专题复习八.二次函数与几何综合

专题六、二次函数与几何综合

二次函数与几何综合是中考压轴题的考查重点，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等．压轴题的综合性强，难度大，复习时应加强训练，它是突破高分瓶颈的关键．

(2015·自贡) 如图，已知抛物线y ＝ax ＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且抛物线经过A(1，0) ，C(0，3) 两点，与x 轴交于点B.

(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，

求出点M 的坐标；

(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．

【思路点拨】 (1)利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；

(2)利用抛物线的轴对称性，BC 与对称轴的交点即为M ，继而求出其坐标；

(3)设P(－1，t) ，用含t 的代数式表示PB 、PC. 对直角顶点分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程可求得t 的值．

(2015·攀枝花) 如图，已知抛物线y ＝－x ＋bx ＋c 与x 轴交于A(－1，0) ，B(3，0) 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D ，使得△BCD 的面积最大？若存

在，求出D 点坐标及△BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q ，使得△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出

点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

2【思路点拨】 (1)把A(－1，0) 、B(3，0) 两点的坐标代入y ＝－x ＋bx ＋c 即可求出b 和c 的值，进而求

出抛物线的解析式；

2(2)设D(t，－t ＋2t ＋3) ，作DH ⊥x 轴，则S △BCD ＝S 梯形DCOH ＋S △BDH －S △BOC ，进而得到S 关于t 的二次函数，

利用二次函数的性质，确定D 点坐标与S △BCD 的最大值；

(3)因为两三角形的底边MB 相同，所以只需满足MB 上的高相等即可满足题意．

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(2013·绵阳) 如图，二次函数y ＝ax ＋bx ＋c 的图象的顶点C 的坐标为(0，－2) ，交x 轴于A 、B 两点，其中A(－1，0) ，直线l ：x ＝m(m＞1) 与x 轴交于D.

(1)求二次函数的解析式和B 的坐标；

(2)在直线l 上找点P(P在第一象限) ，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点

的三角形相似，求点P 的坐标(用含m 的代数式表示) ；

(3)在(2)成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q ，使△BPQ是以P 为直角顶点

的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

12 (2015·绵阳) 已知抛物线y ＝－x －2x ＋a(a≠0)与y 轴相交于A 点，顶点为M ，直线y x －a 分2

别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线MA

相交于点N 点．

(1)若直线BC 和抛物线有两个不同交点，求a 的取值范围，并用a 表示交点M 、A 的坐标；

(2)将△NAC沿着y 轴翻折，若点N 的对称点P 恰好落在抛物线上，AP 与抛物线的对称轴相交于点D ，连接CD ，求a 的值及△PCD的面积；

2(3)在抛物线y ＝－x －2x ＋a(a＞0) 上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】 (1)把两个解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求出a 的取

值范围．利用二次函数解析式求得M 、A 的坐标；

(2)求出两直线的交点N ，从而求出其对称点P ，利用面积之差得△PCD的面积；

(3)分两种情况进行讨论：①当P 在y 轴左侧时，利用平行四边形对角线互相平分

得P 点坐标，代入二次函数解析式，求得a ；②当P 在y 轴右侧时，利用平行四

边形的对边平行且相等得P 点坐标，代入二次函数解析式，求得a.

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1．(2015·曲靖) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l⊥y轴于点B(0，－2) ，A 为OB 的中点，以A 为

2顶点的抛物线y ＝ax ＋c(a≠0)与x 轴分别交于C 、D 两点，且CD ＝4，点P 为抛物线上的一个动点，以P

为圆心，PO 为半径画圆．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若⊙P与y 轴的另一交点为E ，且OE ＝2，求点P 的坐标；

(3)判断直线l 与⊙P的位置关系，并说明理由．

4322．(2014·绵阳) 如图，抛物线y ＝ax ＋bx ＋c(a≠0)的图象过点M(－23) ，顶点坐标为N(－1，) ，3

且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P 为抛物线对称轴上的动点，当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；

(3)在直线AC 上是否存在一点Q ，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．

23．(2013·南充) 如图，二次函数y ＝x ＋bx －3b ＋3 的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边) ，

2交y 轴于点C ，且经过点(b－2，2b －5b －1) ．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)⊙M过A ，B ，C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；

(3)连接AM ，DM ，将∠AMD绕点M 顺时针旋转，两边MA ，MD 与x 轴，y 轴分别交于点E ，F. 若△DMF为等腰三角形，求点E 的坐标．

4．(2015·乐山) 如图1，二次函数y ＝ax ＋bx ＋c 的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，若

2tan ∠ABC ＝3，一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0的两根为－8，2.

