圆锥曲线硬解定理
02-07
圆锥曲线硬解定理
圆锥曲线硬解定理,又称CGY-EH定理,其是一套求解椭圆/双曲线与直线相交时
适用领域范围:标准双曲线与抛物线
定理内容
若曲线与直线Ax+By+C=0相交于E、F两点,则:
其中 ,△‘为一与△同号的值,
定理说明:
1.应用该定理于椭圆
2.应用于双曲线
同时 时,应将 时,应将代入。 代入, 不应为零,即ε不为零。
3.求解y1+y2与 y1·y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.
可知ε与∆'的值不会因此而改变。
定理补充 联立曲线方程与y=kx+是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项,x1+x2,x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得,唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式,以减少记忆量,以便在考试中套用。
1.若曲线
则: 与直线y=kx+ 相交于E、F两点,
这里的 既可以是常数,也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出:
2.若曲线
则
3.若曲线
则
由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用,所以学生如此解答才可得全步骤分(省略号的内容需要考生自己填写): 为椭圆 为双曲线
联立两方程得……(二次式子)(*)
所以x1+x2=……①,x1x2=……②;
所以|x1-x2|=√(x1+x2)2-4x1x2=……(此时代入①、②式得到一个大式子,但不必化简) 化简得 |x1-x2|=
了。 (偷偷地直接套公式,不必真化简)下面就可求弦长