函数的有关概念
函数的有关概念
1.函数的概念:设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集
合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A .其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A) 中的x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点P (x,y) 的集合C ,叫做函数 y=f(x),(x ∈A) 的图象.C 上每一点的坐标(x,y) 均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x,y) ,均在C 上 . (2) 画法 A 、 描点法: B 、 图象变换法
常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间
(3)区间的数轴表示. 5.映射
一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f (对应关系):A (原象)→B (象)” 对于映射f :A →B 来说,则应满足:
(1)集合A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。 6. 分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f 、g 的复合函数。
二.函数的性质
1. 函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1
如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:
1 任取x 1,x 2∈D ,且x 1
4 定号(即判断差f(x1) -f(x2) 的正负); ○
5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性). ○
(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性
复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
2.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○
2确定f(-x) 与f(x)的关系; ○
3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x) -f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若○
f(-x) =-f(x) 或 f(-x) +f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 3、函数的解析表达式
(1). 函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法
4.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○
2 利用图象求函数的最大(小)值 ○
3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
[基础训练A 组] 一、选择题
1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )
⑴y 1=
(x +3)(x -5)
,y 2=x -5; ⑵y 1=x +1x -1,y 2=x +1)(x -1) ;
x +3
⑶f (x ) =x ,g (x ) =x 2;
⑷f (x ) =⑸f 1(x ) =(2x -5) 2,f 2(x ) =2x -5。 A .⑴、⑵ B.⑵、⑶ C.⑷ D.⑶、⑸
F (x ) =
2.函数y =f (x ) 的图象与直线x =1的公共点数目是( ) A .1 B.0 C.0或1 D.1或2
42
3.已知集合A ={1, 2,3, k }, B =4,7, a , a +3a ,且a ∈N *, x ∈A , y ∈B
{}
使B 中元素y =3x +1和A 中的元素x 对应,则a , k 的值分别为( ) A .2,3 B.3, 4 C.3,5 D.2,5
⎧x +2(x ≤-1) ⎪
4.已知f (x ) =⎨x 2(-1
⎪2x (x ≥2) ⎩
33
C.1,或
22
5.为了得到函数y =f (-2x ) 的图象,可以把函数y =f (1-2x ) 的图象适当平移,
A .1 B.1或这个平移是( )
A .沿x 轴向右平移1个单位 B.沿x 轴向右平移C .沿x 轴向左平移1个单位 D.沿x 轴向左平移6.设f (x ) =⎨
1
个单位 21
个单位 2
⎧x -2, (x ≥10)
则f (5) 的值为( )
⎩f [f (x +6)],(x
A .10 B.11 C.12 D.13
二、填空题
⎧1
x -1(x ≥0), ⎪⎪2
若f (a ) >a . 则实数a 的取值范围是 1.设函数f (x ) =⎨
1⎪(x
2.函数y =
x -2
的定义域
x 2-4
2
3.若二次函数y =ax +bx +c 的图象与x 轴交于A (-2,0), B (4,0),且函数的最大值为9,
则这个二次函数的表达式是 。
4
.函数y =
0定义域是_____________________。
5.函数f (x ) =x 2+x -1的最小值是_________________。 三、解答题
1
.求函数f (x ) =
2.求函数y =
的定义域。 x +1
x 2+x +1的值域。
3.x 1, x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m -1) x +m +1=0的两个实根,又y =x 12+x 22,
求y =f (m ) 的解析式及此函数的定义域。
4.已知函数f (x ) =ax -2ax +3-b (a >0) 在[1,3]有最大值5和最小值2,求a 、b 的值。
2
[综合训练B 组]
一、选择题
1.设函数f (x ) =2x +3, g (x +2) =f (x ) ,则g (x ) 的表达式是( )
A .2x +1 B.2x -1 C.2x -3 D.2x +7 2.函数f (x ) =
cx 3
, (x ≠-) 满足f [f (x )]=x , 则常数c 等于( ) 2x +32
A .3 B.-3 C.3或-3 D.5或-3
1-x 21
f () 等于( ) (x ≠0) 3.已知g (x ) =1-2x , f [g (x )]=,那么2
2x
A .15 B.1 C.3 D.30
4.已知函数y =f (x +1) 定义域是[-2,3],则y =f (2x -1) 的定义域是( )
5
A .[0,] B. [-1,4] C. [-5,5] D. [-3,7]
2
5
.函数y =2的值域是( )
A .[-2, 2] B.[1,2] C.[0,2] D
.[
1-x 1-x 2
6.已知f (,则f (x ) 的解析式为( ) ) =2
1+x 1+x
A .
x 2x 2x x
-- B. C. D. 2222
1+x 1+x 1+x 1+x
二、填空题
⎧3x 2-4(x >0)
⎪
1.若函数f (x ) =⎨π(x =0) ,则f (f (0))= .