(1)求二次函数的解析式；

(2)直线l 以AB 为起始位置，绕点A 顺时针旋转到AC 位置停止，l 与线段BC 交于点D ，P 是AD 的中点． ①求点P 的运动路程；

②如图2，过点D 作DE 垂直x 轴于点E ，作DF⊥AC所在直线于点F ，连接PE 、PF ，在l 运动过程中，∠EPF 的大小是否改变？请说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接EF ，求△PEF周长的最小值．

1225．(2015·雅安) 如图，已知抛物线C 1：y ，平移抛物线y ＝x ，使其顶点D 落在抛物线C 1位于y 轴2

右侧的图象上，设平移后的抛物线为C 2，且C 2与y 轴交于C(0，2) ．

(1)求抛物线C 2的解析式；

(2)抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右方) ．求点A 、B 的坐标及过点A 、B 、C 的圆的圆心E 的坐标；

1(3)在过点(0且平行于x 轴的直线上是否存在点F ，使四边形CEBF 为菱形，若存在，求出点F 的坐标，2

若不存在，请说明理由．

26．(2014·眉山) 如图，已知直线y ＝－3x ＋3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝ax ＋bx ＋c 经

过点A 和点C ，对称轴为直线l ：x ＝－1，该抛物线与x 轴的另一个交点为B.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)点P 在直线l 上，求出使△PAC的周长最小的点P 的坐标；

(3)点M 在此抛物线上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形能否为平行

四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M 的坐标；若不能，请说明理由．

2

7．(2015·德阳) 如图，已知抛物线y ＝ax ＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交于点A(1，0) 和点B(－3，0) ，与y 轴正半轴交于点C ，且OC ＝OB.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积最大值，并求出此时点E 的坐标；

(3)点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针方向旋转90°后，点A 的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．

k 8．(2014·成都) 如图，已知抛物线y ＋2)(x－4)(k为常数，且k ＞0) 与x 轴从左至右依次交于A ，B 8

3x ＋b 与抛物线的另一交点为D. 3

(1)若点D 的横坐标为－5，求抛物线的函数表达式；

(2)若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC相似，求k 的值；

(3)在(1)的条件下，设F 为线段BD 上一点(不含端点) ，连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？

29．(2015·南充) 已知抛物线y ＝－x ＋bx ＋c 与x 轴交于点A(m－2，0) 和B(2m＋1，0)(点A 在点B 的左侧) ，

与y 轴相交于点C ，顶点为P ，对称轴为l ：x ＝1.

(1)求抛物线解析式；

(2)直线y ＝kx ＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y 1) ，N(x2，y 2)(x1

(3)首尾顺次连接点O ，B ，P ，C 构成多边形的周长为L. 若线段OB 在x 轴上移动，求L 最小时点O ，B 移动后的坐标及L 的最小值．

两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y

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10．(2014·攀枝花) 如图，抛物线y ＝ax －8ax ＋12a(a＞0) 与x 轴交于A 、B 两点(A在B 的左侧) ，与y 轴交于点C ，点D 的坐标为(－6，0) ，且∠ACD＝90°.

(1)请直接写出A 、B 两点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P 的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；

(4)平行于y 轴的直线m 从点D 出发沿x 轴向右平行移动，到点A 停止．设直线m 与折线DCA 的交点为G ，与x 轴的交点为H(t，0) ．记△ACD在直线m 左侧部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式及自变量t 的取值范围．

211．(2015·成都) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax －2ax －3a(a＜0) 与x 轴交于A 、B 两点

(点A 在点B 的左侧) ，经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC.

(1)直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式(其中k 、b 用含a 的式子表示) ；

(2)点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为25，求a 的值； 4

(3)设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．