质点运动学
几个基本概念 机械运动: 物体之间或同一物体的不同部分之间相对位置的变
化。 是最简单最基本的运动.
运动学: 研究物体运动状态(位移、速度等)随时间的变化情
况。及运动的轨迹。但不涉及引起变化的原因。
动力学: 研究物体运动与物体间相互作用的内在联系, 即物体
受力后将如何运动。
平动:物体运动时,物体上各点的运动轨迹形状完全相同――轨迹
可完全重合;或在物体上任意画一直线,而当物体运动时,
该直线的运动总是保持平行移动。物体的这种运动
――平动。
转动:物体运动时,其上的各点均绕空间某一定点旋转;或物体上
总有某些点的运动轨迹不完全相同,均称为转动。
质点:物体
转动的半径)质
点。
第一章 质点运动学
1-1 参考系,坐标系
第一章 运动学---()
p.62:本章 作业A----- 3,4,6(选),7~8,10
作业B------9,11,14,16~19
一. 参考系-------观测系
参考系:为了描述物体运动而被选作参考的其它物体或物体群。 1. 描述物体运动必须选取参考系。
2. 参考系选取的任意性。当以地球为参考系时,一般不说明。
3. 运动描述的相对性。参考系不同,描述的运动状态也不同。 如:无风时下雨,雨滴相对地面(地面作参考系)作直线运动。
雨滴相对行进的火车却是作抛物线运动;
二. 坐标系
坐标系:用以精确确定物体相对参考系位置的度量系统。 通常,是在参考系上再建立一个坐标系。
坐标系分类:
按与时间的关系分为:固定坐标系;瞬时坐标系(自然坐标系) 固定坐标系――
A) 按坐标轴的形态分:r , θ, ϕ),
柱坐标系,极坐标系(r , ϕ)。路径坐标系(S )
1
B) 按坐标的维数可分为:
最常用坐标系:
•三维直角坐标系( x , y , z ) 三. 时间与时刻
时刻:与运动质点的位置一一对应。
时间:与质点所经过的一段路程相对应。也是两个时刻之差。
1-2 质点运动的一般描述
一. 质点位置矢量
位置矢量(位矢、矢径)r :用来描述某时刻质点位置的矢量(其矢端表示位置)。(只用位置点P(t),无法计算!)
P :表示某点位置
r :称为位置矢量,
(是某t 刻的)
r :也表示该P 点的
位置。是指r
的
末端位置。
⎧⎪|r |==r (有书也以此表示大小)
或用: ⎨⎪⎩cos α=x /r , cos β=y /r , cos γ=z /r (即用:模和方向角的余弦来表示
r 也可写成r r )
0, 其中r 0是r 的单位矢量。(r 0≡r ˆ--单位矢量)
二. 运动方程
质点位置若写成随时间变化的关系式时。该关系称为质点的运动方程。如质点位置坐标与时间(即时刻)的函数关系:
r (t ) =x (t ) i +y (t ) j +z (t ) k
就是运动方程,即 或写成分量投影方程:{x =x (t ); y =y (t ); z =z (t )} 由投影方程消去t, 得到的方程就称为轨迹方程。一般写成 2 α α
f (x , y ) =0。 , 即路程示位置~随时间的变化关系也称为运动方程。
r 一. 位移∆r 是描述质点位置移动的物理量(即:的变化),
二.
1-3 位移,速度,加速度 是矢量。注意它不是r 。 如图:
r (t ) +∆r =r (t +∆) t
说明:① ∆r 表示位置的改变,是有向线段。不是经历的路程∆S ② 一般说来:|∆r
|≠∆s ;但在单向直线运动时,二者相等。
③ 该矢量模与一般的不同: |∆r |≡|r 2-r 1|≠|r 2|-|r 1|≡∆r
注意:∆r 有特定的含义,是两个|r |的长度之差(见上式),因是长度之差,∆r 可以写成任意形式符号---如∆l 。而∆r 的模只能用 |∆r |表示,不能用∆r 表示。与一般矢量不同。即没有|∆r |=∆r 的式子。 dr 三. 速度 位置矢量r 对时刻的变化率。即: dt 另:在∆t →0时,二者近似相等(此时,P 2无限接近P 1)。
3
模表示
即:
速度方向:只沿轨迹切线方向-见图。
v ≡∆r
∆t =位移/时间
3、平均速率 ∆S
≡∆t =路程/时间
注意:二者不同!!
