马克思-斯拉法均衡与特征值问题
作者：李帮喜藤森赖明
2012年03期
华罗庚教授[1][2][3][4][5][6]在社会主义经济大范围最优化的数学理论中，以不含固定资本的里昂惕夫投入产出模型为对象，通过求一类方阵特征值问题，证明了生产价格均衡系统虽然稳定，但数量均衡系统不稳定的“对偶不稳定性”命题，并通过具体的数值例进行了例证。本文从华罗庚命题出发，以包含固定资本乃至更为一般的联合生产体系为对象，具体分析这类价格和数量均衡的求解问题及其动态稳定性的特征。
斯拉法[7]在较早时期就对联合生产体系下的固定资本问题进行了一些初步的探讨，首次将固定资本的役龄（或年龄）概念引入到联合生产体系的分析中。①置盐—中谷[9]及中谷[10]在工资预付的前提下对包含固定资本的多部门线性经济模型进行了较为系统的分析和总结。②本文将存在联合生产的生产过程，工资为预付，并以等式来定义均衡的多部门线性模型称为马克思—斯拉法模型。[7][13]③置盐—中谷将包含旧固定资本的马克思—斯拉法体系简化成仅含新品的里昂惕夫推广体系，证明了不含旧固定资本而只存在新品的体系下也可决定平均利润率这一命题。④但置盐—中谷的简化方法仅对仅固定资本为联合生产物的情形才能适用，而不能适用于存在多个联合生产物的更为一般的联合生产体系，而且置盐—中谷的简化方法忽略了原马克思—斯拉法体系所具有的动态特性。
本文针对以上问题，考察如何对一般的联合生产体系的均衡问题进行求解，以及如何将其直接变换为一类求方阵特征值的问题。涉及的联合生产体系不限于仅固定资本为联合生产物的情形，而是基于拥有矩形系数矩阵的马克思—斯拉法模型，应用摩尔—彭诺斯（Moore-Penrose）伪逆的性质，对均衡价格体系和均衡数量体系进行一个系统分析。最后，通过具体的数值计算例来验证以上的理论结果。
二、马克思—斯拉法模型与特征值问题
（一）基本框架
不考虑非生产性消费，令生产价格向量为p，投入系数矩阵为A，产出矩阵为B,劳动投入向量为L，工资品向量为f，平均利润率为r，生产价格体系的均衡方程式可表示为，
pB=（1+r）pM（1）
M=A+fL（2）
M为增广投入系数矩阵。
同样，令活动水平向量为x，平均增长率为g，数量体系的均衡方程式可表示为，
Bx=（1+g）Mx（3）
假设m×n阶的矩形投入矩阵M和产出矩阵B满足以下条件：
rank（B）=rank（M）=m=min（m，n）（4）
生产价格p和活动水平x的定义式可简单表示为，
pB=αpM（5）
Bx=βMx（6）
当然，本文均以非平凡解为讨论的对象。
（二）奇异值分解与伪逆
令以B，M的奇异值为对角元素的矩阵分别为Σ、Λ。由B、M的秩条件可知，
rank（Σ）=rank（Λ）=m
可利用适当的正交矩阵U、V、S、T得出B、M的奇异值分解。
这里的U、S为m阶，V、T为n阶。由奇异值分解得出的伪逆可表示为，
值得注意的是，此时的伪逆是唯一的。⑤
（三）均衡行向量
由此可知，它们的特征值互为倒数。
（四）均衡列向量
（六）生产价格方程式与特征值问题
首先，（5）式和（9）式可作如下表述。
取一组适当的非奇异矩阵X，G，Y，对B的奇异值分解施以适当的非奇异变换，可将B分解为，
B=X（G O）Y（16）
这里的G是m阶非奇异矩阵。显然可知，
（七）活动水平向量与齐次联立方程的基本解
（6）式和（11）式可做如下表述。
（八）马克思—斯拉法均衡的特征值问题
应用摩尔—彭诺斯伪逆的性质来求马克思—斯拉法模型的均衡生产价格与均衡活动水平（数量）的问题，可归结为以下的特征值问题。即，
p=（1+r）pC（21）
x=（1+g）Dx（22）
数值计算上需要注意的是，C、D不一定为非负矩阵。而且上述的特征值问题不局限于仅固定资本为联合生产物的联合生产体系，其可适用于以等式定义的任何联合生产体系。
三、数值计算例
如上所述，应用摩尔—彭诺斯伪逆的性质，从理论上明示了更为一般的联合生产体系的均衡求解问题可作为一类含有伪逆的方阵特征值问题来解决的方法。下面，通过具体的数值例来验证上述理论结果。⑩
（一）马克思—斯拉法模型的数值计算例
1.数值设定
投入系数矩阵A，产出矩阵B，工资品向量f，劳动投入向量L分别作如下设定：
增广投入系数矩阵M可由M=A+fL求得。从设定中可知，消费品只有一种。
2.数值例1
马克思—斯拉法模型的均衡生产价格
其特征方程式为，
可知C的特征值为，
由此可求得平均利润率为，
3.数值例2
其特征方程式为，
除重根0以外，D的特征值与C的特征值完全相同。
与D的特征值相对应的右特征向量为，
显然，此时的均衡生产数量的比率也具有经济意义。
4.数值例3
（二）马克思—斯拉法动态均衡的不稳定性
1.动态生产价格体系
马克思—斯拉法生产价格的动态模型的基本方程式可表示为：
由表1可以看出，从初期值p（0）出发到第3期，即有负值的p3出现。这是由于C的非负性未能得到保证，从而导致了负的生产价格的出现。