⎪0(x
2.若函数f (2x +1) =x 2-2x ,则f (3) 3
.函数f (x ) =
⎧1, x ≥0
4.已知f (x ) =⎨,则不等式x +(x +2) ⋅f (x +2) ≤5的解集是 。
⎩-1, x
5.设函数y =ax +2a +1,当-1≤x ≤1时,y 的值有正有负,则实数a 的范围
三、解答题
1.设α, β是方程4x -4mx +m +2=0,(x ∈R ) 的两实根, 当m 为何值时,
2
的值域是 。
α2+β2有最小值? 求出这个最小值.
2.求下列函数的定义域 (1
)y =(3)y =
(2)y =
11-1-
11x -x
x 2-1+-x 2
x -1
3.求下列函数的值域 (1)y =
4.作出函数y =x -6x +7, x ∈(3, 6]的图象。
2
3+x 5
(2)y = (3)y =-2x -x 4-x 2x 2-4x +3
函数的基本性质
一、选择题
1.已知函数f (x ) =(m -1) x 2+(m -2) x +(m 2-7m +12) 为偶函数,
则m 的值是( )
A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
2.若偶函数f (x ) 在(-∞, -1]上是增函数,则下列关系式中成立的是( )
A .f (-)
3.如果奇函数f (x ) 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5,那么f (x ) 在区间[-7, -3]上是( ) A .增函数且最小值是-5 B.增函数且最大值是-5 C .减函数且最大值是-5 D.减函数且最小值是-5
4.设f (x ) 是定义在R 上的一个函数,则函数F (x ) =f (x ) -f (-x ) 在R 上一定是( ) A .奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数。 5.下列函数中, 在区间(0,1)上是增函数的是( ) A .y =x B.y =3-x C.y =6.函数f (x ) =x (x --x +) 是( )
A .是奇函数又是减函数 B.是奇函数但不是减函数 C .是减函数但不是奇函数 D.不是奇函数也不是减函数
3232
3232
12
D.y =-x +4 x
二、填空题
1.设奇函数f (x ) 的定义域为[-5,5],若当x ∈[0,5]时, f (x ) 的图象如右图, 则不等式f (x )
2
.函数y =2x ________________。 3.已知x ∈
[0,1],则函数y 5.下列四个命题 (1
)f (x ) 的值域是2
4.若函数f (x ) =(k -2) x +(k -1) x +3是偶函数,则f (x ) 的递减区间是; (2)函数是其定义域到值域的映射;
2⎧⎪x , x ≥0
(3)函数y =2x (x ∈N ) 的图象是一直线;(4)函数y =⎨2的图象是抛物线,
⎪⎩-x , x
其中正确的命题个数是____________。
三、解答题
1.判断一次函数y =kx +b , 反比例函数y =单调性。
k
,二次函数y =ax 2+bx +c 的 x
2.已知函数f (x ) 的定义域为(-1,1),且同时满足下列条件:(1)f (x ) 是奇函数; (2)f (x ) 在定义域上单调递减;(3)f (1-a ) +f (1-a 2)
3.利用函数的单调性求函数y =x ++2x 的值域;
4.已知函数f (x ) =x +2ax +2, x ∈[-5,5].
2
① 当a =-1时,求函数的最大值和最小值;
② 求实数a 的取值范围,使y =f (x ) 在区间[-5, 5]上是单调函数。
一、选择题
1.下列判断正确的是( )
x 2-2x
A .函数f (x ) =是奇函数 B
.函数f (x ) =(1-x
x -2C
.函数f (x ) =x D.函数f (x ) =1既是奇函数又是偶函数 2.若函数f (x ) =4x 2-kx -8在[5,8]上是单调函数,则k 的取值范围是( ) A .(-∞,40] B.[40,64] C.(-∞,40] [64, +∞) D.[64, +∞) 3
.函数y )
A .-∞, 2 B.0, 2 C.
