第1讲 有理数的概念和性质和答案
第一讲 有理数的概念和性质
一、【概念和性质】 1、正数和负数
正数:比0大的数。如+3、+1.5、+1
2、+584(正号可以省略)
负数:比0小的数。如-3、-1.5、-1
2 、-584(负号不可以省略) 零:既不是正数,也不是负数。零是正数和负数的分界。
【实际意义】如“零上”和“零下”
“高出”和“低于”
“上升”和“下降” “超出”和“不足” “盈利”和“亏损” “收入”和“支出”
▲ 如正数表示某种意义,那么负数表示它的相反的意义。 例:用正数表示向南,那么向北3km 可以用负数表示为-3km ,
向南-5km 表示向北5km
填空(1)若汽车向东行驶2.5千米记作+2.5千米,则向西行驶1.5千米
记作 ;汽车原地不动记作 。
(2)某人转动转盘,如果+2圈表示沿顺时针转2圈,那么圈-3表示 2、整数和分数统称为有理数。 有限小数
小数
无限循环小数
分数 (分子是1时,这个分数就是正数)
无限小数
无限不循环小数(无理数)
▲ 有理数可以写成
n
(m 、n 是整数,n ≠0)。
▲ 有理数的两种分类:
① 按定义分: 正整数 整数
自然数
0 负整数
有理数
正分数
分数
负分数
② 按符号分(常用): 正整数
正有理数
正分数
有理数
0(零既不是正数,也不是负数)
负整数
负有理数
负分数
几个重要概念
(1)非负数:正数和零 (2)非正数:负数和零 (3)非负整数:正整数和零 (4)非正整数:负整数和零
3、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
所有有理数都可以用数轴上的点表示,但不是数轴上所有点都是有理数。
小
-2 -1 0 1 2 大
左边的数 〈 右边的数
▲ 正数大于0,0大于负数,正数大于负数。 两个负数,绝对值大的反而小。
1
③ a2+ 是正数;
2
121
④ -a +2 的值不小于2 二、【基础练习】
[例1](1)一个月内小明体重增加2kg ,小华体重减少1kg ,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值。
4、绝对值的意义与性质:
① 数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值,记作|a |。
一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。
②
③ 非负性 (|a |≥0, a 2≥0)
④ 非负数的性质: i)非负数的和仍为非负数。
ii )几个非负数的和为0,则他们都为0。
5、绝对值相同,符号相反的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。 ▲ 几何特征:关于原点对称(到原点的距离相等) 6、乘积是1的两个数是互为倒数(0没有倒数) 乘积是-1的两个数是互为负倒数
▲ 正数的倒数是正数,负数的倒数仍是负数
▲ 除以一个不为0的数,等于乘以这个数的倒数。 【思考】
已知a 为有理数,判断下列语句是否正确: ① (a+1
2)2是正数; ② -(a -1
2)2是负数;
(2)2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是:美国减少6.4%,英国增长1.3%,中国增长7.5%,写出这些国家的增长率。
解:(1)小明体重增长2kg ,小华体重增长-1kg ,小强体重增长0kg
解:6的相反数是-6,-8的相反数是8,-3. 9的相反数是3.9,2的相
反数是2,11的相反数是11,100的相反数是-100,0的相反数是0 -
5
-
22
② 若a <0,b <0,那么a+ b 0;
[例4] 写出下列各数的绝对值:
6,-8,-3. 9,-5
12,0 解:|6|=6,|-8|=8,|-3. 9|=3. 9,|-
512
|=
512
,|0|=0
[例5] 比较下列各对数的大小:
1(1)-(-1) 和-(+2)
(2)-8
21和-3
7
(3)-(-0. 3) 和
|-3|
解:(1)先化简:-(-1) =1,-(+2) =-2
正数大于负数1>-2即-(-1) >-(+2) (2)
|-
821|=
821
,
|-397
|=
37
=21
898
3∵ 21
21 即
|-
21
|
|
∴
-821>-
37
13)先化简:-(-0. 3) =0. 3
|-1(3
|=
3
0. 3
13
∴
-(-0. 3)
13
|
填空 :① 若a >0,b >0,那么a+ b 0;
三、【培优练习】 1、若ab 0, 则
|a ||b |ab |a +b -|ab
的值等于多少?