平均速度大小=v =∆r ∆
∆t ≠平均速率==S
∆t
故平均速度大小也不可称为平均速率。(速率只与路程相关)
四. 加速度 速度V 对时间的变化率。即:d v
d t
)
加速度 加速度的方向: 是∆t →0时的△方向(见图)
常用的分量形式:
r =xi +yj +zk
4 +Q ++Q ++Q ++Q +Q
dr dx dy dz V ==i +j +k =V x i +V y j +V z k dt dt dt dt
dx dy dz 坐标投影:V x =, Vy =, Vz
=
可知,由运动方程求导就可求得速度和加速度之表达式---题型之一。 若再代入t 到表达式中就可得到某时刻的速度和加速度值!! 注意: r , v , a (或∆v )是三个各自独立的矢量,这三个矢量的
方向一般是不同 类似于 等等也有类似。 上面主要讲的是r , v , a 矢量表示的两种形式: ① i , j , k 表示:A =A x i
+A y j +A z k 这里A 就看成是r , v , a
,cos α=A x /A , … ② 模和方向角表示:A =
1-4质点的直线运动
一、基本表示
在直线运动中,由于位移、速度、加速度等物理量均在一维 方向上,前面的r , ∆r , V 等,均成了xi , ∆xi , V x i 。故这些量只需用其代数量(x ,⊿x ,V x 等)来表示。其方向由这些物理代数量
结果的“±”号确定。 故i , j , k 不再需要。
如一维运动,有如图
5
的表示。X (即坐标)----表示位置
运动方程 (具体形式若给出,求导就可以求出
速度、加速度等----第一类题型)
位移 用⊿x 表示,若无限小,则用dx 。 t )
⎧dx ⎪V >0沿x轴正向
速度 V =V x =dt :有⎨V
dV X d 2x ⎧a >0加速运动=2⎨加速度 a =dt dt ⎩a
上述各量若为正,则其各矢量方向沿X 轴正方向,为负则反之。
14土木1234----第一周五! 前面主要讲的是(r , v , a ):矢量表示的两种形式: A 、用 i , j , k 表示:A =A x i +A y j +A z k
A 就看成是r , v , a
cos α=A x /A , B 、模和方向角表示:A =注意:作业A 类题!---作业题基本上是一维问题!
若是多维问题,就要分别计算每一维的投影,再分别加上 而合成。 i, j,k
!讲到这里--就要接讲P .13例题或“选用复习题”中的1--3题
(下面是反求运动方程----第二类题型)
二、匀速直线运动
1 是一维问题。
2、!!
t x dx v ≡→vdt =dx →⎰vdt =⎰dx 步骤:t 0x 0dt
由于速度的大小不变,所以上面积分为:
→v ⎰dt =⎰dx t 0x 0t x
假定取初始时刻为0 6
三、匀变速直线运动
1 也是一维。
2t v dv a ≡→→a ⎰dt =⎰dv →→a (t -t 0) =v -v 0 t 0v 0dt
dx →a (t -t 0) dt +v 0dt =dx 再对应积分得 上式乘dt ,且v =d t
1→⎰[a (t -t 0) +v 0]dt =⎰dx →a (t -t 0) 2+v 0(t -t 0) =x -x 0t 0x 02t x
最后表达式即为运动方程,若初始时刻取为0,则运动方程:
3、路程(坐标)与速度关系 (以匀加速直线运动为例)
dv dv dx dv a ≡=⋅=⋅v ---写成速度、坐标的导数形式 dt dx dt dx
2v 2-v 0∴⎰adx =⎰vdv →→a (x -x 0) = x 0v 0x v
推广:如果是三维运动,就要分别计算每一维相应的投影 量和每一维的分运动方程,再分别加上 i, j,k →最后再合成。
四、运动的合成――曲线运动的解法
1、运动叠加定理
一个运动可以看成是几个各自独立(互不影响)进行的运动迭加而成。(每个独立运动都是直线运动)
2、例:斜抛运动=水平匀速直线运动+垂直的匀加速直线运动
设向上抛射角为α,则运动方程为:
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1-5 质点的曲线运动
一. 平面曲线运动
平面曲线运动的轨迹可以看作是由无限多无穷小线段连接而 成,每个无穷小线段都能与某个圆周紧密“内切”。故一个任意 的平面曲线运动,就可以视为由一系列小段圆周运动所组成。 瞬时坐标系:称为自然坐标系,坐标系为O --τ, n --为单位矢量。
由于质点运动,
自然界中,大量的运动均是曲线运动,就不宜用固定坐标系。
曲率圆2
如图:当质点在P 1时,P 1点为原点,此时方向在--(n 1, τ1) 。或用t 1表切向。 当质点在P 2时,P 2点为原点,此时方向在---{n 2, τ2或用t 2}。 两个曲率圆均是质点运动轨迹的内切圆。切点分别是P 1,P 2。
1. 自然坐标系中的线速度和线加速度表示:
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由于
,所以: 速度:
加速度: =n ≠0 记住!可以证得(见后): !--不证! dt ρ
这里ρ是曲率圆(即相切圆) 的半径,所以: 这里为切向、法向的单位矢量。
