平面五杆机构的优化设计

现代制造技术与装备

２００６第１期总第１７０

期

平面五杆机构的优化设计

姚云英

（兰州理工大学机电学院，兰州７３００５０）

摘

要：在分析平面五杆机构的运动特点和几何关系的基础上，建立起两连杆铰接点的实际轨迹与

给定轨迹误差的均方根最小的目标函数，从而实现五杆机构的优化设计。

关键词：平面连杆机构优化设计

ＯｐｔｉｍｉｚｅｄＤｅｓｉｇｎｆｏｒｔｈｅＰｌａｎａｒＦｉｖｅＢａｒＭｅｃｈａｎｉｓｍ

ＹＡＯＹｕｎｙｉｎｇ

（ＬａｎｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＯｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００５０）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄｏｎａｎａｌｙｚｉｎｇｔｈｅｍｏｖｅｍｅｎｔｃｈａｒａｃｔｅｒａｎｄｇｅｏｍｅｔｒｉｃｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｌａｎａｒｆｉｖｅｂａｒｍｅｃｈａｎｉｓｍｔｈｅｏｂｊｅｃｔｉｖｅｓｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｍｉｎｉｍｕｍｏｆｒｏｏｔ－ｍｅａｎ－ｓｑｕａｒｅｏｆｔｈｅｅｒｒｏｒｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅａｃｔｕａｌａｎｄｔｒａｊｅｃｔｏｒｉｅｓｏｆｔｈｅｔｗｏｌｉｎｋｓｊｏｉｎｔｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｔｏａｃｈｉｅｖｅｔｈｅａｉｍｏｆｏｐｔｉｍｉｚｅｄｄｅｓｉｇｎｆｏｒｔｈｅｐｌａｎａｒｆｉｖｅｂａｒｍｅｃｈａｎｉｓｍ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐｌａｎａｒｃｏｎｎｅｃｔｉｎｇｂａｒｍｅｃｈａｎｉｓｍ，Ｏｐｔｉｍｉｚｅｄｄｅｓｉｇｎ

１概述

平面连杆机构的优化设计包括运动学和动力学两个方面的内容。运动学的优化设计包括连杆机构再现函数关系的优化设计和连杆机构再现给定轨迹的优化设计。

２五杆机构优化设计的数学模型

如图所示的平面五杆机构有两个自由度，是双曲柄机构。曲柄ＡＢ和ＥＤ分别以角速度ω逆时针和顺时针匀速转动，当ＡＢ在水平位置ＡＢ０时，ＥＤ在ＥＤ０位置，与水平方向成β０角。求两连杆铰接点Ｃ再现给定轨迹的杆件参数和位置参数。２８

欲求点Ｃ再现给定轨迹的杆件参数和位置参数，必须先建立点Ｃ的轨迹坐标与杆件参数和位置参数之间的关系。为求解方便，建立整体坐标系ｘＡｙ和局部坐标系ｘ＇Ｂｙ＇。

２．１在局部坐标系Ｂ中

与点Ｃ是以点Ｂ为圆心、以Ｌ２为半径的圆，

以点Ｄ为圆心、以Ｌ３为半径的圆的交点之一，即点Ｃ的局部坐标是下述方程组的一组解：

ｘ２＋ｙ２＝ｌ２２

（１）２２

（ｘ－ｘＤ）＋（ｙ－ｙＤ）＝ｌ３２

解该方程组，消掉二次项并化简得的一元二次方程：

ｒｙ２－Ｓｙ－Ｋ２＝０（２）式中ｒ＝－４（ｘＤ２＋ｙＤ２）

Ｓ＝４Ｋ１ｙＤ

Ｋ２＝Ｋ１２－４ｘＤ２ｌ２２

Ｋ１＝ｌ３２－ｌ２２－ｘＤ２－ｙＤ２

ｘＤ＝ｘ０＋ｌ４ｃｏｓβ－ｌ１ｃｏｓαｙＤ＝ｙ０＋ｌ４ｓｉｎβ－ｌ１ｓｉｎαα＝ωｔβ＝β０＋ωｔω———曲柄角速度ｔ———时间方程（２）的两个根为：

!