2
4.已知函数f (x )=x +2(a -1)x +2在区间(-∞, 4]上是减函数, 则实数a 的取值范围是( )
A .a ≤-3 B.a ≥-3 C.a ≤5 D.a ≥3 5.下列四个命题:
(1)函数f (x ) 在x >0时是增函数,x
2
(2)若函数f (x ) =ax +bx +2与x 轴没有交点,则b -8a 0;
(](]2, +∞) D.[0, +∞)
2
(3) y =x -2x -3的递增区间为[1, +∞); (4) y =1+
x 和y =
2
其中正确命题的个数是( ) A .0 B.1 C.2 D.3
6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是( )
二、填空题
1.函数f (x ) =x -x 的单调递减区间是____________________。 2.已知定义在R 上的奇函数f (x ) ,当x >0时,f (x ) =x 2+|x |-1,
那么x
2
x +a
在[-1,1]上是奇函数, 则f (x ) 的解析式为________. 2
x +bx +1
4.奇函数f (x ) 在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为8,
最小值为-1,则2f (-6) +f (-3) =__________。
5.若函数f (x ) =(k 2-3k +2) x +b 在R 上是减函数,则k 的取值范围为__________。
三、解答题
1.判断下列函数的奇偶性
(1
)f (x ) =(2)f (x ) =0, x ∈[-6, -2] [2,6]
2.已知函数y =f (x ) 的定义域为R ,且对任意a , b ∈R ,都有f (a +b ) =f (a ) +f (b ) ,且当x >0时,
f (x )
(2)函数y =f (x ) 是奇函数。
3.设函数f (x ) 与g (x ) 的定义域是x ∈R 且x ≠±1, f (x ) 是偶函数, g (x ) 是奇函数, 且f (x ) +g (x ) =求f (x ) 和g (x ) 的解析式.
4.设a 为实数,函数f (x ) =x +|x -a |+1,x ∈R
(1)讨论f (x ) 的奇偶性; (2)求f (x ) 的最小值。
2
1, x -1
一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D 5.D 6. B
二、填空题 1. (-∞, -1) 2. {x |x ≠-2, 且x ≠2} 3. y =-(x +2)(x -4) 4. (-∞,0) 5. -三、解答题 1.解:∵x +≠0, x +1≠0, x ≠-1,∴定义域为{x |x ≠-1}
222. 解: ∵x +x +1=(x +) +
5
4
133≥
, ∴y ≥
,∴值域为+∞)
2443. 解:∆=4(m -1) 2-4(m +1) ≥0, 得m ≥3或m ≤0,
y =x 12+x 22=(x 1+x 2) 2-2x 1x 2
=4(m -1) 2-2(m +1)
2
=4m -10m +2
∴f (m ) =4m 2-10m +2,(m ≤0或m ≥3) 。
4. 解:对称轴x =1,1,3是f (x ) 的递增区间,
[]
f (x ) max =f (3)=5, 即3a -b +3=5 f (x ) min =f (1)=2, 即-a -b +3=2,
⎧3a -b =231∴⎨得a =, b =.
44⎩-a -b =-1
一、选择题 1. B 2. B 3. A 4. A 5. C 6. C
2
二、填空题 1. 3π-4 f (0)=π;
2. -1 令2x +1=3, x =1, f (3)=f (2x +1) =x 2-2x =-1; 3.
