凸函数及其应用
§2 凸函数及其应用
凸函数定义及其等价形式:
设f(x)在区间I 上有定义, 若对任意x 1 、x 2∈I ,λ∈[0,1]成立不等式:
f(λx 1+(1-λ)x 2) ≤ λf(x1)+ (1-λ)f(x2)
则称f(x)是区间I 上的凸函数。
f(x)是区间I 上的凸函数当且仅当对任意x 1 、x 2 、x 3∈I ,x 1
f (x 3) -f (x 1) f (x 3) -f (x 2) f (x 2) -f (x 1) f (x 3) -f (x 1)
, 。 ≤≤
x 2-x 1x 3-x 1x 3-x 1x 3-x 2
事实上,设λ=
x 2-x 1
,则0
x 3-x 1
一式, 变形后即得定义形式。
定理:若f(x)在区间I 上连续,则f(x)是区间I 上凸函数的充要条件为:对任意x 1 、x 2∈I 成立 f (
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
) ≤ 。 22
证:只须证明充分性。设n = k ≥ 2 时成立:
f (
x 1+x 2+ +x 2k
2k
) ≤
1
(f (x 1) +f (x 2) + +f (x 2k ) ) 。 k 2
1x 1+ x 2k x 2k +1+ +x 2k +1
) =f ((+))
22k 2k
考察n = k+1的情形:f (
x 1+ +x 2k +1
2k +1
≤
x 2k +1+ +x 2k +1⎫1⎛x 1+ +x 2k
f () +f () ⎪ k k 2⎝22⎭
1⎛11⎫≤ k (f (x 1) + +f (x 2k )) +k (f (x 2k +1) + f (x 2k +1)) ⎪2⎝22⎭1
=k +1(f (x 1) +f (x 2) + +f (x 2k +1) ) 。 2
m 2n -m
设λ=n ∈[0,1],则1-λ=。注意到kx = x +x + +x ,所以由上 22n k
mx 1+(2n -m ) x 2m 2n -m
) ≤n f (x 1) +f (x 2) 。可知 f (λx 1+(1-λ) x 2) =f (
2n 22n
对任意λ∈[0,1],可用二进制数列{
m
}逼近,于是由连续性即证得定理。 n 2
注:定理中f(x)连续性条件不能去掉。否则, 即使定理中其他条件都成立,在实数域内f(x)也不一定是凸函数(参阅史树中编《凸分析》P.72)。
范例:
'(x ) , f _'(x ) 都存在,1、若f(x)是区间I 上的凸函数,则对I 的任一内点x ,f +'(x ) ≥f _'(x ) 。 而且f +
证:x 1
f (x 1) -f (x ) f (x 2) -f (x )
。当x 1↑x 时,上式左边↑,≤
x 1-x x 2-x
当x 2↓x 时,上式右边↓,在由单侧导数定义即证。
2、设f(x)是区间I 上的凸函数,则在I 的任一闭子区间上f(x)有界。 证:设[a,b]⊂ I ,∀x ∈[a,b],取λ=
x -a
,则x =(1-λ)a + λb , b -a
f(x) ≤(1-λ)f(a) + λf(b) ≤ M ( 此处M= max(f(a) , f(b)) ) 。 再令c =
a +b
,∀x ∈[a,b],存在x 关于c 的对称点x ',由f(x)的凸性得到 2
f (x ) +f (x ') 11
f (c ) ≤≤f (x ) +M ,因此,f(x) ≥ 2 f(c)– M = m 。
222
3、设f(x)是区间(a ,b )上的凸函数,则在(a ,b )的任一闭子区间上f(x)
满足Lipschitz 条件。