设计与研究

ｙ＝ｓ±２（３）

由图所示机构位置及不难判断，点Ｃ的局部

的如下一组解：坐标应是式（１）

"

$$$$#$$$$%

件参数和位置参数都有一个大致的上下限：

ｌｉｍｉｎ≤ｌｉ≤ｌｉｍａｘ

ｘ０ｍｉｎ≤ｘ０≤ｘ０ｍａｘｙ０ｍｉｎ≤ｙ０≤ｙ０ｍａｘ

（２）对于ΔＢＣＤ，由三角形存在的条件知：ｌ２＋ｌ３≥

０４１０４１!

ｌ２＋ｌ３≤

０４１０４１!

综上所述，该再现轨迹的优化设计问题，是在

ｌ２，ｌ３，ｌ４，ｘ０，ｙ０，β０］Ｔ满足下列约束设计变量ｘ＝ｘ＝［ｌ１，

条件的前提下，求式（６）的最优解。

ｇ（）＝ｌ１ｍｉｎ－ｌ１≤０１ｘｇ（）＝ｌ１－ｌ１ｍａｘ≤０２ｘ

ｙ＝ｓ±２

（４）

ｘ＝－!２２．２在整体坐标系中根据坐标平移原理，点Ｃ的坐标：ｘＣ＝ｘＢ＋ｘ＝ｌ１ｃｏｓα＋ｘｙＣ＝ｙＢ＋ｙ＝ｌ１ｓｉｎα＋ｙ

&

（５）

上式中，点Ｃ在局部坐标系Ｂ中的坐标由式求得。（４）

２．３给定轨迹的数学描述

给定的轨迹是由轨迹上一系列的离散点的整体坐标表示的。为了不仅再现轨迹，而且还要求曲柄匀速转动就能再现给定轨迹，给定轨迹上的离散点坐标必须与曲柄转角（亦即时间ｔ）联系起来，具体来说，就是要将给定轨迹离散点的ｘ坐标和ｙ坐标分别表示成与时间ｔ对应的两组离散点，用样条函数可以表示成如下形式：

ｘ：ＳＰＬＩＮＥ／ｉｄ１，ｔ＝ｔ０，ｔ１，ｔ２，…ｔｎ，ｘ＝ｘ０，ｘ１，…ｘｎｙ：ＳＰＬＩＮＥ／ｉｄ２，ｔ＝ｔ０，ｔ１，ｔ２，…ｔｎ，ｘ＝ｘ０，ｘ１，…ｘｎ式中ｎ———给定的离散点数２．４目标函数和设计变量

根据实际轨迹与给定轨迹的偏差的平均值最小的原则，可建立如下目标函数：

ｍｉｎＦ（Ｘ）＝ｍｉｎ

+’!１Ｎ

ｇ（）＝ｌ２ｍｉｎ－ｌ２≤０３ｘｇ（）＝ｌ２－ｌ２ｍａｘ≤０４ｘ

ｇ（）＝ｌ３ｍｉｎ－ｌ３≤０５ｘ

）＝ｌ３－ｌ３ｍａｘ≤０ｇ（６ｘｇ（）＝ｌ４ｍｉｎ－ｌ４≤０７ｘｇ（）＝ｌ４－ｌ４ｍａｘ≤０８ｘｇ（）＝ｘ０ｍｉｎ－ｘ０≤０９ｘｇ１０（ｘ）＝ｘ０－ｘ０ｍａｘ≤０ｇ１１（ｘ）＝ｙ０ｍｉｎ－ｙ０≤０（ｘ）＝ｙ０－ｙ０ｍａｘ≤０ｇ１２

（ｘ）＝ｇ１３

０４１０４１!

－ｌ２－ｌ３≤０（ｘ）＝ｌ２＋ｌ３－ｇ１４

０４１０４１!≤０

满足上述条件，式（６）的最优解为：ｘ＊＝［ｌ１＊，ｌ２＊，ｌ３＊，ｌ４＊，ｘ０＊，ｙ０＊，β０＊］Ｔ（７）３选择优化方法，确定优化参数

由于设计变量较多，所以选择可行方向法来求解，编辑并调试好程序后，选择合适的优化计算点数，合适的收敛精度和合适的允差带以及一组初始参数（初始可行点）之后，即可上机求式（６）的最优解。初始参数如下所示：

（０）（０）（０）（０）（０）（０）（０）０）Ｔｘ＝［ｌ１，ｌ２，ｌ３，ｌ４，ｘ０，ｙ０，β（０］４实例

ＣＣ

ｉ＝１

（６）

式中Ｎ———优化计算所取点数ＣＵＰＢＳＰＬ（ｔ，０，ｘ），ＣＵＢＳＰＬ（ｔ，０，ｘ）———给定轨迹横坐标和纵坐标随时间变化的三次样条插值函数，用来求于优化计算点相对应的给定轨迹的横坐标和纵坐标