解:ab > 0, 则a 、b 同号,
|ab |
ab =1
若都是正号,得 |a ||b |
a +b =2 , 得数为2-1=1
若都是负号,得 |a ||b |
a +b =-2 , 得数为-2-1=-3
2、如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的( )
A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 解: D
3、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求x 2-(a +b +cd ) x +(a +b ) 2006+(-cd ) 2007的值。
解: 已知 a +b=0 ,c d =1 , |x |=2
原式= 4-x+0-1=3-x =3±2=5或1 4、已知(a -3) 2+|b -2|=0,求a b 的值是( )
A.2 B.3 C.9 D.6
解:根据非负性,有 a-3=0, b-2=0 得 a=3, b=2 a b = 32 = 9
5、三个有理数a , b , c 的积为负数,和为正数,且
X =
a +b +c +|ab |+|bc |+|ac |2、某地一天中午12时气温是7℃,过5小时气温下降了4℃,又过7小时气温又下降了4℃,第二天0时气温是多少?
则ax 3+bx 2+cx +1的值是多少?
|a |
|b |
|c |
ab
bc
ac
解:由 abc <0 设c <0, 得a 、b 同号
由a+b+c>0 得 a >0 b >0
X=1+1-1+1-1-1=0 所以 ax 3
+bx 2
+cx +1 = 1
6、若a , b , c 为整数,且|a -b |2007+|c -a |2007=1,
试求|c -a |+|a -b |+|b -c |的值。 解: 即 |a-b |
2007
+ |a-c |
2007
=0
b、c 具有同等性
可设 |a-b |=1 且 |c-a |=0 |b-c |= |b-a |=1
|c -a |+|a -b |+|b -c | = 0+1+1=2
【巩固练习】
1、下面哪些数是正数?是负数?
5,-5
7,0,0.56,-3,-25. 8,-0. 0001
3、化简下列各数:-(-68) ,-(+0. 75) ,
-(-35)
,-(+3. 8)
4、比较下列各数大小:(1)-3和-5 (2)-2. 5和-|-2. 25|
5、 写出下列各数的相反数
1
-4,+2,-1. 5,0,3,-
9
4
6、写出下列各数的绝对值:-125,+23,-3. 5,0
7、 如果|x |=2,那么x 一定是2吗?如果|x |=0,则x 等于几?
若x =-x 则x 等于几?
8、计算:1+2-3-4+5+6-7-8+„+2005+2006
9、计算:1×2+2×3+3×4+„+n(n+1)
10、计算:5
933652+
4+178+16
+32+12964
-13
11、已知a , b 为非负整数,且满足|a -b |+ab =1,求a , b 的所有可能值。
12、若三个有理数a , b , c 满足|a |b |c |a +|b +|c
=1,求
|abc |abc
的值。
【答案】
5,0.56;负数:-5
1、 正数:7,-3,-25. 8,-0. 0001 2、
3
3、 68,-0. 75,5,-3. 8
4、(1)-3>-5 (2)-2. 5
9
3,4 6、125,23,3.5,0
7、(1)x 可以是2或-2 (2)x =0 (3)x =0 8、 1+2-3-4+5+6-7-8+„+2005+2006 = (-4)×2004÷4+2005+2006 = -2004+2005+2006 = 2007
9、 1×2+2×3+3×4+„+n(n+1)
= (12+1)+(22+2)+(32+3)+.......+(n 2+n) =(12+22+32+.....+n2)+(1+2+3+....+n) = n(n+1)(2n+1)6+
n(n+1)2
=
n(n+1)(n+2)
3
12、若三个有理数a , b , c 满足
|a |a
+
|b |b
+
|c |c
=1,求
|abc |abc
的值。
10、
+
25
94+178+3316
+6532+12964
-13
解:得 a 、b 、c 必为二正一负,得 abc <0
|abc |abc
= -1
111111
= 22+24 +28 +216 +232+264-13 111111
= 2 + 4 +8 +16+32+64-1
[1**********]61
= 2 + 4 +8 +16+64-64 = 2+ 4 +8 +64 -64 1185711649
= 2 + 4 +64 -64 = 2+ 64-64 32331
= 64 -64 = -64
11、已知a , b |a -b |+ab =1,求a , b 的所有可能值。 解: a =b 时, a =b =1
a ≠b 时, |a -b |=1 ab=0 a=0时, b=±1 b=0时, a=±1