① 式中的α、β角要画图表示出来!!说明其所在何位置。
d τv =n ≠0的证明见下(自己看!关于!): dt ρ才dv dv v 2a ≠=a τ,② !但直线时a n =a ==a τ=
→0,dt dt ρ→∞
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dv τdv 但dS =≠a =注:若用路程S (t ), 则有v =v τ=
,a τ= dt dt dt
二. 圆周运动
1、圆周运动的描述――通常都用角量描述
描述直线运动用的都是线量(含长度单位的量),而描述质点的圆周运动更多的是用角量(含角度单位的量:角度、角速度等),其原因是刚体各点转过的弧长不同,但角度相同;各点线速度不同,但角速度也相同。
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见图:角位置θ:质点所在位置对应的张角。单位:弧度(rad )
角位移∆θ: 质点转过的角度。单位:弧度(rad ) (角位置)角坐标:θ 角位移:Δθ 对比线量:
位移:Δx
dx V =类比的还有: 角速度 类比x dt
单位:rad/s
β易于区分。不用α。 角加速度平均角加速度
=∆ω/∆t
单位:rad/s
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·弧长(切向): ·· 由 V =R ω⇒
和
!!完全类似于一维直线运动
3、匀速圆周运动―――这里是指速率相等的圆运动
仿照:
t θd θ
ω≡→→⎰ωdt =⎰d θ
0θ0
dt
定义: 角速度:ω=
const 或速率圆周运动
可得: 角坐标(运动方程)
用线量表示各量:
θ=θ0+ω t
a
n =R ω2
ρ=R (圆的半径) V =R ω; a τ=0,
4 即:
仿照匀加速直线运动,由角量定义和积分法可以求解如下:
t ωd ω
β≡→→⎰βdt =⎰d ω
0ω0
dt
角速度
ω=ω0+βt 又ω=
d θ
式,并再积分可得出: dt
① 角位置(运动方程)
或:角位移 2
ω2=ω0+2β(θ-θ0)
② 同样有角速度与θ的关系
线量表示:
14土56、桥渡---2周四---已讲AB 题
(不讲!!)1-6 相对运动
简介时间与空间
时间的绝对性:
对于两个作相对直线运动的参考系来说,时间的测量与参考系无关。
空间的绝对性
在两个作相对直线运动的参考系中,长度的测量与参考系无关。但是,位置矢量与参考系有关。
1、位置矢量的相对性
对于P 点: S 系看到:r S’系看到: r '
r '
所以有:
r =r '+oo '
2、位移的相对性
r t 时刻,S ′看到的是左边的P 点,位矢是左边的'。经过∆t
时间后,物体从P 点运动到了P ′点,S ′系看到的是右边的P ′点,原来的P 点也随S ′系右移了一段距离(蓝色线条)。
所以:S 系看到的位移是绿色的∆r ,而S ′系看到的是红色的∆r ' 所以有:
∆r =∆r '+o 'o ''=∆r '+u ∆t
O
3、速度的相对性
最后等式称为速度合成定理 ,将此式写成连续下标式,则为
这是速度合成定理的下标连续表示法。下标上的字母表示动点
和参考物。类似,人在行进的车上运动,则有速度关系
2011年习题本:内容对应必做题目
内容 必做题目
位置、位移、速度等,运动方程 P .62—63:3、6、7、10 直线运动的方程,圆周运动,ω,β,a τ,a n P .63---64:14、16~18 运动学习题课;动量方面的内容 P .65-: 1、2、3、12 功,动能势能,动能定理,积分计算 P .65-: 4、6、8、9 质点系动能定理、功能原理、能量守恒 P .65-66:7、11 刚体定轴转动描述、力矩、转动定律 P .68-: 9、12、13、15 角动量及相关定律、转动的功和动能定理 P .67-: 2、3、6、7 简谐振动的描述、旋转矢量法(矢量圆图) P .69-70:1、2、6、8 单摆、谐振动能量、谐振动的合成-同频率 P .71-: 16、18、21、23 机械波的描述、、平面谐波的波函数 P .73-: 1、4、6、8 波的能量、惠更斯原理、波的干涉 P .74-: 9、10、23、25 习题课、相干光、杨式双缝干涉 P .84-85:1、7、10、11 光程、光程差、劈尖干涉、牛顿环 P .85-86:9、14、17、18 迈克尔逊干涉仪、习题课 P .86-: 21、22 光的衍射、惠更斯-菲原理、单缝衍射 P .87-: 4、5、7、9 光栅、光栅衍射方程、衍射光谱 P .87-88:13、15、24、25 气态参量、理想气体物态方程、压强公式 P .77-: 3、4
气体的平均平动动能、能均分定理、内能 P .77:1、11、14、15、20 M 气体分子速率分布律、三种速率 P .77-79:5、8、12、21
准静态、功、热量、内能、热一律、等值过程 P .80-82:1、7、11、16
等温过程、绝热过程、循环、循环效率 P .87-: 14、15、17、21 热二律(机动!) 无题
MTWE601-010719-U7BN4
x
^ z
j
+
+Q +Q +
+Q
+Q
+Q +Q