1) e x -1=+∞(此时x →1111x -11→+∞) x →1lim -e x -1=lim +(x +1) e x -1=0(此时x →1x -1→-∞)

所以极限不存在，也不是无穷。

第四节 无穷小与无穷大

A . 概念：无穷小与去穷大即指函数在自变量的某个趋向下其极限值是0或无穷。

B . 性质：1. 函数极限存在⇔函数等于极限值+无穷小（多用去证明中去掉极限符号）

2. 同一趋近下的无穷小与无穷大的倒数关系，注意何时要求f(x)≠0

C . 渐近线：水平y=a(x趋于无穷时函数的极限值为a) 、垂直x=a(x趋于有限值a 函数极限值为无穷) 、斜渐近线y=kx+b(x趋于无穷, 分式

例题

【课后习题】

P42第5、6、7题，建议做一下, 熟练掌握极限定义，区分无界与极限为无穷以及极限不存在的区别与联系。

第五节 极限的运算法则

A. 定理：注意描述中的有限，如有限个无穷小的和与积也是无穷小，当无限时情况不定； 有界函数与无穷的乘积为无穷小（应用频率很高）、极限的四则运算的前提（如必须每个参与运算的函数其极限必须存在、再如极限的商以及数列的极限运算）

B . 不等关系：极限保号性的应用

C . 复合函数的极限：1. 满足复合函数的存在前提；2. 内函数的极限值以及内函数的函数值满足使外函数在此值处极限存在的前提。此处求解时多用变量代换。 f (x ) x 的极限为k ，算式f (x ) -kx 的极限为b)

例题

【课后习题】

P49第4、5题，对定理的理解考查，注意定理成立的各个前提条件。

【相关真题】

P49第4题本就是2003的一道选择题。 分析：（1）和（2）描述本质一致，所以排除；（3）为0* ∞，结果未定，故排除；选（4） 解：极限不等式成立的条件，对于数列是“存在一个N ，当n>N时，一切…”，所以不是对于任意n 成立，故（1）（2）、错。同一趋近下无穷小与无穷大的乘积结果未定，如a n =0, c n =n ，此时满足假设，二者乘积显然为0，故极限为0；若a n =1n , c n =n ，也满足假设，但二者2

乘积为n ，此时极限为不存在，所以（3）错。（4）可用反证法，若存在，则b n c n

b n 极限存在，

即c n 极限存在，显然与前提矛盾。当然这里可以直接记住：非无穷小与无穷大的乘积极限不

存在，这是肯定的。