初三奥数培训试题

2014届初三（上）奥数A 班寒假培训试题（6）

班级 姓名 座号 成绩

一、选择题（35分）

1．若a ≠b

）．

A

B

． C

D ．0

2．△ABC 外接圆的半径为R ，AC 分别关于AB 、BC 对称所得的两条直线相交于点K ，△ACK 的内切圆I 的半径为r ，则（ ）．

A ．BI ＞2R

B ．BI ＜2R

C ．BI = 2R

D ．BI = R + r

3．在直角坐标系中，点A (2，2) ，点B (– 2，– 3) ，点P 在坐标轴上，且△ABP 为直角三角形，则点P 的个数为（ ）．

A ．3 B ．4 C ．6 D ．8

4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，内切圆⊙I 切AC ，BC 于E ，F ，射线BI ，AI 交直线EF 于点M ，N ，设S △AIB = S 1，S △MIN = S 2，则S 1的值为（ ）． S 2

C ．A ．3 2 B ．2 5 2 D ．3

5．若P 是等边△ABC 内任意一点，且过P 作边AB 、BC 、CA 的垂线，垂足依次为D 、E 、F ， 则

AD +BE +CF =（ ） PD +PE +PF A ．2 B

C

． D

．二、填空题（35分）

6．已知正整数m 满足m 2+5m +30是完全平方数，则m 的值为． ⎧x =x 1⎧x =x 27．⎨，⎨(x 1＜x 2) 是方程x 2-y 2-2x +6y -8=0的两个整数解，在平面直角坐标系中，⎩y =y 1⎩y =y 2

点A (x 1，y 1) 和点B (x 2，y 2) 关于点P (1，3) 对称，点C 的坐标为(5，– 1) ，若△ABC 三边及其内部有且只有21个整点(横、纵坐标为整数的点) ，则点A 的坐标为 ．

8．[x ]表示x 的整数部分，方程[2x ]+[3x ]=9x -7的所有实数解有． 4

9．已知O 是等边△ABC 内的一点，∠AOB 、∠BOC 、∠AOC 的角度之比为6：5：4．则在以OA 、OB 、OC 为边的三角形中，此三边所对的角度之比为

10．二次三项式x 2-x -2n 能分解为两个整系数一次因式的乘积，当n ≤2014时， 最大的整数n =

三、解答题（80分）

11．已知a 、b 、c 是整数，满足c ＞0，a + b = 3，c 2-2c -ab =-2，若关于x 的方程： dx 2+(c +d ) x +ab +d =0的解只有一个值，求d 的值．

12．如图，已知直线l ：y =kx +2-4k (k 为实数) ．

（1）求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；

（2）若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值．

13．如图，已知△ABC 的垂心为H ，外接圆为⊙O ，M 为AB 的中点．连接MH 并延长交⊙O 于D ． 求证：HD ⊥CD ．

14．将1，2，…，2008这2008个数中的n 个数的前面添上一个负号，使这2008个数的代数和等于零，求n 的最大值和最小值．

2014届初三（上）奥数A 班寒假培训试题（5）答案

一、选择题（35分）

1．若a ≠b

C ）．

A

B

． C

D ．0 解：依题意a ≤0，b ≤0

C ．

2．△ABC 外接圆的半径为R ，AC 分别关于AB 、BC 对称所得的两条直线相交于点K ，△ACK 的内切圆I 的半径为r ，则（ C ）．

A ．BI ＞2R B ．BI ＜2R

C ．BI = 2R D ．BI = R + r

解：如图连接BI 、CI ，由条件易证∠BAI =∠BAI = 90°．

∴BI 是△ABC 的直径，故选C ．

3．在直角坐标系中，点A (2，2) ，点B (– 2，– 3) ，点P 在坐标轴上，且△ABP 为直角三角形，则点P 的个数为（ D ）．

A ．3 B ．4 C ．6 D ．8

解：以AB 为直径作圆，分别过点A 、B 作AB 的垂线，圆和垂线于坐标轴共8个交点，故选D ．

4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，内切圆⊙I 切AC ，BC 于E ，F ，射线BI ，AI 交直线EF 于点M ，N ，设S △AIB = S 1，S △MIN = S 2，则S 1的值为（ B ）． S 2