证:设[α, β]⊂(a ,b ),取h > 0,使得 [α-h , β+h ]⊂(a ,b )。∀x 1 、x 2∈[α, β],x 1
f (x 3) -f (x 2) M -m f (x 2) -f (x 1)
. ≤≤h x 2-x 1x 3-x 2
又令x 3 = x1 – h ,则
f (x ) -f (x 3) f (x 2) -f (x 1) M -m
.因此有 ≥≥ -
h x 2-x 1x 1-x 3
f (x 1) -f (x 2) ≤
M -m
x 1-x 2 。 h
(注:由1知区间上凸函数一定连续,由3知区间上凸函数内闭一致连续。)
4、设a 1 ,a 2 ,...,a n ,为n 个正数,证明:
∏a
i =1
n
a i i
⎛n ⎫
≥ ∏a i ⎪⎪⎝i =1⎭
1n
1n
a i n i =1
∑
。
证:取对数原式变形为
∑a ln a
i
i
≥(∑a i ) l n ∏(a i ) ,注意到
a ∑a ) ) ,即证
i
i
ln(∏a i )
1
n
a ∑≤) ,只须证
i
n
∑a i ln a i ≥(∑
n
11∑a i ) 。为此,设f (x ) =x ln x ,上式可表示为
a ln a ≥(a ) ∑i i n ∑i
n n 11
f (a i ) ≥f (∑a i ) 。由于f ''(x ) >0 ,f(x)是凸函数,故而命题成立。 ∑n n
5、设p k >0, a k >0 (k = 1,2 ,…, n) 。求证:
∑p
k =1
n
n
k
p k ∑k =1a k
∑p k ln a k )
≤e p k ≤
(
∑p a
p
k k
k
。
证:原式可变形为-ln(
∑(
p k p p a 1
) ≤∑(k ) ln a k ≤ln ∑(k k ) ,于是p k a k p k p k
由f (x ) =-ln x 的凸性可得第一个不等式,由g (x ) =ln x 的凹性可得第二个不等式。
6、设p > 0 , q > 0 。求证:当 0
π
2
q
时 sin x cos x
p +q
p q
p p q q
。
(p +q ) p +q
⎛sin 2
证:原式可变形为 p
⎝x ⎫⎪⎪⎭
p
⎛cos 2 q ⎝x ⎫⎪⎪⎭⎛1⎫
,取对数又可变形为
p sin 2x q cos 2x 1
) +)
7、设a i > 0 , bi > 0 , qi > 0 ,
∑q
i =1
n
i
=1 , 则:∏a +∏b ≤∏(a i +b i ) q i 。
q i
i
q i i
i =1
i =1
i =1
n n n
n
⎛b i
证:原式变形为 1+∏
i =1⎝a i
n ⎫⎪⎪⎭
q i
⎛b i
≤∏ 1+a
i =1⎝i ⎫
⎪⎪,取对数又可变形为⎭⎛b i ∏ a ⎝i
b ⎫q i ln i ∑a i ,⎪⎪=e ⎭q i
q i
⎛⎛b i
ln 1+∏ a ⎝i ⎝
⎫
⎪⎪⎭
q i
⎫⎪≤⎪⎭
b i
q ln(1+) 。注意到 ∑i
a i
b b
b i ln i q i ln i ⎫⎛∑a a i ⎪=e i ,上式又可变形为 ln 1+e ≤a i ⎝⎭b
ln i ⎫⎛
1+e a i ⎪ 。令∑q i ln ⎝⎭
f (x ) =ln(1+e x ) ,由f(x)的凸性即证。
8、设a k i >0, λ
n
m
k
>0(i =1, 2, , n , k =1, 2, , m ) , ∑λ
k =1
m
k
=1 。则:
∑∏a
i =1k =1
λk
k i
⎛n ⎫
≤∏ ∑a k i ⎪ 。
k =1⎝i =1⎭
1
m
λk
注:若m=2,记a 1i =a i , a 2i =b i , p =
λ1
, q =
1
λ
,则上式就是H o lder 不等式
..