x 2-2x +3=(x -1) 2+2≥≥
0
≤
22
3
, 2
3; 2
4. (-∞, ] 当x +2≥0, 即x ≥-2, f (x +2) =1, 则x +x +2≤5, -2≤x ≤
32
当x +2
5. (-1, -) 令y =f (x ), 则f (1)=3a +1, f (-1) =a +1, f (1)⋅f (-1) =(3a +1)(a +1) 1. 解:∆=16m -16(m +2) ≥0, m ≥2或m ≤-1,
2
13
1 3
α2+β2=(α+β) 2-2αβ=m 2-m -1
12
当m =-1时,(α2+β2) min =
12
2. 解:(1)∵⎨
⎧x +8≥0
得-8≤x ≤3, ∴定义域为[-8,3]
3-x ≥0⎩
⎧x 2-1≥0⎪22
(2)∵⎨1-x ≥0得x =1且x ≠1, 即x =-1∴定义域为{-1}
⎪x -1≠0⎩
⎧⎪
⎧⎪
⎪x
⎪⎪
111⎫⎛1⎫⎪⎪⎛
(3)∵⎨1-∴定义域为 -∞, -⎪ -,0⎪ ≠0得⎨x ≠-
x -x 22⎭⎝2⎭⎝⎪⎪⎪⎪11
≠0⎪x -x ≠0⎪1-
⎩⎪1-⎪x -x ⎩
3. 解:(1)∵y =
3+x 4y -3
,4y -xy =x +3, x =, 得y ≠-1,∴值域为{y |y ≠-1} 4-x y +1
1
≤1,0
2x 2-4x +3
(2)∵2x 2-4x +3=2(x -1) 2+1≥1, ∴0
1111
, 且y 是x 的减函数, 当x =时,y min =-, ∴值域为[-, +∞) 2222
(数学1必修)第一章下 [基础训练A 组]
一、选择题1. B 2. D 3. A 4. A 5. A 6. A
二、填空题1. (-2,0) (2,5] 2. [-2, +∞) 3.
4. [0, +∞) 5. 1
三、解答题
1.解:当k >0,y =kx +b 在R 是增函数,当k
当k >0,y =当k
k
在(-∞,0),(0,+∞) 是减函数, x
k
在(-∞,0),(0,+∞) 是增函数; x
b b
]是减函数,在[-, +∞) 是增函数, 2a 2a b b
]是增函数,在[-, +∞) 是减函数。 2a 2a
2
当a >0,y =ax +bx +c 在(-∞, -
当a
2
⎧-1
2.解:f (1-a ) ⎪1-a >a 2-1⎩
3.解:2x +1≥0, x ≥-
1111
,显然y 是x 的增函数,x =-,y min =-, ∴y ∈[-, +∞) 2222
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4.解:(1)a =-1, f (x ) =x 2-2x +2, 对称轴x =1, f (x ) min =f (1)=1, f (x ) max =f (5)=37
∴f (x ) max =37, f (x ) m in =1
(2)对称轴x =-a , 当-a ≤-5或-a ≥5时,f (x ) 在[-5,5]上单调
∴a ≥5或a ≤-5。
(数学1必修)第一章(下) [综合训练B 组]
一、选择题1. C 2. C 3. B 4. A 5.A 6. B
二、填空题1. (-∞, -],[0,] 2. -x -x +1 3. f (x ) =1
2122x 4. -15 5. (1,2) x 2+1
三、解答题1.解:(1)定义域为[-1,0) (0,1],则x +2-2=
x ,f (x ) = ∵f (-x ) =-
f (x ) ∴f (x ) =为奇函数。 (2)∵f (-x ) =-f (x ) 且f (-x ) =f (x ) ∴f (x ) 既是奇函数又是偶函数。
2.证明:(1)设x 1>x 2,则x 1-x 2>0,而f (a +b ) =f (a ) +f (b )
∴f (x 1) =f (x 1-x 2+x 2) =f (x 1-x 2) +f (x 2)
(2)由f (a +b ) =f (a ) +f (b ) 得f (x -x ) =f (x ) +f (-x )
即f (x ) +f (-x ) =f (0),而f (0)=0 ∴f (-x ) =-f (x ) ,即函数y =f (x ) 是奇函数。
3.解:∵f (x ) 是偶函数, g (x ) 是奇函数,∴f (-x ) =f (x ) ,且g (-x ) =-g (x ) 而f (x ) +g (x ) =
即f (x ) -g (x ) =
∴f (x ) =11, 得f (-x ) +g (-x ) =, x -1-x -111=-, -x -1x +11x g (x ) =,。 x 2-1x 2-1
24.解:(1)当a =0时,f (x ) =x +|x |+1为偶函数,
2 当a ≠0时,f (x ) =x +|x -a |+1为非奇非偶函数;
22(2)当x
23, 4
当a > 当a ≤113时,f (x ) min =f () =a +, 2241时,f (x ) min 不存在; 2
1
23, 422当x ≥a 时,f (x ) =x +x -a +1=(x +) -a +
当a >-
当a ≤- 1时,f (x ) min =f (a ) =a 2+1, 2113时,f (x ) min =f (-) =-a +。 224