A ．

3 B ．2 2 C ．5 2 D ．3 解：连接AM 、IE 、BN ，∴CE = CF ，∴∠CEF =∠CFE = 45°，且AIM = 45°，

∴∠AEM =∠CEF =∠AIM ，∴A 、M 、E 、I 四点共圆，∴∠AMI =∠AEI = 90°，∴△AIM

是等腰直角三角形，∴IM IN S =

=，同理．∴1=2．故选B ． IA IB S 2

5．若P 是等边△ABC 内任意一点，且过P 作边AB 、BC 、CA 的垂线，垂足依次为D 、E 、F ， 则

AD +BE +CF =（ D ） PD +PE +PF A ．2 B

C

． D

．解：如图，设等边△ABC 的边长为a ，

过点P 作A 1B 2∥AB ，B 1C 2∥BC ，C 1A 2∥CA ，

分别与BC 、CA 、AB 交于点A 1、A 2、B 1、B 2、C 1、C 2，

易知，△P A 1A 2、△PB 1B 2、△PC 1C 2均为等边三角形，

四边形AB 2PC 1、四边形A 2CB 1P 、四边形AB 2PC 1均为平行四边形，

且A 1A 2 + C 2P + B 1P = A 1A 2 + BA 1 + A 2C = a ，

则PD +PE +PF =2P A 1A 2B 1P =， 1AD +BE +CF =(AC 1+BA 1+CB 1) +(C 1C 2+A 1A 2+B 1B 2) 2

33AD +BE +CF =(BA 1+A 1A 2+A 2C ) =

a ，所以，= 22PD +PE +PF

二、填空题（35分）

6．已知正整数m 满足m 2+5m +30是完全平方数，则m 的值为．

解：∵(m + 2)2＜m 2 + 5m + 30＜(m + 6)2 ∴m 2 + 5m + 30 = (m + 3)2，(m + 4)2，(m + 5)2 解得，m = 21，14，1．∴m = 21或1． 3

⎧x =x 1⎧x =x 27．⎨，⎨(x 1＜x 2) 是方程x 2-y 2-2x +6y -8=0的两个整数解，在平面直角坐标系中，⎩y =y 1⎩y =y 2

点A (x 1，y 1) 和点B (x 2，y 2) 关于点P (1，3) 对称，点C 的坐标为(5，– 1) ，若△ABC 三边及其内部有且只有21个整点(横、纵坐标为整数的点) ，则点A 的坐标为 (– 1，1) ．

解：依题意(x – y + 2)(x + y – 4) = 0，∴y = x + 2，y = – x + 4，∴P (1，3) 恰好是两直线的交点，

点C (5，– 1)在y = – x + 4，∴点A 、B 在y = x + 2上，线段PC 上有5个整点，由对称性得点A 的坐标为(– 1，1) ．

8．[x ]表示x 的整数部分，方程[2x ]+[3x ]=9x -

7的所有实数解有4-173636 解：∵2x – 1＜[2x ]≤2x ，3x – 1＜[3x ]≤3x ，∴5x – 2＜9x – 771≤5x ，解得-＜x ≤， [**************]37∴–＜9x –≤，又∵9x –= – 2，– 1，0，1，2．解得x =-， [**************]6

17验算得x =-． 3636

9．已知O 是等边△ABC 内的一点，∠AOB 、∠BOC 、∠AOC 的角度之比为6：5：4．则在以OA 、OB 、OC 为边的三角形中，此三边所对的角度之比为．

解：如图，由∠AOB ：∠BOC ：∠AOC = 6：5：4，知∠AOB = 144°，

∠BOC = 120°，∠AOC =96°．以A 为中心，将△AOB 逆时针旋转，

得△AO ′C ，则△AO ′C ≌AOB ．所以，O ′C = OB ．连接OO ′，知△AOO ′

为等边三角形，则OO ′ = OA ．所以△OO ′C 为以OA 、OB 、OC 为边组

成的三角形．因为∠AO ′C =∠AOB = 144°，∠AO ′O = 84°．

又∠AOC = 96°，则∠O ′OC = 36°．于是∠OO ′C = 84°．

故以OA 、OB 、OC 为边组成的三角形的对应角之比为60°：36°：84° = 5：3：7．

10．二次三项式x 2-x -2n 能分解为两个整系数一次因式的乘积，当n ≤2014时，

最大的整数n = 1953

解：观察数列1，3，6，10，…各项的关系，归纳出1 = 1，3 = 1 + 2，6 = 1 + 2 + 3，

10 = 1+ 2 + 3 + 4．故只要n = 1 + 2 + 3 + … + k ≤2014，且k 为满足该不等式的最大整数，则和n 即为所求．由n =(1+k ) k ≤2014，观察实验求解： 2

