关于r角形数的补数及均值性质
第9卷 第18期 2009年9月1671-1819(2009) 18-5432-03
科 学 技 术 与 工 程
Science T echno logy and Eng i neer i ng
Z 2009 Sci 1T ech 1Engng 1
19 N o 118 Sep . 2009 V o l
关于r 角形数的补数及均值性质
黄 炜
(宝鸡职业技术学院基础部, 宝鸡721013)
摘 要 定义了数列a(n) 和b (n ), 利用初等方法和解析方法研究了a (n) 及b (n) 的均值性质以及a(n) 、b (n) 与D k (n ) 函数的混合均值, 并给出了几个有趣的均值公式。关键词 r 角形数的补数 均值 渐近公式中图法分类号 O 156. 4; 文献标志码
A
v (5) =6, v(6) =6, v(7) =10, v(8) =10, v(9) =10, v(10) =10, v(11) =15, , ,
类似于Sm arandache 的K 次方补数
[1]
对于任意的正整数m, 有
1
(2m +m (m-1) @2
(r -2) ), r \3, 称为r 角形数, 是因为这些数目的点子可以排成一个r 边形; 记为S (m,r) 。
定义1 设对整数n , n 的r 角形数部分数列定义如下
u r (n ) =m ax {m:n \m +
r I N , r \3},
v r (n ) =m i n {m:n [m +
++
问题, 有
[2, 3]
些学者已研究过, 并且获得一些有趣的结果, 特
别是在文献[4]中定义了可加的K 次方补数a k (n ) 并给出了d a k (n) 的渐进公式, 文献[5]研究了三角形数的补数, 作为Sm arandehe k 一次幂补数与可加k 一次幂补数的进一步推广, 给出r 角(边) 形数补数的定义。
定义2 复合函数a (n ) =n -u r (n ) 。称a (n ) 表示下部r 角形数部分数列的补数; 复合函数b(n ) =n -v r (n), 称b (n) 表示上部r 角形数部分数列的补数。
关于这一问题, 至今没有人进行过研究, 至少没有看到对于任意正整数n \1, 现主要讨论补数函数a (n), b (n) 的渐进性, 以及复合函数D k (a (n ) ), D k (b (n) ) 复合均值性质, 即下面的结论。
定理1 对于任意实数x >1, 有下面的渐进公式
x +O (x )
33
2+O (x) 3
1
(m-1) (r -2), 2
m (m-1) (r -2), 2
+
r I N , r \3},m I N 。
u r (n ) 表示不大于n 的最大的r 角形数部分, 亦称为下部r 角形数部分数列, 称v r (n ) 表示不小于n 的最小的r 角形数部分, 亦称为上部r 角形数部分数列, 例:当r =3时三角形数为:1, 3, 6, n (n +1) 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, , , , 。
2
u(1) =1, u (2) =1, u (3) =3, u(4) =3, u (5) =3, u (6) =6, u (7) =6, u (8) =6, u (9) =6, u(10) =10, u (11) =10, ,
v(1) =1, v(2) =3, v(3) =3, v(4) =6,
2009年6月15日收到
宝鸡职业技术学院重点科研基金(Z K0366) 资助
第一作者简介:黄 炜(1961) ), 男, 硕士, 陕西岐山人, 宝鸡职业技术学院副教授, 研究方向:数论及数学应用。E-m ail:w phvang w e@i 163. co m 。
E
a (n ) =b (n) =
(1) (2)
n [x
n [x
E
定理2 对于任意实数x >1, 及正整数k , 有下面的渐进公式
3
3
n [x
E
D k (a(n ) ) =
18期黄 炜:关于r 角形数的补数及均值性质5433
O (x
5
+E ), (1) -r +E
D k (b (n ) ) =
n [x
3
x 3O (x 5
p
k
p
+p +1
(Ò)
(r -4) +8(r -2) n
2(r -2)
。
2(r -2)
+O (1) 。
r -2
E
)
其中D k (n ) 的定义为:D k (n) =
m ax {dI N d n, (d,k) =1},n X 00,
n =0
亦即 m =
引理2 对于任何实数x >1, 及A \0则有渐近公式
n [x
p
k
表示对所有满足p k 的素因子p 求积, E 是
E
任意给定的正数。`
2A
n =x +O (x ) 。
A
A +1
证明参阅文献[2]。
引理3 对于任何实数x >1, 及正整数k , 则有渐近公式
n [x
1 引理及其证明
为了完成定理的证明, 需要下面几个简单的引理。
引理1 对于任何实数n >1, 设S (m+1, r) =1
(m+1) +m (m+1) (r -2) , 则有渐近公式m =2
+O (1) 。
r -2
证明 对于任何实数n >1, 由u r (n ) 的定义可知:
(2m +m (m-1) (r -2) [n
[m [
2(r -2)
E
+E
2
D (n) =+O (x ) 。k 2p k p +1
2
其中D k (n ) 的定义为:D k (n) =
m ax {d I N d n, (d, k ) =1}, n X 00,
n =0。
k 的素因子p 求积, E 是任意
p
表示对所有满足p
k
给定的正数。
证明参阅文献[5]。
2 定理的证明
