必修5解三角形练习题和答案

必修5解三角形练习题

1. 在∆ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若a =2b cos C ，则此三角形一定是（ ）

A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形

2. 在△ABC 中，角A , B , C 的对边边长分别为a =3, b =5, c =6,

则bc cos A +ca cos B +ab cos C 的值为

A ．38 B ．37 C．36 D．35

3. （2009宁夏海南卷文）有四个关于三角函数的命题： p 1：∃x ∈R, sin 2p 3: ∀x ∈[0, π

]其中假命题的是 x 12x +cos = p 2: ∃x , y ∈R , sin(x -y ) =sin x -sin y 222π=sin x p 4: sin x =cos y ⇒x +y = 2（A ）p 1，p 4 （B ）p 2，p 4 （3）p 1，p 3 （4）p 2，p 3

B ，C 所对的边分别为a ，b ，s i 4．已知∆ABC 的内角A ，若n c ，

5. 在△ABC 中，已知边c =10,

A =1，则a 等于． b =3sin B ，3cos A b 4==，求边a 、b 的长。 cos B a 3

6. 已知A 、B 、C 为∆ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若cos B cos C -sin B sin C = （Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）若a =2, b +c =4，求∆ABC 的面积．

7．已知△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，其中c =2，

又向量m =(1, cos C ) ，n =(cos C , 1) ，m ·n =1．

（1）若A =45︒，求a 的值；1． 2

（2）若a +b =4，求△ABC 的面积．

8. 已知：△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且sin A ⋅cos B +sin B ⋅cos A =sin 2C .

(1)求角C 的大小；

(2)若a , c , b 成等差数列，且CA ⋅CB =18，求c 边的长.

9. 已知∆ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c , 向量m =(4,-1),

72A n =(cos,cos 2A ) ，且m ⋅n = . 22

（1）求角A 的大小；

（2

）若a =b ⋅c 取得最大值时∆ABC 的形状.

10．在∆ABC 中，cos A =-54, sin B =. 135

（Ⅰ）求cos C 的值； （Ⅱ）设BC =15，求∆ABC 的面积．

11.. 已知f (x ) =2sin x cos x +2cos 2x -1-，x ∈[0,

⑴ 求f (x ) 的最大值及此时x 的值；

⑵ 求f (x ) 在定义域上的单调递增区间。

π2]

12. 已知角α∈(0,π) , 向量m =(2, cos α) ，

2n =(cosα,1) ，且m ⋅n =1，f (x ) =x +cos x 。

（Ⅰ）求角α的大小；（Ⅱ）求函数f (x +α) 的单调递减区间。

解三角形练习题答案

1.C

2. D ．由余弦定理得

b 2+c 2-a 2c 2+a 2-b 2a 2+b 2-c 2

bc cos A +ca cos B +ab cos C =bc +ca +ab 2bc 2ca 2ab

b 2+c 2-a 2c 2+a 2-b 2a 2+b 2-c 2a 2+b 2+c 2

=++==35，∴选项为D ． 2222

3. A

【解析】因为sin 2x 2x +cos ＝1，故p 1是假命题；当x ＝y 时，p 2成立，故p 2是真命题

；22

=y ＝π) sinx ｜，因为x ∈[0, π]，所以，｜sinx ｜＝sinx ，p 3正确；当x ＝，49ππ时，有sin x =cos y ，但x +y >，故p 4假命题，选A ． 42

4. 3 3

cos A b b cos A sin B ===sinB 5. 解：由cos B a ，sinA a , 可得 cos B sin A ，…………………….4分