、（５）可知，ｘＣ和ｙＣ都是ｌ１、ｌ２、ｌ３、ｌ４、ｘ０、由式（４）ｙ０和β０的函数，所以设计变量取为：

ｘ＝［ｌ１，ｌ２，ｌ３，ｌ４，ｘ０，ｙ０，β０］Ｔ２．５约束条件（１）根据机构的实际结构和布置情况，每个杆

２９

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设曲柄角速度为ω＝３６０°／Ｓ，运动周期Ｔ＝３６０°／ω＝１Ｓ。假设给定轨迹上１０个主要点的ｘ坐标

序号ｘｙｔ

１０－５９．８－１７９

２０．１－６１．６

３０．２

４０．３

５０．４

６

和ｙ坐标与时间ｔ的对应关系如下表所示。

取优化计算的点数Ｎ＝１０，收敛精度ε＝１×

７０．６－１５９

８０．７－２５０．４

９０．８－４７－２４８

１００．９－５８．９－２１４．４

１１１．０－５９．８－１７９

０．５－６６．５

－９１．１－１５９．６－２２３．８－２４９．２－２０５．７－６９．７

－１５４．２－１３３．４－１０５．２－７３．１

１０－４，允差带宽度δ＝１×１０－３，最大迭代次数Ｉ＝１００，设设计变量上下限为：

ｌ１ｍｉｎ＝１５ｌ１ｍａｘ＝６０

ｌ２ｍｉｎ＝１００ｌ３ｍｉｎ＝７５ｌ４ｍｉｎ＝３５

ｌ２ｍａｘ＝３００ｌ３ｍａｘ＝２２０ｌ４ｍａｘ＝１２０

ｘ＊＝［ｌ１＊，ｌ２＊，ｌ３＊，ｌ４＊，ｘ０＊，ｙ０＊，β０＊］Ｔ＝［５２，２１０，２１６，１１０，５１，－１９４，２６°］Ｔ最优值Ｆ（ｘ＊）＝１．７３７９８２×１０－２。

参考文献：

［１］张济川．机械最优化设计及应用实例．北京：新时代出版社，１９９０。

［２］王永乐．优化设计基础．哈尔滨：黑龙江科技出版社，１９８３。

［３］曾昭华，付祥志．优化设计．北京：机械工业出版社，１９９２

［４］ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＤｙｎａｍｉｃｓ，Ｉｎｃ．ＡＤＡＭＳ／ＳｏｌｖｅｒＲｅｆｅｒｅｎｃｅＭａｎｕａｌ．１９９４－１１

ｘ０ｍｉｎ＝２０ｘ０ｍａｘ＝６０

ｙ０ｍａｘ＝－９０ｙ０ｍｉｎ＝－２７０

选取初始点为：

（０）（０）（０）（０）（０）（０）（０）０）Ｔｘ＝［ｌ１，ｌ２，ｌ３，ｌ４，ｘ０，ｙ０，β（０］＝［３０，２００，１５０，７０，４０，－１５０，２０°］Ｔ经迭代计算，优化结果为：

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（上接第２７页）

图４点浇口模流分析图

通过上述对三种进浇方案的分析，我们可以知道，对于本薄壁复杂件，采用单点进浇是不合适的，很难达到流料均匀，充模饱满的结果。由于压力的分布不均，塑件会产生不同程度的变形。只有采用多点进浇并结合进浇点大小的调整才能达到比较理想的结果。进浇形式和进浇位置的合理确定就为接下来的模具设计工作打下了良好的基础。４结语

包括ＣＡＥ技术在内的ＣＡＤ／ＣＡＭ技术的应用水平，已经成为一个国家工业现代化水平的重３０

ＣＡＤ／ＣＡＭ技术的应用将进一步提升企业要标志，

核心竞争力，使企业能够在成本、品质和效率等方面全面超越竞争对手。

参考文献：

［１］李名尧主编．模具ＣＡＤ／ＣＡＭ．北京：机械工业出版社，２００４

［２］单岩王蓓王刚编著．Ｍｏｌｄｆｌｏｗ模具分析技术基础．北京：清华大学出版社，２００４

［３］张祥杰主编．实战ｐｒｏ／ｅｎｇｉｎｅｅｒ２００１模具设计．北京：中国铁道出版社，２００２