定理1的证明 对于任何实数x >1, 令M 是最大的正整数, 且2
2M +M (M-1) (r -2) [x
1
m (m-1) @2
2(M+1) +M (M+1) (r -2) 。2
注意到如果n 取遍区间
2m +m (m-1) (r -2) , 2(m+1) +22
m (m+1) (r -2)
, 。
2(r -2)
(m +1) +m (m +1) (r -2不2
再由不等式n
m >m
-r +
则a (n ) 取遍区间0, (r -2)m , 结合引理
(r -4) +8(r -2) n
2(r -2)
1, 有:
2(r -2)
E a(n) =E
n [x
M-1
t=1S (t, r ) [n
E
a(n) +
S (M, r) [n
E
a(n) =
+2+, +
5434科 学 技 术 与 工 程9卷
(r-2)M i=S (M+1, r) -x
2
(S(M , r) +1) +, +(r-2) =
M -1
E
t=1
(r -2) t +O (M2) =
2
2
E
D k (a(n ) ) +O (2
3+E
) +
+
262
+O(M ) =
22(r -2) 32
+O (M) 。6
又由引理知M =
+O (1) 可得
r -2
2
3O (M) =+
6p k p +1O (M注意到
M =
从而有
+O (1),
r -2
x 3O (x E
3
+E
) 。
2
E a (n )
n [x
=
x +O (x ) 。3
n [x
E
D k (a(n ) ) =
p
k
+
p +1
) 。
这就完成了定理1中(Ñ) 的证明。同理可给出证定理1中(Ò) 的证明。
定理2的证明 对于任意正数x >1, 有u r (n ) 的定义可知
2m +m (m-1) (r -2[x
+m (m+1) (r-2。
由a(n ) 的定义并注意到
x -S (M,r)
则由D k (n ) 的定义和引理3有
M -1
这就完成了定理2中(Ñ) 的证明。同理可给出证定理2中(Ò) 的证明。
参 考 文 献
1 Sm aradache F . On l y p rob l e m s , not s oluti ons . Ch icago:X i quan Pub -lis h i ng H ou se, 1993
2 To m M A. In trodvcti on t o an al ytic num ber t heory . N e w York :Spring -er-V erlag . 1976
3 Y aoW eil. i On t he k -po w er co m p l e m en t s equ ence . Research on Sm a -ra m tache P rob l e m s i n N u m ber Theory , H ex i s , 2004:43) 464 L i u H ongyan ,
Li u Yuanb i ng . A not e on t he 29-t h Sm arandac h es
E
n [x
D k (a (n) ) =
E
t=1S (t, r)
E
D k (a (n) ) +
p rob le m. Sm arandache N oti on s J ou rna, l 2004; (14) :156) 1585 Xu Zh efeng . On t he add i ti ve k -pow er co m ple m en t s . R esearch on
Sm arandache P rob l e m s i n N u m ber Theory , H ex is , 2004:13) 166 Y i Yuan . On the tri angle nu m bers co m p l e m en t and its asy m ptotic
S (M,r )
E
D k (a (n) ) =
(r-2) M
E E
t=1
i=1
D i (i)+
i=S(M+1, r)-x
E
k
D k (a(n)) =1+
p roperties . J ournal of S angl uo Teachers Coll ege , 2005; (2) :3) 5
M -1
E
t=1
2
22
p
p +
On the r Angular N u mber p s Co m ple m ents and ItsM ean Value Properties
HUANG W ei
(Depart m en t of on t h e B as i s , BaojiVocati on al and Techn i cal Coll ege , Bao ji 721013, P . R . C hina)
[Abstract] The definiti o n o f the Series a (n ) and b (n) are g iven , e le m entary m ethods and ana l y tica lm et h ods are used to study the m ean val u e property o f a(n ) and b (n ) . The hybr i d m ean va l u e pr operty o f a (n ) o r b (n ) and D n teresti n g asy m ptotic fo r m ulae about it are g iven . k (n) function are stud ied. Several i [ l for la