变形为sinA cosA=sinB cosB，∴sin2A=sin2B, …………….6分

π

又∵a ≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=2. ∴△ABC 为直角三角形. ………….8分

b 4=222由a +b=10和a 3，解得a=6, b=8。………….12分

6．解：（Ⅰ） cos B cos C -sin B sin C =1 2

∴cos(B +C ) =1 ………………………………2分 2

又 0

A +B +C =π，∴A =

222π3 …………………4分 2π ………………………………6分 3（Ⅱ）由余弦定理a =b +c -2bc ⋅cos A

得 (23) =(b +c ) -2bc -2bc ⋅cos 222π ………………………………8分 3

即：12=16-2bc -2bc ⋅(-) ，∴bc =4 ………………………………10分

12

∴S ∆ABC =113bc ⋅sin A =⋅4⋅= ………………………………12分 222

7．解：（1）∵m n =cos C +cos C =2cos C =1 ∴cos C =12 0︒

∴223=26

3， ………………………………………………………………6分

22（2）∵c =2，∠C =60︒， ∴a +b -2ab cos60︒=4，

∴a +b -ab =4， …………………………………………………………8分

又∵a +b =4，∴a +b +2ab =16，∴ab =4， ………………………10分 2222

∴S ∆ABC =1ab sin C =32． ……………………………………………………12分

8．解：(1) ∵sin A ⋅cos B +sin B ⋅cos A =sin 2C

∴sin(A +B ) =sin 2C ，------------------------------------2分

∵A +B =π-C , ∴sin(A +B ) =sin C

∴sin C =sin 2C =2sin C cos C ，-----------------------------4分

∵00 ∴cos C =π1 ∴C =. --------------------------------6分 32

(2)由a , c , b 成等差数列，得2c =a +b . ----------------------------7分

∵CA ⋅CB =18，

即ab cos C =18, ab =36. ----------------------------------------9分 由余弦弦定理c =a +b -2ab cos C =(a +b ) -3ab ， 2222

∴c 2=4c 2-3⨯36, c 2=36，

∴c =6. ---------------------------12分

2A ,cos 2A ) 9. 解：（1）由m =(4,-1), n =(cos2 1+cos A 2A A =4⋅-(2cos2A -1) m ⋅n =4c o -c o s 222

2 =-2cos A +2cos A +3……………………………………3分

772 又因为m ⋅n =, 所以-2cos A +2cos A +3= 22

1π 解得cos A =………………………5分 0

23

（Ⅱ）在∆ABC 中，a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 且a =，

122222 ∴=b +c -2bc ⋅=b +c -bc ．…………………………………9分 2

b 2+c 2≥2bc , ∴3≥2bc -bc ，

即bc ≤

3, 当且仅当b =c =b ⋅c 取得最大值,……………………12分 又由（Ⅰ）知A = π

3, ∴B =C =π

3, ………………………………13分

所以，∆ABC 为正三角形 ………………………………14分

54123, sin B =，得sin A =, cos B =．----2分 135135

∵A +B +C =π，∴cos C =cos[π-(A +B )]=-cos(A +B ) -----4分 10. 解：（Ⅰ）由cos A =-

=-(cosA cos B -sin A sin B ) =63．-----6分 65

（Ⅱ）由cos C =6313，得sin C =，------8分 6565

BC ⨯sin B =13．-----10分 sin A 由正弦定理得AC =

所以∆ABC 的面积S =1116⨯BC ⨯AC ⨯sin C =⨯15⨯13⨯=24．----12分 2652

11．解：⑴f (x ) =2sin(2x +) -1-----------3分 3

π 0≤x ≤当2x +⑵由π2= ∴时，即x =π3≤2x +π3≤4π 3π3π2π12时，y max =1 -----------6分 π3≤2x +π3≤π2得0≤x ≤π12 π∴f (x ) 在定义域上的单调递增区间[0, ]-----------12分 12 212. 解：（Ⅰ）∵m =(2, cos α) ，n =(cosα,1) ，且m ⋅n =1，

2∴2cos α+cos α=1 ………………………………………2分

12即2cos α+cos α-1=0 ∴cos α=或cos α=-1， ………………4分 2

1π∵角α∈(0,π) ，∴cos α=⇒α=， …………………………………6分 23

1π

（Ⅱ）∵f (x ) =x +cos x =x +cos x ) =2sin(x +) …………8分 226

∴f (x +α) =f (x ++) =2sin(x +) =2cos x ……10分 3632

∴函数f (x +α) 的单调递减区间为[2k π,2k π+π] k ∈Z ………………12分 π) =2sin(x +πππ