2.动态数量体系
马克思—斯拉法数量体系的动态模型的基本方程式可表示为，
由表2可以看出，因具有经济意义的特征值不具有支配性，在相当早的阶段就出现了负的活动水平，其不稳定性更为突出。
四、主要结论及其意义
本文分别从理论与数值计算的角度，将华罗庚命题扩展到一个更为一般的拥有矩形系数矩阵的马克思—斯拉法体系，应用摩尔—彭诺斯伪逆的性质，只需假定一个关于投入与产出矩阵的秩条件，即可把价格系统的均衡问题等价变换为一类求含有伪逆方阵特征值的问题。通过具体的数值例可知，马克思—斯拉法的价格均衡与数量均衡都不具有支配作用，也就是说，此类联合生产体系具有一种价格与数量均衡都不稳定的“动态不稳定性”。这与不含固定资本的里昂惕夫模型的动态特性有着本质性的区别。
置盐—中谷提出的从全部商品的均衡价格定义群中削去旧固定资本价格的这一变换方法，完全依存于模型本身的设定，即只局限于一类特定的投入和产出系数矩阵的情形。这一方法适用不了更为一般的联合生产的情形。
本文应用伪逆的这一变换方法，只要是以等式来定义的均衡问题，不论是仅固定资本为联合生产物的置盐—中谷模型，还是有多种联合生产物的更为广泛的联合生产模型，只要从形式上满足系数矩阵的秩条件，即可应用到求一类具有经济意义的均衡价格问题上。从这个意义上来讲，伪逆的应用是一种极为有效的方法。（13）
在不考虑非生产性消费的前提下，均衡活动水平体系的平均增长率与均衡价格体系的平均利润率是一致的。虽然不能完全通过特征值问题来求具有经济意义的活动水平的均衡解，但从本文后半部分的例证中可以看出，在数值计算上可以求出对应于均衡价格的活动水平的均衡解。
现实经济中，旧固定资本会在价格的形成过程中发挥一定的作用，从以上的分析中可知，由市场的供需一致条件（等式条件）确立的经济均衡体系不稳定，这类竞争均衡一般也无法实现。换言之，完全或过度依赖市场的经济早晚会出现过剩生产现象甚至危机，迟早会对资本家的商品经济造成直接或间接性的打击。这种不稳定性是以市场为基础，含有固定资本的商品经济所共通的问题。即使是明确存在经济计划主体的社会主义经济，若是拥有与商品经济类似的完全竞争型的市场性框架，则不能过度期待市场对供需调节的功能，同样也不可避免出现这种生产过剩现象。因此，对经济的均衡与稳定发展产生重大影响的固定资本，应该由经济计划的主体即国家进行切实有效的调控与投资管理，才能达到经济的均衡与持续稳定的发展。
本文为简单起见，假设了固定资本在生产过程中的效率保持不变，且折旧年限是物理性的。本文未言及的固定资本的经济年限的内生决定、报废处理成本，以及如何对宏观经济进行有效的调控管理等理论问题将另行讨论。（14）
本文的日文原文首发于《季刊经济理论》（日本经济理论学会会刊）第48卷第3号（2011年10月），第56～68页。中文翻译得到了日本经济理论学会的许可，中文译文有部分删减和调整。感谢卢荻教授（中国人民大学，伦敦大学）、中谷武教授（神户大学，流通科学大学），《季刊经济理论》第47卷主编角田修一教授（立命馆大学），第48卷主编冈部洋实教授（北海道大学）以及本刊匿名评审对本文提出的宝贵意见。本文文责自负。
①固定资本的役龄概念，可参见斯拉法原著的中译本第10章的内容。比较具有代表性的文献可参照Kurz and Salvadori[8]第7章。
②浅田[11]把斯拉法—置盐—中谷的这个分析框架称之为“SON经济”。这类模型的中文文献可参照李—藤森。[12]
③比如Schefold[14]论及的Pure Fixed Capital就是这类模型。需要注意的是，含有固定资本的马克思—斯拉法联合生产体系的投入与产出系数矩阵一般不是方阵，而是一类列数大于行数的矩形矩阵。
④当然，如果只考虑如何决定平均增长率的问题的话，简化成仅含新品的数量体系也能决定平均增长率。[15]
⑤关于广义逆及奇异值分解的详细说明，可参照Strang，[16]柳井—竹内，[17]Ben-Israel and Greville[18]等的论文。
⑥参照柳井—竹内[17]第5章5.4节126页的引理5.7。
⑦约当标准型可参照韩—伊理[19]的详细说明。
⑧基本解的求法可参照宫冈—真田[20]第6.3节。
⑨马克思—斯拉法模型数量均衡体系成立的必要条件的证明方法将另行讨论。
⑩数值计算使用的是FreeBSD系统的Maxima-5.23.2和Scilab-4.1.2。
（11）应该注意的是，平均增长率与平均利润率一致是以不存在非基本产品为前提的。
（12）
（13）比如说，这类伪逆变换的方法可应用到系数矩阵为n阶方阵A，但rank（A）＜n（即A不满秩）的情形。
（14）关于固定资本的经济年限的内生决定的模拟计算可参照Li。[21]
作者介绍：李帮喜，早稻田大学政经学院博士研究生；藤森赖明，早稻田大学政经学院教授。