当k = 61时，得n = 1891；当k = 62时，得n = 1953；当k = 63时，得n = 2016＞2014． 因此，最大的整数n 为 1953．

三、解答题（80分）

11．已知a 、b 、c 是整数，满足c ＞0，a + b = 3，c 2-2c -ab =-2，若关于x 的方程： dx 2+(c +d ) x +ab +d =0的解只有一个值，求d 的值．

解：∵a + b = 3，ab = c 2 – 2c + 2，∴a ，b 是关于x 的方程x 2 – 3x + c 2 – 2c + 2 = 0的两根． ∆=9-4(c 2-2c +2) ≥0，即4c 2 – 8c – 1≤0，∴4c (c – 2)≤1，且c 为正整数，∴c = 1，2，当c = 1时，a + b = 3，ab = 1，a ，b 无整数值． 当c = 2时，a + b = 3，ab = 2，解得a = 1，b = 2；或a = 2，b = 1． 方程dx 2+(c +d ) x +ab +d =0为：dx 2+(2+d ) x +2+d =0，当d = 0时，x = – 1； 当d ≠0时，方程dx 2+(2+d ) x +2+d =0有等根，∴∆=(2+d ) 2-4d (2+d ) =0， 解得d =，-2．故：d =0-2．

12．如图，已知直线l ：y =kx +2-4k (k 为实数) ．

（1）求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；

（2）若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值．

解：（1）令k = 1，得y = x – 2；令k = 2，得y = 2x – 6．

联立解得x = 4，y = 2．故顶点为M (4，2) ．将点M (4，2) 的坐

标代入直线l 的方程，得2 = 2，这是一个与k 无关的恒等式．故

不论k 为任何实数，直线l 都过顶点M (4，2) ．

（2）取x = 0，得OB = 2 – 4k (k ＜0) ．取y = 0，得OA = 23234k -2(k ＜0) ．于k

是，△AOB 的面积为S =1OA OB =14k -2(2 – 4k )(k ＜0) ．将上式转22k

化为k 的二次方程得8k 2+(S -8) k +2=0． ①

因为k 为实数，所以∆=(S -8) 2-64≥0，即S 2 – 16S ≥0，

故S ≥16．将S = 16代入式①得

11k =-

．因此，当k =-时，S min = 16． 22

13．如图，已知△ABC 的垂心为H ，外接圆为⊙O ，M 为AB 的中点．连接MH 并延长交⊙O 于D ． 求证：HD ⊥CD ．

解：如图，作⊙O 直径CE ，连接AE 、BE 、AH 、BH ．因为∠CAE = 90°，

所以，EA ⊥AC ．又H 为垂心，则BH ⊥AC ．故EA ∥BH ．同理，

EB ∥AH ．所以，四边形BHAE 为平行四边形．故线段AB 与EH

互相平分．又由题设知M 为AB 的中点，且点D 在MH 的延长线

上．于是，点E 、M 、H 、D 在同一直线上．因为CE 为⊙O 直径，

所以，∠EDC = 90°，故HD ⊥CD ．

14．将1，2，…，2008这2008个数中的n 个数的前面添上一个负号，使这2008个数的代数和等于零，求n 的最大值和最小值．

解：先求n 的最小值．

要使n 最小，必须添加负号的数尽可能的大，

设这些数为：2008，2007，…，2010 – n ，k ，

其中，0＜k ＜2010 – n ，

根据题意知2008 + 2007 + … + (2010 – n ) + k = 1(1+2++2008) 2124019n +1010527 ⇒k =n -22① ⎧124019n -n +1010527＞0 ①⎪⎪22由0＜k ＜2010 – n ，知⎨ 14019⎪n 2-n +1010527＜2010-n ②⎪⎩22

由式②得n 2 – 4019n + 2021054＞0，

又因为n 为小于2008的正整数，所以n ≤589，

同理，由式③得n ＞588，

故n = 589，

把n = 589代入式①得k = 392，

当n = 589时，392，1421，1422，…，2008这589个数的前面添上负号时，符合题意， 显然，n 的最大值为2008 – 589 = 1419，

除上述589个数外，其余1419个数的前面添上负号后也符合题意，

综上，n 的最大值为1419，最小值为589．