2
∑a b ≤(∑a (∑b )
∑A B ≤(∑A (∑B i
i
i
p
i
p
p
q
i
i
i
i
, 再记A i =a i , B i =b i , 不等式又可写成:
p
, 当p =q =2时即得柯西不等式。
证:记Ak =
∑a
i =1
n
ki
,右边即为
λ
∏A λ
k
k
,不等式变形为:
⎛a 1i ∑ i =1⎝A 1
n ⎫⎪⎪⎭
λ1
⎛a 2i A ⎝2⎫⎪⎪⎭
2
⎛a mi A ⎝m ⎫⎪⎪⎭
λm
≤1 ,
⎛a 1i
由于 A
⎝1⎫⎪⎪⎭
λ1
⎛a 2i A ⎝2⎛a mi ⎫⎫
⎪ ⎪ A ⎪⎪⎭⎝m ⎭
λ2λm
≤
λ1
a 1i a a
+λ22i + +λm mi A 1A 2A m
,及A k 的
定义可知不等式成立。
9、设a k >0, b k >0 ,p >1 。求证Minkowski 不等式:
(∑(a
k
+b k ) p
≤
(∑a )
p k
+
(∑b p k
p
。
证:记c k =a k +b k , 则:(a k +b k ) p =
∑∑a c
p p -1
p
p -1
k k
+∑b k c k
p
p -1
=∑(a )
p k
(c )
p k
p k
p -1
+∑(b )
p k
(c )
p k
p -1
p -1
≤
(∑a (∑c )+(∑b )(∑c )=⎡(∑a +(∑b )⎤[∑(a +b ) ]⎢⎥⎣⎦
p
k
p
p k
p k
p k
p
p k
p
p
k
k
p -1
p
再注意到1-
1p -1=即证。 p p
n
n
a k 1
10、设a 1, a 2, , a n 是互不相同的正整数,则:∑2≥∑ 。
k =1k k =1k
⎛1⎫⎛n 证: ∑⎪= ⎝k =1k ⎭ ⎝k =n
2
⎛n a k ⎫⎛n 1
≤ ∑2⎪ ∑⎝k =1k ⎭⎝k =1a k
2
⎫⎛n a k ⎫⎛n 1⎫
⎪≤ ∑2⎪∑⎪ ,最后一⎭⎝k =1k ⎭⎝k =1k ⎭
个不等式是因为诸a k 各不相同,故可设a k ≥k 。
11、设f (x )在[a,b]连续,ϕ(x ) 是(-∞,上的凸函数,则: +∞)
11
ϕ(f (x )) dx ≥ϕ(f (x ) dx ) 。 ⎰b -a ⎰b -a a a
∆x i ∆x i 1n
证:在不等式ϕ(f (ξ)) ∆x =(f (ξ)) ≥ϕ(f (ξi )) 两边∑∑∑i i i
b -a i =1b -a b -a
令λ=max{∆x i }→0(n →∞) 取极限即证。
12、设f(x)在(a ,b)连续,则f(x)是凸函数的充要条件是:对任意含于(a ,b)的闭区间
b b
1
[x-h,x+h],都有 f (x ) ≤f (x +t ) dt 。 ⎰2h -h
证:(必要性)∀t ≤h ,f(x) ≤
h
1
( f(x-t) + f(x+t)),故 2
h
1
2 h f(x) ≤
2
h
-h
⎰f (x -t ) +f (x +t ) dt =⎰f (x +t ) dt 。
-h
(充分性)假定存在x 1
x 1+x 21
) >[f (x 1) +f (x 2)]。作辅助函数22
x +x 2f (x 2) -f (x 1)
) >0,)。则 ϕ(12x 2-x 1
(其中k = ϕ(x ) = f(x) – k (x – x 1 ) – f(x 1) ,
因此 max ϕ(x ) =ϕ(x 0) >0。取h > 0 ,[x0-h , x0+h] ⊂[ x 1 , x 2] ,当t ≤h 时
[x 1, x 2]
h
ϕ(x 0) -ϕ(x 0+t ) ≥0,且不恒为零,因此2h ϕ(x 0) >⎰ϕ(x 0+t ) dt ,再由ϕ(x ) 的
-h
h
定义推出 2hf (x 0) >
-h
⎰f (x
+t ) dt 。